Антисимметризатор

Оператор в квантовой механике, обеспечивающий фермионное соответствие принципу запрета Паули

В квантовой механике антисимметризатор (также известный как антисимметризирующий оператор ^[1] ) — это линейный оператор, который делает волновую функцию N идентичных фермионов антисимметричной при обмене координатами любой пары фермионов. После применения волновая функция удовлетворяет принципу исключения Паули . Поскольку является проекционным оператором , применение антисимметризатора к волновой функции, которая уже полностью антисимметрична, не имеет никакого эффекта, действуя как тождественный оператор . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Математическое определение

Рассмотрим волновую функцию, зависящую от пространственных и спиновых координат N фермионов:

${\displaystyle \Psi (1,2,\ldots ,N)\quad {\text{with}}\quad i\leftrightarrow (\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}),}$

где вектор положения r _i частицы i является вектором в и σ _i принимает 2 s +1 значений, где s является полуцелым собственным спином фермиона. Для электронов s = 1/2 и σ может иметь два значения («спин-вверх»: 1/2 и «спин-вниз»: −1/2). Предполагается, что положения координат в обозначении для Ψ имеют вполне определенный смысл. Например, 2-фермионная функция Ψ(1,2) в общем случае не будет такой же, как Ψ(2,1). Это означает, что в общем случае и, следовательно, мы можем осмысленно определить оператор транспонирования , который меняет местами координаты частицы i и j . В общем случае этот оператор не будет равен оператору тождества (хотя в особых случаях это может быть так). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Psi (1,2)-\Psi (2,1)\neq 0}$ ${\displaystyle {\hat {P}}_{ij}}$

Транспозиция имеет четность (также известную как сигнатура) −1. Принцип Паули постулирует , что волновая функция идентичных фермионов должна быть собственной функцией оператора транспозиции с ее четностью в качестве собственного значения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}_{ij}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N{\big )}&\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (i),\ldots ,\pi (j),\ldots ,\pi (N){\big )}\\&\equiv \Psi (1,2,\ldots ,j,\ldots ,i,\ldots ,N)\\&=-\Psi (1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N).\end{aligned}}}$

Здесь мы связали оператор транспонирования с перестановкой координат π, которая действует на набор координат N. В этом случае π = ( ij ), где ( ij ) — запись цикла для транспонирования координат частицы i и j . ${\displaystyle {\hat {P}}_{ij}}$

Транспозиции могут быть составлены (применены последовательно). Это определяет произведение между транспозициями, которое является ассоциативным . Можно показать, что произвольная перестановка N объектов может быть записана как произведение транспозиций и что число транспозиций в этом разложении имеет фиксированную четность. То есть, либо перестановка всегда разлагается на четное число транспозиций (перестановка называется четной и имеет четность +1), либо перестановка всегда разлагается на нечетное число транспозиций, и тогда она является нечетной перестановкой с четностью −1. Обозначая четность произвольной перестановки π через (−1) ^π , следует, что антисимметричная волновая функция удовлетворяет

${\displaystyle {\hat {P}}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,N{\big )}\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (N){\big )}=(-1)^{\pi }\Psi (1,2,\ldots ,N),}$

где мы связали линейный оператор с перестановкой π. ${\displaystyle {\hat {P}}}$

Множество всех N ! перестановок с ассоциативным произведением: «применить одну перестановку после другой», представляет собой группу, известную как группа перестановок или симметрическая группа , обозначаемая S _N . Мы определяем антисимметризатор как

${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv {\frac {1}{N!}}\sum _{P\in S_{N}}(-1)^{\pi }{\hat {P}}.}$

Свойства антисимметризатора

В теории представлений конечных групп антисимметризатор является хорошо известным объектом, поскольку набор четностей образует одномерное (и, следовательно, неприводимое) представление группы перестановок, известное как антисимметричное представление . Поскольку представление является одномерным, набор четностей образует характер антисимметричного представления. Антисимметризатор на самом деле является оператором проекции характера и является квазиидемпотентным, ${\displaystyle \{(-1)^{\pi }\}}$

Это приводит к тому, что для любой N -частичной волновой функции Ψ(1, ..., N ) мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Psi (1,\ldots ,N)={\begin{cases}&0\\&\Psi '(1,\dots ,N)\neq 0.\end{cases}}}$

Либо Ψ не имеет антисимметричной компоненты, и тогда антисимметризатор проецирует ее на ноль, либо имеет ее, и тогда антисимметризатор проецирует эту антисимметричную компоненту Ψ'. Антисимметризатор несет левое и правое представление группы:

${\displaystyle {\hat {P}}{\mathcal {A}}={\mathcal {A}}{\hat {P}}=(-1)^{\pi }{\mathcal {A}},\qquad \forall \pi \in S_{N},}$

с оператором, представляющим перестановку координат π. Теперь для любой N -частичной волновой функции Ψ(1, ..., N ) с неисчезающей антисимметричной компонентой справедливо следующее: ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle {\hat {P}}{\mathcal {A}}\Psi (1,\ldots ,N)\equiv {\hat {P}}\Psi '(1,\ldots ,N)=(-1)^{\pi }\Psi '(1,\ldots ,N),}$

показывая, что неисчезающий компонент действительно антисимметричен.

Если волновая функция симметрична относительно любой перестановки нечетной четности, она не имеет антисимметричной компоненты. Действительно, предположим, что перестановка π, представленная оператором , имеет нечетную четность и что Ψ симметрична, тогда ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle {\hat {P}}\Psi =\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}}{\hat {P}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow -{\mathcal {A}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}}\Psi =0.}$

В качестве примера применения этого результата предположим, что Ψ — спин-орбитальное произведение. Предположим далее, что спин-орбиталь встречается дважды (является «дважды занятой») в этом произведении, один раз с координатой k и один раз с координатой q . Тогда произведение симметрично относительно транспонирования ( k , q ) и, следовательно, обращается в нуль. Обратите внимание, что этот результат дает исходную формулировку принципа Паули : никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор квантовых чисел (находиться в одной и той же спин-орбитали).

Перестановки одинаковых частиц унитарны (эрмитово сопряженное равенство обратному оператору), и поскольку π и π ⁻¹ имеют одинаковую четность, то антисимметризатор является эрмитовым,

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\dagger }={\mathcal {A}}.}$

Антисимметризатор коммутирует с любой наблюдаемой величиной (эрмитов оператор, соответствующий физической — наблюдаемой — величине) ${\displaystyle {\hat {H}}\,}$

${\displaystyle [{\mathcal {A}},{\hat {H}}]=0.}$

Если бы это было не так, то измерение могло бы различать частицы, что противоречит предположению, что антисимметризатор влияет только на координаты неразличимых частиц. ${\displaystyle {\hat {H}}\,}$

Связь с определителем Слейтера

В частном случае, когда волновая функция, подлежащая антисимметризации, является произведением спин-орбиталей

${\displaystyle \Psi (1,2,\ldots ,N)=\psi _{n_{1}}(1)\psi _{n_{2}}(2)\cdots \psi _{n_{N}}(N)}$

Детерминант Слейтера создается антисимметризатором, работающим над произведением спин-орбиталей, как показано ниже:

${\displaystyle {\sqrt {N!}}\ {\mathcal {A}}\Psi (1,2,\ldots ,N)={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{n_{1}}(1)&\psi _{n_{1}}(2)&\cdots &\psi _{n_{1}}(N)\\\psi _{n_{2}}(1)&\psi _{n_{2}}(2)&\cdots &\psi _{n_{2}}(N)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\psi _{n_{N}}(1)&\psi _{n_{N}}(2)&\cdots &\psi _{n_{N}}(N)\\\end{vmatrix}}}$

Соответствие следует непосредственно из формулы Лейбница для определителей , которая гласит:

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )=\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }B_{1,\pi (1)}\cdot B_{2,\pi (2)}\cdot B_{3,\pi (3)}\cdot \,\cdots \,\cdot B_{N,\pi (N)},}$

где B — матрица

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1,1}&B_{1,2}&\cdots &B_{1,N}\\B_{2,1}&B_{2,2}&\cdots &B_{2,N}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\B_{N,1}&B_{N,2}&\cdots &B_{N,N}\\\end{pmatrix}}.}$

Чтобы увидеть соответствие, мы замечаем, что метки фермионов, переставленные членами в антисимметризаторе, маркируют разные столбцы (являются вторыми индексами). Первые индексы являются орбитальными индексами, n ₁ , ..., n _N маркируют строки.

Пример

По определению антисимметризатора

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)=&{\frac {1}{6}}{\Big (}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)+\psi _{a}(3)\psi _{b}(1)\psi _{c}(2)+\psi _{a}(2)\psi _{b}(3)\psi _{c}(1)\\&{}-\psi _{a}(2)\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{a}(3)\psi _{b}(2)\psi _{c}(1)-\psi _{a}(1)\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Big )}.\end{aligned}}}$

Рассмотрим определитель Слейтера

${\displaystyle D\equiv {\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{vmatrix}\psi _{a}(1)&\psi _{a}(2)&\psi _{a}(3)\\\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}.}$

По разложению Лапласа вдоль первой строки D

${\displaystyle D={\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(1){\begin{vmatrix}\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(2){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)\end{vmatrix}},}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}D=&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(1){\Big (}\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Big )}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(2){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(1){\Big )}\\&{}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(2)-\psi _{b}(2)\psi _{c}(1){\Big )}.\end{aligned}}}$

Сравнивая термины, мы видим, что

${\displaystyle D={\sqrt {6}}\ {\mathcal {A}}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3).}$

Межмолекулярный антисимметризатор

Часто встречается волновая функция вида произведения , где полная волновая функция не антисимметрична, но множители антисимметричны, ${\displaystyle \Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{A}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})=\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})}$

и

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{B}\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})=\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B}).}$

Здесь антисимметризует первый набор частиц N _A и антисимметризует второй набор частиц N _B. Операторы, появляющиеся в этих двух антисимметризаторах, представляют элементы подгрупп S N _{A и} S N _{B ,} соответственно, группы S _{N A + N B} . ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{B}}$

Обычно такие частично антисимметричные волновые функции встречаются в теории межмолекулярных сил , где — электронная волновая функция молекулы A , а — волновая функция молекулы B. При взаимодействии A и B принцип Паули требует антисимметрии полной волновой функции, в том числе и при межмолекулярных перестановках. ${\displaystyle \Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})}$ ${\displaystyle \Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})}$

Полная система может быть антисимметризована полным антисимметризатором , который состоит из ( N _A + N _B )! членов в группе S _{N A + N B} . Однако, таким образом, не используется частичная антисимметрия, которая уже присутствует. Более экономично использовать тот факт, что произведение двух подгрупп также является подгруппой, и рассмотреть левые смежные классы этой группы произведений в S _{N A + N B} : ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{AB}}$

${\displaystyle S_{N_{A}}\otimes S_{N_{B}}\subset S_{N_{A}+N_{B}}\Longrightarrow \forall \pi \in S_{N_{A}+N_{B}}:\quad \pi =\tau \pi _{A}\pi _{B},\quad \pi _{A}\in S_{N_{A}},\;\;\pi _{B}\in S_{N_{B}},}$

где τ — представитель левого смежного класса. Так как

${\displaystyle (-1)^{\pi }=(-1)^{\tau }(-1)^{\pi _{A}}(-1)^{\pi _{B}},}$

мы можем написать

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{AB}={\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}{\mathcal {A}}^{A}{\mathcal {A}}^{B}\quad {\hbox{with}}\quad {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}=\sum _{T=1}^{C_{AB}}(-1)^{\tau }{\hat {T}},\quad C_{AB}={\binom {N_{A}+N_{B}}{N_{A}}}.}$

Оператор представляет представителя смежного класса τ (межмолекулярная перестановка координат). Очевидно, что межмолекулярный антисимметризатор имеет фактор N _A ! N _B ! меньше членов, чем полный антисимметризатор. Наконец, ${\displaystyle {\hat {T}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})&\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})\\&={\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B}),\end{aligned}}}$

так что мы видим, что достаточно действовать с , если волновые функции подсистем уже антисимметричны. ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}}$

Смотрите также

• определитель Слейтера
• Идентичные частицы

Ссылки

1. П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики , 4-е издание, Кларендон, Оксфорд, Великобритания, (1958) стр. 248