Резидуально конечная группа

В математической области теории групп группа G называется финитно аппроксимируемой или конечно аппроксимируемой, если для каждого элемента g , который не является тождественным в G, существует гомоморфизм h из G в конечную группу , такой что

${\displaystyle h(g)\neq 1.\,}$^[1]

Существует ряд эквивалентных определений:

• Группа является финитно аппроксимируемой, если для каждого неединичного элемента в группе существует нормальная подгруппа конечного индекса , не содержащая этот элемент.
• Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда пересечение всех ее подгрупп конечного индекса тривиально .
• Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда пересечение всех ее нормальных подгрупп конечного индекса тривиально.
• Группа является финитно аппроксимируемой тогда и только тогда, когда она может быть вложена в прямое произведение семейства конечных групп.

Примеры

Примерами групп, которые являются финитно аппроксимируемыми, являются конечные группы , свободные группы , конечно порождённые нильпотентные группы , полициклические-на-конечность группы , конечно порождённые линейные группы и фундаментальные группы компактных 3-многообразий .

Подгруппы аппроксимируемых финитно групп аппроксимируемы финитно, а прямые произведения аппроксимируемых финитно групп аппроксимируемы финитно. Любой обратный предел аппроксимируемых финитно групп аппроксимируем финитно. В частности, все проконечные группы аппроксимируемы финитно.

Примеры нерезидуально конечных групп можно построить, используя тот факт, что все конечно порождённые резидуально конечные группы являются хопфовыми группами . Например, группа Баумслага–Солитера B (2,3) не является хопфовой, и, следовательно, не является резидуально конечной.

Проконечная топология

Каждая группа G может быть превращена в топологическую группу , взяв за основу открытых окрестностей единицы совокупность всех нормальных подгрупп конечного индекса в G. Полученная топология называется проконечной топологией на G. Группа является аппроксимируемой финитно тогда и только тогда, когда ее проконечная топология является хаусдорфовой .

Группа, циклические подгруппы которой замкнуты в проконечной топологии, называется . Группы, каждая из конечно порождённых подгрупп которых замкнута в проконечной топологии, называются сепарабельными по подгруппам (также LERF , для локально расширенной аппроксимируемости конечными ). Группа, в которой каждый класс сопряжённости замкнут в проконечной топологии, называется сепарабельной по сопряжённости . ${\displaystyle \Pi _{C}\,}$

Многообразия аппроксимируемых конечных групп

Один вопрос: каковы свойства многообразия , все группы которого являются финитно аппроксимируемыми? Два результата по этому поводу:

• Любое многообразие, состоящее только из аппроксимируемых конечных групп, порождается A-группой .
• Для любого многообразия, состоящего только из аппроксимируемых конечных групп, оно содержит конечную группу, все члены которой вложены в прямое произведение этой конечной группы.

Смотрите также

• Остаточная собственность (математика)

Ссылки

1. Магнус, Вильгельм (март 1969). «Адаптируемо конечные группы». Бюллетень Американского математического общества . 75 (2): 305–316. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12149-X . ISSN  0002-9904.

Внешние ссылки

• Статья с доказательствами некоторых из приведенных выше утверждений