Аналитическая функция

Тип функции в математике

В математике аналитическая функция — это функция , локально задаваемая сходящимся степенным рядом . Существуют как вещественные аналитические функции , так и комплексные аналитические функции . Функции каждого типа бесконечно дифференцируемы , но комплексные аналитические функции обладают свойствами, которые обычно не свойственны реальным аналитическим функциям. Функция является аналитической тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора относительно сходится к функции в некоторой окрестности для каждого в ее области определения . Важно отметить, что это окрестность, а не только в некоторой точке , поскольку каждая дифференцируемая функция имеет по крайней мере касательную линию в каждой точке, которая является ее рядом Тейлора порядка 1. Таким образом, просто иметь полиномиальное разложение в особых точках - это недостаточно, и ряд Тейлора также должен сходиться к функции в точках, смежных с , чтобы считаться аналитической функцией. В качестве контрпримера см. функцию Вейерштрасса или функцию Фабиуса . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Определения

Формально функция является вещественно-аналитической на открытом множестве в действительной прямой, если для любой можно написать ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{0}\in D}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

в котором коэффициенты являются действительными числами, а ряд сходится к для в окрестности . ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Альтернативно, действительная аналитическая функция — это бесконечно дифференцируемая функция , такая что ряд Тейлора в любой точке ее области определения ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

сходится к for в окрестности поточечного . ^[a] Множество всех вещественных аналитических функций на данном множестве часто обозначается . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\,\omega }(D)}$

Функция , определенная на некотором подмножестве вещественной прямой, называется вещественно-аналитической в ​​точке, если существует окрестность , на которой вещественно-аналитическая. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Определение комплексной аналитической функции получается путем замены в приведенных выше определениях слова «вещественное» на «комплексное» и «действительная линия» на «комплексную плоскость». Функция является комплексно-аналитической тогда и только тогда, когда она голоморфна , т. е. комплексно дифференцируема. По этой причине термины «голоморфный» и «аналитический» часто используются для таких функций как синонимы. ^[1]

Примеры

Типичными примерами аналитических функций являются

• Следующие элементарные функции :
  • Все полиномы : если многочлен имеет степень n , любые члены степени больше n в его разложении в ряд Тейлора должны немедленно обратиться в нуль к 0, и поэтому этот ряд будет тривиально сходящимся. Более того, каждый многочлен представляет собой собственный ряд Маклорена .
  • Показательная функция является аналитической. Любой ряд Тейлора для этой функции сходится не только для x, достаточно близкого к x ₀ (как в определении), но и для всех значений x (действительных или комплексных).
  • Тригонометрические функции , логарифм и степенные функции аналитичны на любом открытом множестве своей области определения.
• Большинство специальных функций (по крайней мере, в некотором диапазоне комплексной плоскости):
  • гипергеометрические функции
  • Функции Бесселя
  • гамма-функции

Типичными примерами неаналитических функций являются:

• Функция абсолютного значения , определенная на множестве действительных или комплексных чисел, не является всюду аналитической, поскольку она не дифференцируема в точке 0.
• Кусочно определенные функции (функции, заданные разными формулами в разных областях) обычно не являются аналитическими там, где части встречаются.
• Комплексно -сопряженная функция z  → z * не является комплексно-аналитической, хотя ее ограничение на действительную прямую является тождественной функцией и, следовательно, вещественно-аналитической, и она вещественно-аналитическая как функция от до . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Другие неаналитические гладкие функции и, в частности, любая гладкая функция с компактным носителем, т. е . не могут быть аналитическими на . ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Альтернативные характеристики

Следующие условия эквивалентны:

1. ${\displaystyle f}$действительно аналитичен на открытом множестве . ${\displaystyle D}$
2. Существует сложное аналитическое расширение до открытого множества , содержащего . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$
3. ${\displaystyle f}$является гладким и для любого компакта существует константа такая, что для любого неотрицательного целого числа справедлива следующая оценка ^[3] ${\displaystyle K\subset D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle k}$
   $${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!}$$

Комплексные аналитические функции в точности эквивалентны голоморфным функциям , и поэтому их гораздо легче охарактеризовать.

Для случая аналитической функции с несколькими переменными (см. ниже) действительную аналитичность можно охарактеризовать с помощью преобразования Фурье–Броса–Ягольнитцера .

В случае многих переменных действительные аналитические функции удовлетворяют прямому обобщению третьей характеристики. ^[4] Позвольте быть открытым множеством, и пусть . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$

Тогда вещественная аналитика тогда и только тогда, когда и для каждого компакта существует константа такая, что для любого мультииндекса справедлива следующая оценка ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}}$

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha !}$

Свойства аналитических функций

• Суммы, произведения и композиции аналитических функций аналитичны.
• Обратная величина аналитической функции, которая нигде не равна нулю, является аналитической, как и обратная функция обратимой аналитической функции, производная которой нигде не равна нулю. (См. также теорему об обращении Лагранжа .)
• Любая аналитическая функция является гладкой , то есть бесконечно дифференцируемой. Обратное неверно для реальных функций; Фактически, в определенном смысле вещественные аналитические функции разрежены по сравнению со всеми действительными бесконечно дифференцируемыми функциями. Для комплексных чисел обратное справедливо, и фактически любая функция, дифференцируемая один раз на открытом множестве, является аналитической на этом множестве (см. «аналитичность и дифференцируемость» ниже).
• Для любого открытого множества множество A (Ω) всех аналитических функций является пространством Фреше относительно равномерной сходимости на компактных множествах. Тот факт, что равномерные пределы компактных множеств аналитических функций являются аналитическими, является простым следствием теоремы Мореры . Множество всех ограниченных аналитических функций с супремумной нормой является банаховым пространством . ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u\ :\ \Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \scriptstyle A_{\infty }(\Omega )}$

Многочлен не может быть нулевым в слишком многих точках, если только он не является нулевым многочленом (точнее, количество нулей не превышает степени многочлена). Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо и для аналитических функций. Если множество нулей аналитической функции ƒ имеет точку накопления внутри своей области определения , то ƒ равна нулю всюду на компоненте связности , содержащей точку накопления. Другими словами, если ( rn ) — последовательность различных чисел такая, что ƒ( _rn ) ₌ 0 для всех n , и эта последовательность сходится к точке r в области определения D , то ƒ тождественно равен нулю на компоненте связности из D , содержащего r . Это известно как теорема тождества .

Кроме того, если все производные аналитической функции в точке равны нулю, функция постоянна на соответствующем компоненте связности.

Эти утверждения подразумевают, что, хотя аналитические функции и имеют больше степеней свободы , чем полиномы, они все же довольно жесткие.

Аналитичность и дифференцируемость

Как отмечалось выше, любая аналитическая функция (действительная или комплексная) бесконечно дифференцируема (также известная как гладкая, или ). (Обратите внимание, что эта дифференцируемость осуществляется в смысле действительных переменных; сравните комплексные производные ниже.) Существуют гладкие действительные функции, которые не являются аналитическими: см. неаналитическую гладкую функцию . На самом деле таких функций много. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Совсем иначе обстоит дело, когда мы рассматриваем комплексные аналитические функции и комплексные производные. Можно доказать, что любая комплексная функция, дифференцируемая (в комплексном смысле) на открытом множестве, является аналитической . Следовательно, в комплексном анализе термин аналитическая функция является синонимом голоморфной функции .

Реальные и сложные аналитические функции

Реальные и сложные аналитические функции имеют важные различия (это можно заметить даже по их различному отношению к дифференцируемости). Аналитика сложных функций является более ограничительным свойством, поскольку она имеет более ограничительные необходимые условия, а сложные аналитические функции имеют большую структуру, чем их реальные аналоги. ^[6]

Согласно теореме Лиувилля , любая ограниченная комплексная аналитическая функция, определенная на всей комплексной плоскости, является постоянной. Соответствующее утверждение для вещественных аналитических функций с заменой комплексной плоскости вещественной линией явно неверно; это иллюстрируется

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$

Кроме того, если комплексная аналитическая функция определена в открытом шаре вокруг точки x ₀ , ее разложение в степенной ряд в точке x ₀ сходится во всем открытом шаре ( голоморфные функции аналитичны ). Это утверждение для вещественных аналитических функций (где открытый шар означает открытый интервал действительной прямой, а не открытый диск комплексной плоскости) в общем случае неверно; функция из приведенного выше примера дает пример для x ₀  = 0 и шара радиуса, превышающего 1, поскольку степенной ряд 1 − x ² + x ⁴ − x ⁶ ... расходится при | х | ≥ 1.

Любая вещественная аналитическая функция на некотором открытом множестве вещественной прямой может быть расширена до комплексной аналитической функции на некотором открытом множестве комплексной плоскости. Однако не каждая действительная аналитическая функция, определенная на всей вещественной прямой, может быть расширена до комплексной функции, определенной на всей комплексной плоскости. Функция ƒ( x ), определенная в абзаце выше, является контрпримером, поскольку она не определена для x  = ± i . Это объясняет, почему ряд Тейлора для ƒ( x ) расходится для | х | > 1, т. е. радиус сходимости равен 1, поскольку комплексифицированная функция имеет полюс на расстоянии 1 от точки оценки 0 и не имеет дополнительных полюсов в открытом круге радиуса 1 вокруг точки оценки.

Аналитические функции нескольких переменных

Аналитические функции от нескольких переменных можно определить с помощью степенных рядов по этим переменным (см. Степенные ряды ). Аналитические функции нескольких переменных обладают некоторыми из тех же свойств, что и аналитические функции одной переменной. Однако, особенно для сложных аналитических функций, новые и интересные явления проявляются в двух или более сложных измерениях:

• Нулевые множества комплексных аналитических функций от более чем одной переменной никогда не являются дискретными . Это можно доказать с помощью теоремы о продолжении Хартогса .
• Области голоморфности однозначных функций состоят из произвольных (связных) открытых множеств. Однако в некоторых комплексных переменных только некоторые связные открытые множества являются областями голоморфности. Характеристика областей голоморфности приводит к понятию псевдовыпуклости .

Смотрите также

• Уравнения Коши – Римана.
• Голоморфная функция
• Теорема Пэли – Винера
• Квазианалитическая функция
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Неаналитическая гладкая функция

Примечания

1. Это также подразумевает равномерную сходимость в (возможно, меньшей) окрестности . ${\displaystyle x_{0}}$

1. Черчилль; Коричневый; Верхей (1948). Комплексные переменные и приложения . МакГроу-Хилл. п. 46. ​​ИСБН 0-07-010855-2. Функция f комплексной переменной z является аналитической в ​​точке z0 _, если ее производная существует не только в точке z , но и в каждой точке z в некоторой окрестности _точки z0 . Оно аналитично в области R , если оно аналитично в каждой точке R . В литературе также используется термин «голоморфный» , обозначающий аналитичность.
2. Стрихарц, Роберт С. (1994). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье. Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4. ОСЛК  28890674.
3. Кранц и Паркс 2002, с. 15.
4. Комацу, Хикосабуро (1960). «Характеристика действительных аналитических функций». Труды Японской академии . 36 (3): 90–93. дои : 10.3792/pja/1195524081 . ISSN  0021-4280.
5. "Класс Жевре - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 30 августа 2020 г.
6. Кранц и Паркс 2002.

Рекомендации

• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I . Тексты для аспирантов по математике 11 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Кранц, Стивен ; Паркс, Гарольд Р. (2002). Букварь действительных аналитических функций (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN 0-8176-4264-1.

Внешние ссылки

• «Аналитическая функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Аналитическая функция». Математический мир .
• Решатель для всех нулей комплексной аналитической функции, лежащих внутри прямоугольной области, Иван Б. Иванов.