Аргумент Фраттини

В теории групп , разделе математики , аргумент Фраттини является важной леммой в теории структур конечных групп . Он назван в честь Джованни Фраттини , который использовал его в статье 1885 года при определении подгруппы Фраттини группы. Аргумент был взят Фраттини, как он сам признает, из статьи Альфредо Капелли , датированной 1884 годом. ^[1]

Аргумент Фраттини

Заявление

Если — конечная группа с нормальной подгруппой , и если — силовская p -подгруппа группы , то ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle G=N_{G}(P)H,}$

где обозначает нормализатор в , а означает произведение подмножеств группы . ${\displaystyle N_{G}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N_{G}(P)H}$

Доказательство

Группа является силовской -подгруппой группы , поэтому каждая силовская -подгруппа группы является -сопряженной группой группы , то есть она имеет вид для некоторых (см. теоремы Силова ). Пусть будет любым элементом группы . Так как является нормальной в , подгруппа содержится в . Это означает, что является силовской -подгруппой группы . Тогда, согласно вышесказанному, она должна быть -сопряженной группе : то есть для некоторых ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h^{-1}Ph}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g^{-1}Pg}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g^{-1}Pg}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h\in H}$

${\displaystyle g^{-1}Pg=h^{-1}Ph,}$

и так

${\displaystyle hg^{-1}Pgh^{-1}=P.}$

Таким образом

${\displaystyle gh^{-1}\in N_{G}(P),}$

и поэтому . Но был произвольным, и поэтому ${\displaystyle g\in N_{G}(P)H}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle G=HN_{G}(P)=N_{G}(P)H.\ \square }$

Приложения

• Аргумент Фраттини можно использовать как часть доказательства того, что любая конечная нильпотентная группа является прямым произведением своих силовских подгрупп.
• Применяя аргумент Фраттини к , можно показать, что всякий раз, когда является конечной группой и является силовской -подгруппой . ${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))}$ ${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))=N_{G}(P)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$
• В более общем случае, если подгруппа содержит для некоторой силовской -подгруппы группы , то является самонормализующейся, т.е. . ${\displaystyle M\leq G}$ ${\displaystyle N_{G}(P)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=N_{G}(M)}$

Внешние ссылки

• Аргумент Фраттини на ProofWiki

Ссылки

1. М. Брешиа, Ф. де Джованни, М. Тромбетти, «Правдивая история, стоящая за аргументом Фраттини», Advances in Group Theory and Applications 3 , doi:10.4399/97888255036928

• Холл, Маршалл (1959). Теория групп . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Macmillan. (См. Главу 10, особенно Раздел 10.4.)