Аналитический набор

В математической области дескриптивной теории множеств подмножество польского пространства является аналитическим множеством , если оно является непрерывным образом польского пространства. Эти множества были впервые определены Лузиным (1917) и его учеником Суслиным (1917). ^[1] ${\displaystyle X}$

Определение

Существует несколько эквивалентных определений аналитического множества. Следующие условия на подпространство A польского пространства X эквивалентны:

• А — аналитическое.
• A пусто или является непрерывным образом пространства Бэра ω ω ^.
• A — пространство Суслина , другими словами, A — образ польского пространства при непрерывном отображении.
• А — непрерывное изображение борелевского множества в польском пространстве.
• A — множество Суслина , образ операции Суслина .
• Существует польское пространство и борелевское множество , такое что является проекцией на ; то есть, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle A=\{x\in X|(\exists y\in Y)\langle x,y\rangle \in B\}.}$

• A — проекция замкнутого множества в декартовом произведении X с пространством Бэра.
• A — проекция множества G δ в декартовом произведении X с пространством Кантора 2 ^ω .

Альтернативная характеристика, в конкретном, важном случае пространства Бэра ω ^ω , заключается в том, что аналитические множества являются в точности проекциями деревьев на . Аналогично, аналитические подмножества пространства Кантора 2 ^ω являются в точности проекциями деревьев на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \times \omega }$ ${\displaystyle 2\times \omega }$

Характеристики

Аналитические подмножества польских пространств замкнуты относительно счетных объединений и пересечений, непрерывных образов и обратных образов. Дополнение аналитического множества не обязательно должно быть аналитическим. Суслин доказал, что если дополнение аналитического множества аналитично, то множество является борелевским. (И наоборот, любое борелевское множество аналитично, а борелевские множества замкнуты относительно дополнений.) Лузин доказал в более общем смысле, что любые два непересекающихся аналитических множества разделены борелевским множеством: другими словами, существует борелевское множество, включающее одно и не пересекающееся с другим. Иногда это называют «принципом отделимости Лузина» (хотя он подразумевался в доказательстве теоремы Суслина).

Аналитические множества всегда измеримы по Лебегу (на самом деле, универсально измеримы ) и обладают свойством Бэра и свойством совершенного множества .

Примеры

Когда — множество натуральных чисел, то такое множество называют разностным множеством . Множество разностных множеств натуральных чисел является аналитическим множеством и является полным для аналитических множеств. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x-y\mid y\leq x\land x,y\in A\}}$ ${\displaystyle A}$

Проективная иерархия

Аналитические множества также называются (см. проективная иерархия ). Обратите внимание, что жирный шрифт в этом символе не является соглашением Википедии, а используется в отличие от его светлого аналога (см. аналитическая иерархия ). Дополнения аналитических множеств называются коаналитическими множествами , а множество коаналитических множеств обозначается . Пересечением является множество борелевских множеств. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$

Смотрите также

• Проекция (теория меры)

Ссылки

1. Лоренц, ГГ (2001). «Кто открыл аналитические множества?». The Mathematical Intelligencer . 23 (4): 28–32. doi :10.1007/BF03024600. ISSN  0343-6993.
2. JH Schmerl, «В чем разница?». Annals of Pure and Applied Logic т. 93 (1998), стр. 255--261.

• Элькин, А.Г. (2001) [1994], «Аналитическое множество», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Ефимов, Б.А. (2001) [1994], "Принципы разделимости Лузина", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
• Лузин, Н. Н. (1917), «Классификация М. Бэра», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , Série I , 164 : 91–94.
• Н. Н. Лусин, «Уроки аналитических и прикладных исследований ансамблей», Готье-Виллар (1930).
• Мошовакис, Яннис Н. (1980), Описательная теория множеств , Северная Голландия, ISBN 0-444-70199-0
• Мартин, Дональд А .: Измеримые кардиналы и аналитические игры. Fundamenta Mathematicae 66 (1969/1970), стр. 287-291.
• Суслен, М. (1917), «Sur une définition dessembles mesurables B sans nombres transfinis», Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 164 : 88–91