Аргумент Вейля о плитке

Философский аргумент

В философии аргумент Вейля о плитке , введенный Германом Вейлем в 1949 году, является аргументом против представления о том, что физическое пространство «дискретно», как если бы оно состояло из некоторого количества единиц или плиток конечного размера . ^[1] Аргумент призван показать, что функция расстояния, аппроксимирующая теорему Пифагора на дискретном пространстве, не может быть определена, и, поскольку теорема Пифагора была подтверждена как приблизительно верная в природе, физическое пространство не является дискретным. ^{[2] [3] [4]} Академические дебаты по этой теме продолжаются, и в литературе предлагаются контраргументы. ^{[5] [6] [7]}

Аргумент

Аргумент о плитке появляется в книге Вейля 1949 года «Философия математики и естественных наук» , где он пишет:

Если квадрат построен из миниатюрных плиток, то по диагонали будет столько же плиток, сколько и по стороне; таким образом, диагональ должна быть равна по длине стороне. ^[1]

Мы аппроксимируем диагональ вертикальными и горизонтальными ребрами. Независимо от того, насколько велико n, длины не совпадают.

Демонстрация аргумента Вейля осуществляется путем построения квадратной мозаики плоскости, представляющей дискретное пространство. Дискретизированный треугольник, n единиц в высоту и n единиц в длину, может быть построен на мозаике. Гипотенуза полученного треугольника будет иметь длину n плиток. Однако, по теореме Пифагора, соответствующий треугольник в непрерывном пространстве — треугольник, высота и длина которого равны n — будет иметь гипотенузу длиной единиц. Чтобы показать, что первый результат не сходится ко второму для произвольных значений n , можно изучить процентную разницу между двумя результатами: Поскольку n сокращается, два результата никогда не сходятся, даже в пределе больших n . Аргумент можно построить для более общих треугольников, но в каждом случае результат будет тем же. Таким образом, дискретное пространство даже не приближается к теореме Пифагора. ${\displaystyle n{\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle {\frac {n{\sqrt {2}}-n}{n{\sqrt {2}}}}=1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$$

Ответы

В ответ Крис Макдэниел утверждает, что аргумент плитки Вейля зависит от принятия «тезиса размера», который утверждает, что расстояние между двумя точками задается числом плиток между двумя точками. Однако, как указывает Макдэниел, тезис размера не принимается для непрерывных пространств. Таким образом, у нас могут быть причины не принимать тезис размера для дискретных пространств. ^[5]

Смотрите также

• Цифровая физика
• Дискретное исчисление
• Такси метрика
• Причинно-следственные множества
• Процесс точки Пуассона
• Natura non facit saltus

Ссылки

1. Weyl, Hermann (1949). Философия математики и естественных наук . Princeton University Press .
2. Хагар, Амит (2014). Дискретный или непрерывный?: Поиски фундаментальной длины в современной физике . Cambridge University Press . ISBN 978-1107062801.
3. Коэн, С. Марк. «Атомизм». Faculty.washington.edu . Получено 2015-05-02 .
4. Фриц, Тобиас (июнь 2013 г.). «Скоростные многогранники периодических графов и теорема о недопустимости для цифровой физики». Дискретная математика . 313 (12): 1289–1301. arXiv : 1109.1963 . Bibcode : 2011arXiv1109.1963F. doi : 10.1016/j.disc.2013.02.010. S2CID  15066745.
5. McDaniel, K. (2007). «Расстояние и дискретное пространство». Synthese . 155 (1): 157–162. doi :10.1007/s11229-005-5034-7. ISSN  0039-7857. JSTOR  27653481. S2CID  8768211.
6. Ван Бендегем, Жан Поль (2019-09-12). «Финитизм в геометрии». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
7. Чэнь, Лу (август 2021 г.). «Внутренние локальные расстояния: смешанное решение аргумента плитки Вейля». Synthese . 198 (8): 7533–7552. arXiv : 2309.01962 . doi :10.1007/s11229-020-02531-4. ISSN  0039-7857. S2CID  210135018.