Арифметизация анализа

Арифметизация анализа была исследовательской программой в области оснований математики, проведенной во второй половине XIX века, которая была направлена ​​на отмену всякой геометрической интуиции из доказательств в анализе. Для последователей этой программы основные понятия исчисления также не должны были ссылаться на идеи движения и скорости. Этот идеал преследовали Огюстен-Луи Коши , Бернар Больцано , Карл Вейерштрасс и другие, которые считали, что исчислению Исаака Ньютона не хватало строгости.

История

Первоначально термин арифметизация анализа был введен Кронекером , под которым он подразумевал его конструктивизацию в контексте натуральных чисел (см. цитату внизу страницы). Позднее значение термина изменилось на обозначение теоретико-множественного построения действительной прямой . Его главным сторонником был Вейерштрасс , который утверждал, что геометрические основы исчисления недостаточно прочны для строгой работы.

Исследовательская программа

Основные моменты этой исследовательской программы:

• различные (но эквивалентные) конструкции действительных чисел Дедекинда и Кантора, приведшие к современному аксиоматическому определению поля действительных чисел ;
• определение предела эпсилон-дельта ; и
• наивное теоретико-множественное определение функции .

Наследие

Важным побочным продуктом арифметизации анализа является теория множеств. Наивная теория множеств была создана Кантором и другими после завершения арифметизации как способ изучения особенностей функций, появляющихся в исчислении.

Арифметизация анализа имела несколько важных последствий:

• широко распространенное убеждение в изгнании бесконечно малых величин из математики до создания нестандартного анализа Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах, тогда как в действительности работа над неархимедовыми системами продолжалась безостановочно, как документально подтверждено П. Эрлихом;
• смещение акцента с геометрических на алгебраические рассуждения: это имело важные последствия для того, как сегодня преподают математику;
• это сделало возможным развитие современной теории меры Лебегом и зачатков функционального анализа Гильбертом ;
• это послужило мотивом для ныне распространенной философской позиции, согласно которой вся математика должна быть выведена из логики и теории множеств, что в конечном итоге привело к программе Гильберта , теоремам Гёделя и нестандартному анализу .

Цитата

• «Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человека». — Кронекер

Ссылки

• Торина Дешон Льюис (2006) Арифметизация анализа: от Евдокса до Дедекинда , Южный университет.
• Карл Б. Бойер, Ута К. Мерцбах (2011) История математики John Wiley & Sons.
• Арифметизация анализа в Энциклопедии математики .
• Джеймс Пирпонт (1899) «Об арифметизации математики», Bull. Amer. Math. Soc. 5(8): 394–406.