Аполлоновская прокладка

Фрактал, состоящий из касательных окружностей

Пример аполлоновой прокладки

В математике аполлоновская сетка или аполлоновская сеть — это фрактал, созданный путем начала с тройки кругов, каждый из которых касается двух других, и последовательного заполнения большего количества кругов, каждый из которых касается еще трех. Он назван в честь греческого математика Аполлония Пергского . ^[1]

Строительство

Взаимно касающиеся окружности. Даны три взаимно касающиеся окружности ( черные ), в общем случае существуют две другие окружности, взаимно касающиеся их ( красные ).

Построение аполлоновой прокладки начинается с трех окружностей , , и (черные на рисунке), которые касаются друг друга, но не имеют ни одной точки тройного касания. Эти окружности могут быть разных размеров, и допускается, чтобы две окружности находились внутри третьей, или чтобы все три были снаружи друг друга. Как обнаружил Аполлоний, существуют еще две окружности и (красные), которые касаются всех трех исходных окружностей – они называются аполлоновыми окружностями . Эти пять окружностей отделены друг от друга шестью криволинейными треугольными областями, каждая из которых ограничена дугами трех попарно касающихся окружностей. Построение продолжается путем добавления еще шести окружностей, по одной в каждом из этих шести криволинейных треугольников, касающихся его трех сторон. Они, в свою очередь, создают еще 18 криволинейных треугольников, и построение продолжается путем повторного заполнения их касательными окружностями, и так до бесконечности. ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{5}}$

Продолжая таким образом шаг за шагом, построение добавляет новые окружности на этапе , давая в общей сложности окружности после этапов. В пределе этот набор окружностей является аполлоновой сеткой. В ней каждая пара касающихся окружностей имеет бесконечную цепочку Паппа окружностей, касающихся обеих окружностей в паре. ${\displaystyle 2\cdot 3^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3^{n+1}+2}$ ${\displaystyle n}$

В предельном случае (0,0,1,1) две наибольшие окружности заменяются параллельными прямыми. Это создает семейство окружностей Форда .

Размер каждой новой окружности определяется теоремой Декарта , которая гласит, что для любых четырех взаимно касающихся окружностей радиусы окружностей подчиняются уравнению Это уравнение может иметь решение с отрицательным радиусом; это означает, что одна из окружностей (с отрицательным радиусом) охватывает остальные три. Одна или две из начальных окружностей этого построения или окружности, полученные в результате этого построения, могут вырождаться в прямую линию, которую можно рассматривать как окружность с бесконечным радиусом. Когда есть две прямые, они должны быть параллельны и считаются касательными в точке на бесконечности . Когда прокладка включает две прямые на оси и одну единицу над ней, а также окружность единичного диаметра, касательную к обеим прямым с центром на оси , то окружности, которые касаются оси , являются окружностями Форда , важными в теории чисел . ${\displaystyle r_{i}}$ $${\displaystyle \left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{4}}}\right)^{2}=2\left({\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Аполлоновское покрытие имеет размерность Хаусдорфа около 1,3057. ^{[2] [3]} Поскольку оно имеет четко определенную дробную размерность, даже если оно не является точно самоподобным , его можно рассматривать как фрактал .

Симметрии

Преобразования Мёбиуса плоскости сохраняют формы и касания окружностей и, следовательно, сохраняют структуру аполлоновой прокладки. Любые две тройки взаимно касающихся окружностей в аполлоновой прокладке могут быть отображены друг в друга преобразованием Мёбиуса, и любые два аполлоновых прокладки могут быть отображены друг в друга преобразованием Мёбиуса. В частности, для любых двух касающихся окружностей в любой аполлоновой прокладке инверсия в окружности с центром в точке касания (частный случай преобразования Мёбиуса) преобразует эти две окружности в две параллельные прямые и преобразует остальную часть прокладки в специальную форму прокладки между двумя параллельными прямыми. Композиции этих инверсий могут использоваться для преобразования любых двух точек касания друг в друга. Преобразования Мёбиуса также являются изометриями гиперболической плоскости , поэтому в гиперболической геометрии все аполлоновы прокладки конгруэнтны. В некотором смысле, следовательно, существует только одна аполлонова прокладка, с точностью до (гиперболической) изометрии.

Аполлоновское покрытие является предельным множеством группы преобразований Мёбиуса, известной как группа Клейна . ^[4]

Для преобразований симметрии Евклида, а не преобразований Мёбиуса, в общем случае, аполлоновское покрытие унаследует симметрии своего порождающего набора из трех окружностей. Однако некоторые тройки окружностей могут генерировать аполлоновские покрытия с более высокой симметрией, чем исходная тройка; это происходит, когда то же покрытие имеет другой и более симметричный набор порождающих окружностей. К особенно симметричным случаям относятся аполлоновское покрытие между двумя параллельными прямыми (с бесконечной двугранной симметрией ), аполлоновское покрытие, генерируемое тремя конгруэнтными окружностями в равностороннем треугольнике (с симметрией треугольника), и аполлоновское покрытие, генерируемое двумя окружностями радиуса 1, окруженными окружностью радиуса 2 (с двумя линиями отражательной симметрии).

Интегральные аполлоновские упаковки кругов

• 
  Интегральная аполлоновская упаковка кругов, определяемая кривизной кругов (−1, 2, 2, 3)
• 
  Интегральная упаковка Аполлония кругов, определяемая кривизной кругов (−3, 5, 8, 8)
• 
  Интегральная упаковка Аполлония кругов, определяемая кривизной кругов (−12, 25, 25, 28)
• 
  Интегральная упаковка Аполлония кругов, определяемая кривизной кругов (−6, 10, 15, 19)
• 
  Интегральная упаковка Аполлония кругов, определяемая кривизной кругов (−10, 18, 23, 27)

Если любые четыре взаимно касающихся окружности в аполлоновой прокладке имеют целочисленную кривизну (обратную их радиусу), то все окружности в прокладке будут иметь целочисленную кривизну. ^[5] Поскольку уравнение, связывающее кривизны в аполлоновой прокладке, интегральные или нет, является , то следует, что можно перейти от одной четверки кривизн к другой с помощью прыжка Виета , так же как при нахождении нового числа Маркова . Первые несколько из этих интегральных аполлоновых прокладок перечислены в следующей таблице. В таблице перечислены кривизны самых больших окружностей в прокладке. Для полного описания каждой прокладки необходимы только первые три кривизны (из пяти, отображенных в таблице) — все остальные кривизны могут быть выведены из этих трех. $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd,\,}$$

Перечисление целых аполлоновых упаковок кругов

Кривизны являются корневой четверкой (наименьшей в некоторой целочисленной упаковке кругов), если . Они примитивны, когда . Определение нового набора переменных матричным уравнением дает систему, где удовлетворяет уравнению Декарта точно, когда . Кроме того, примитивен точно, когда , и является корневой четверкой точно, когда . ^[5] ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle a<0\leq b\leq c\leq d}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1}$ ${\displaystyle (x,d_{1},d_{2},m)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&1&1&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\d_{1}\\d_{2}\\m\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}}$ ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle \gcd(x,d_{1},d_{2})=1}$ ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle x<0\leq 2m\leq d_{1}\leq d_{2}}$

Это отношение можно использовать для нахождения всех четверок примитивных корней с заданным отрицательным изгибом . Из и следует , что , и, следовательно, что . Таким образом, любая четверка корней будет удовлетворять . Перебирая все возможные значения , , и можно найти все четверки примитивных корней. ^[6] Следующий код Python демонстрирует этот алгоритм, создавая четверки примитивных корней, перечисленные выше. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2m\leq d_{1}}$ ${\displaystyle 2m\leq d_{2}}$ ${\displaystyle 4m^{2}\leq d_{1}d_{2}}$ ${\displaystyle 3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq |x|/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

импорт  математикиdef  get_primitive_bends ( n :  int ) :  если  n  ==  0 :  выход  0 ,  0 ,  1 ,  1  возврат  для  m  в  диапазоне ( math.ceil ( n / math.sqrt ( 3 ) ) ) : s = m ** 2 + n ** 2 для d1 в диапазоне ( max ( 2 * m , 1 ) , math.floor ( math.sqrt ( s ) ) + 1 ) : d2 , остаток = divmod ( s , d1 ) если остаток == 0 и math.gcd ( n , d1 , d2 ) == 1 : выход -n , d1 + n , d2 + n , d1 + d2 + n - 2 * m​​​​                                                 для  n  в  диапазоне ( 15 ):  для  изгибов  в  get_primitive_bends ( n ):  печать ( изгибы )

Кривизны, появляющиеся в примитивной целочисленной упаковке аполлоновых кругов, должны принадлежать к набору из шести или восьми возможных классов вычетов по модулю 24, и численные доказательства подтверждают, что любое достаточно большое целое число из этих классов вычетов также будет присутствовать как кривизна внутри упаковки. ^[7] Эта гипотеза, известная как локально-глобальная гипотеза, была опровергнута в 2023 году. ^{[8] [9]}

Симметрия целочисленных аполлоновых упаковок кругов

Существует несколько типов двугранной симметрии , которые могут возникать в прокладке в зависимости от кривизны окружностей.

Симметрии нет.

Если ни одна из кривизн не повторяется в пределах первых пяти, то прокладка не содержит симметрии, что представлено группой симметрии C ₁ ; примером является прокладка, описываемая кривизнами (−10, 18, 23, 27).

Д₁симметрия

_{Всякий раз, когда} два из пяти наибольших кругов в прокладке имеют одинаковую кривизну, эта прокладка будет иметь симметрию D1 , что соответствует отражению вдоль диаметра ограничивающей окружности, без вращательной симметрии.

Д₂симметрия

Если две различные кривизны повторяются в пределах первых пяти, прокладка будет иметь симметрию D ₂ ; такая симметрия состоит из двух отражений (перпендикулярных друг другу) вдоль диаметров ограничивающей окружности с двойной вращательной симметрией 180°. Прокладка, описываемая кривизнами (−1, 2, 2, 3), является единственной прокладкой Аполлона (с точностью до масштабного коэффициента), обладающей симметрией D ₂ .

Д₃симметрия

_{Целочисленных прокладок с симметрией} D3 не существует .

Если три окружности с наименьшей положительной кривизной имеют одинаковую кривизну, прокладка будет иметь симметрию D ₃ , которая соответствует трем отражениям вдоль диаметров ограничивающей окружности (разнесенных на 120°), вместе с трехкратной вращательной симметрией 120°. В этом случае отношение кривизны ограничивающей окружности к трем внутренним окружностям равно 2 √ 3  − 3. Поскольку это отношение не является рациональным, ни одна целочисленная аполлоновская упаковка кругов не обладает этой симметрией D ₃ , хотя многие упаковки близки к этому.

Почти-Д₃симметрия

(−15, 32, 32, 33)

(−15, 32, 32, 33)

Рисунок слева представляет собой интегральную аполлоновскую прокладку, которая, по-видимому, имеет симметрию D _3. Тот же рисунок показан справа с метками, указывающими кривизну внутренних окружностей, что иллюстрирует, что прокладка на самом деле обладает только симметрией D _1, общей для многих других интегральных аполлоновских прокладок.

В следующей таблице перечислены еще эти почти - D ₃ интегральные аполлоновы прокладки. Последовательность обладает некоторыми интересными свойствами, и в таблице перечислены факторизация кривизн вместе с множителем, необходимым для перехода от предыдущего набора к текущему. Абсолютные значения кривизн дисков "a" подчиняются рекуррентному соотношению a ( n ) = 4 a ( n − 1) − a ( n − 2) (последовательность A001353 в OEIS ), из которого следует, что множитель сходится к √ 3  + 2 ≈ 3.732050807.

Последовательные искривления

Вложенные аполлоновские прокладки

Для любого целого числа n  > 0 существует аполлоновская прокладка, определяемая следующими кривизнами:
(− n ,  n  + 1,  n ( n  + 1),  n ​​( n  + 1) + 1).
Например, прокладки, определяемые (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73) и (−9, 10, 90, 91), все следуют этому шаблону. Поскольку каждая внутренняя окружность, определяемая n  + 1, может стать ограничивающей окружностью (определяемой − n ) в другой прокладке, эти прокладки могут быть вложенными . Это показано на рисунке справа, который содержит эти последовательные прокладки с n от 2 до 20.

История

Хотя прокладка Аполлона названа в честь Аполлония Пергского — из-за зависимости ее конструкции от решения задачи Аполлония — самое раннее описание прокладки относится к 1706 году, оно было дано Лейбницем в письме к Де Боссу . ^[10] Первое современное определение прокладки Аполлона дано Каснером и Супником. ^[11]

Смотрите также

Упаковка сфер Аполлона

• Аполлоновская сеть , граф, полученный из конечных подмножеств аполлоновской сетки
• Упаковка сфер Аполлона , трехмерное обобщение упаковки Аполлона
• Треугольник Серпинского , самоподобный фрактал с похожей комбинаторной структурой

Примечания

1. Сатиджа, II, Бабочка в мире Иглесиаса Васеаса: история самого захватывающего квантового фрактала ( Бристоль : IOP Publishing , 2016), стр. 5.
2. Бойд, Дэвид В. (1973), «Остаточное множество размерности упаковки Аполлона», Mathematika , 20 (2): 170–174, doi :10.1112/S0025579300004745, MR  0493763
3. МакМаллен, Кертис Т. (1998), «Размерность Хаусдорфа и конформная динамика, III: Вычисление размерности» (PDF) , American Journal of Mathematics , 120 (4): 691–721, doi :10.1353/ajm.1998.0031, MR  1637951, S2CID  15928775
4. Подсчет кругов и эргодическая теория групп Клейна Хи О Брауна. Университет, декабрь 2009 г.
5. Рональд Л. Грэм, Джеффри К. Лагариас, Колин М. Маллоуз, Алан Р. Уилкс и Кэтрин Х. Ян; «Упаковки аполлоновых кругов: теория чисел» Дж. Теория чисел, 100 (2003), 1–45.
6. Брэдфорд, Олден. «Возвращаясь к Apollonian Gaskets» . Получено 7 августа 2022 г.
7. Фукс, Елена; Санден, Кэтрин (28.11.2011). «Некоторые эксперименты с интегральными упаковками аполлоновых кругов». Experimental Mathematics . 20 (4): 380–399. arXiv : 1001.1406 . doi : 10.1080/10586458.2011.565255. ISSN  1058-6458.
8. Саммер Хааг; Клайд Кертцер; Джеймс Рикардс; Кэтрин Э. Стэнж. «Локально-глобальная гипотеза для аполлоновых упаковок кругов ложна». arXiv : 2307.02749 .
9. Леви, Макс Г. (10 августа 2023 г.). «Два студента распутывают широко распространенную математическую гипотезу». Журнал Quanta . Получено 14 августа 2023 г.
10. Лейбниц к Де Боссе, Ганновер, 11–17 марта 1706 г., перевод доктора Освальдо Оттавиани https://humanities.technion.ac.il/en/leibniz-to-des-bosses-hannover-11-17-march-1706/
11. Каснер и Супник 1943.

Ссылки

• Бенуа Б. Мандельброт : Фрактальная геометрия природы , WH Freeman, 1982, ISBN 0-7167-1186-9 
• Пол Д. Бурк: «Введение во фрактал Аполлонии». Компьютеры и графика, том 30, выпуск 1, январь 2006 г., страницы 134–136.
• Каснер, Эдвард ; Супник, Фред (1943). «Аполлоновская упаковка кругов». Труды Национальной академии наук . 29 : 378–384.
• А.А. Кириллов : Повесть о двух фракталах , Биркхаузер, 2013.
• Дэвид Мамфорд , Серия «Каролина» , Дэвид Райт: Жемчужины Индры: Видение Феликса Кляйна , Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-35253-3 
• Джеффри К. Лагариас, Колин Л. Маллоуз, Аллан Р. Уилкс: За пределами теоремы о круге Декарта , The American Mathematical Monthly, т. 109, № 4 (апрель 2002 г.), стр. 338–361, (arXiv:math.MG/0101066 v1 9 января 2001 г.)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Аполлоновское волокно». MathWorld .
• Александр Богомольный , Аполлоновская прокладка , разрубить узел
• Интерактивная прокладка Apollonian, работающая на чистом HTML5 на Wayback Machine (архив 2011-05-02)
• Скрипт Matlab для построения двумерной аполлоновой прокладки с n одинаковыми окружностями. Архивировано 07.10.2008 на Wayback Machine с использованием инверсии окружностей.
• Онлайн-эксперименты с JSXGraph
• Apollonian Gasket , Майкл Скрейбер, The Wolfram Demonstrations Project .
• Интерактивная прокладка Аполлона Демонстрация прокладки Аполлона, работающей на Java
• Дэна Маккензи. Computing Science: A Tisket, a Tasket, an Apollonian Gasket. American Scientist, январь/февраль 2010 г.
• «Песочный рисунок — самое большое в мире произведение искусства», The Telegraph , 16 декабря 2009 г.. Газетная статья о произведении искусства в виде частичной аполлонической прокладки с внешней окружностью в девять миль.
• Динамические аполлоновы прокладки , Тартапелаго Джорджио Пьетроколы, 2014. (на итальянском)