Обратные гиперболические функции

Математические функции

Графики обратных гиперболических функций

Гиперболические функции sinh , cosh и tanh относительно единичной гиперболы аналогичны круговым функциям sin , cos , tan относительно единичной окружности. Аргументом гиперболических функций является гиперболическая угловая мера.

В математике обратные гиперболические функции являются обратными гиперболическим функциям , аналогичным обратным круговым функциям . Обычно используются шесть: обратный гиперболический синус, обратный гиперболический косинус, обратный гиперболический тангенс, обратный гиперболический косеканс, обратный гиперболический секанс и обратный гиперболический котангенс. Обычно они обозначаются символами гиперболических функций с префиксом arc- или ar- .

Для заданного значения гиперболической функции обратная гиперболическая функция дает соответствующую меру гиперболического угла , например и Мера гиперболического угла — это длина дуги единичной гиперболы , измеренная в лоренцевой плоскости ( а не длина гиперболической дуги в евклидовой плоскости ), и удвоенная площадь соответствующего гиперболического сектора . Это аналогично тому, как мера кругового угла — это длина дуги дуги единичной окружности в евклидовой плоскости или удвоенная площадь соответствующего кругового сектора . С другой стороны, гиперболический угол — это площадь сектора гиперболы. Некоторые авторы называют обратные гиперболические функции функциями гиперболической площади . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a}$ ${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle xy=1.}$

Гиперболические функции встречаются при вычислении углов и расстояний в гиперболической геометрии . Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (например, уравнения, определяющего цепную линию ), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах . Уравнения Лапласа важны во многих областях физики , включая электромагнитную теорию , теплопередачу , гидродинамику и специальную теорию относительности .

Обозначение

Луч через единичную гиперболу в точке , где - удвоенная площадь между лучом, гиперболой и осью ${\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ ${\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

Самые ранние и наиболее широко принятые символы используют префикс arc- (то есть: arcsinh , arccosh , arctanh , arcsech , arccsch , arccoth ) по аналогии с обратными круговыми функциями ( arcsin и т. д.). Для единичной гиперболы («лоренцевой окружности») в лоренцевой плоскости ( псевдоевклидовой плоскости сигнатуры ( 1, 1) ) ^[2] или в гиперболической числовой плоскости ^[3] мера гиперболического угла (аргумент гиперболических функций) действительно является длиной дуги гиперболической дуги.

Также распространена нотация и т. д., ^{[4] [5]} , хотя следует проявлять осторожность, чтобы избежать неправильного толкования верхнего индекса −1 как показателя степени. Стандартное соглашение заключается в том, что или означает обратную функцию, в то время как или означает обратную величину. Особенно непоследовательным является традиционное использование положительных целых верхних индексов для обозначения показателя степени, а не композиции функций, например, традиционно означает и не ${\displaystyle \sinh ^{-1},}$ ${\displaystyle \cosh ^{-1},}$ ${\displaystyle \sinh ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sinh ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle (\sinh x)^{-1}}$ ${\displaystyle \sinh(x)^{-1}}$ ${\displaystyle 1/\sinh x.}$ ${\displaystyle \sinh ^{2}x}$ ${\displaystyle (\sinh x)^{2}}$ ${\displaystyle \sinh(\sinh x).}$

Поскольку аргумент гиперболических функций не является длиной дуги гиперболической дуги в евклидовой плоскости , некоторые авторы осудили префикс arc- , утверждая, что предпочтительнее префикс ar- (для площади ) или arg- (для аргумента ). ^[6] Следуя этой рекомендации, сокращения стандарта ISO 80000-2 используют префикс ar- (то есть: arsinh , arcosh , artanh , arsech , arcsch , arcoth ).

В языках программирования обратные круговые и гиперболические функции часто обозначаются более коротким префиксом a- ( asinh и т. д.).

В этой статье для удобства будет последовательно использоваться префикс ar- .

Определения в терминах логарифмов

Поскольку гиперболические функции являются квадратичными рациональными функциями показательной функции, их можно решить с помощью квадратной формулы , а затем записать в терминах натурального логарифма . ${\displaystyle \exp x,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}$

Для комплексных аргументов обратные круговые и гиперболические функции, квадратный корень и натуральный логарифм являются многозначными функциями .

Формулы сложения

${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$

Другие идентичности

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$

Композиция гиперболических и обратных гиперболических функций

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$

Композиция обратных гиперболических и круговых функций

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$

${\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)}$^[7]

Конверсии

${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}$

Производные

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}$

Эти формулы можно вывести через производные гиперболических функций. Например, если , то так ${\displaystyle x=\sinh \theta }$ ${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

Расширения серии

Для вышеуказанных функций можно получить ряды расширения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

Асимптотическое разложение для арсинх имеет вид

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$

Главные значения в комплексной плоскости

Как функции комплексной переменной , обратные гиперболические функции являются многозначными функциями , которые являются аналитическими за исключением конечного числа точек. Для такой функции обычно определяют главное значение , которое является однозначной аналитической функцией, совпадающей с одной конкретной ветвью многозначной функции, над областью, состоящей из комплексной плоскости, в которой удалено конечное число дуг (обычно полупрямых или отрезков прямых ). Эти дуги называются срезами ветвей . Главное значение многофункции выбирается в определенной точке, а значения в других местах области определения определяются так, чтобы они согласовывались с найденными аналитическим продолжением .

Например, для квадратного корня главное значение определяется как квадратный корень, имеющий положительную действительную часть . Это определяет однозначную аналитическую функцию, которая определена везде, за исключением неположительных действительных значений переменных (где два квадратных корня имеют нулевую действительную часть). Это главное значение функции квадратного корня обозначается далее. Аналогично, главное значение логарифма, обозначаемое далее, определяется как значение, при котором мнимая часть имеет наименьшее абсолютное значение. Оно определяется везде, за исключением неположительных действительных значений переменной, при которых два различных значения логарифма достигают минимума. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} }$

Для всех обратных гиперболических функций главное значение может быть определено через главные значения квадратного корня и логарифмической функции. Однако в некоторых случаях формулы § Определения через логарифмы не дают правильного главного значения, так как дают область определения, которая слишком мала и, в одном случае, несвязна .

Главное значение обратного гиперболического синуса

Главное значение обратного гиперболического синуса определяется по формуле

${\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.}$

Аргумент квадратного корня является неположительным действительным числом, если и только если z принадлежит одному из интервалов [ i , + i ∞) и (− i ∞, − i ] мнимой оси. Если аргумент логарифма действительный, то он положительный. Таким образом, эта формула определяет главное значение для arsinh с ветвями разрезов [ i , + i ∞) и (− i ∞, − i ] . Это оптимально, поскольку ветвления разрезов должны соединять особые точки i и − i до бесконечности.

Главное значение обратного гиперболического косинуса

Формула для обратного гиперболического косинуса, приведенная в § Обратный гиперболический косинус, неудобна, поскольку, подобно главным значениям логарифма и квадратного корня, главное значение arcosh не будет определено для мнимого z . Таким образом, квадратный корень должен быть факторизован, что приводит к

${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.}$

Главные значения квадратных корней определены, за исключением случая, когда z принадлежит действительному интервалу (−∞, 1] . Если аргумент логарифма является действительным, то z также является действительным и имеет тот же знак. Таким образом, приведенная выше формула определяет главное значение arcosh вне действительного интервала (−∞, 1] , которое, таким образом, является единственным разрезом ветви.

Главные значения обратного гиперболического тангенса и котангенса

Формулы, приведенные в § Определения в терминах логарифмов, предполагают

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$

для определения главных значений обратного гиперболического тангенса и котангенса. В этих формулах аргумент логарифма является действительным тогда и только тогда, когда z является действительным. Для artanh этот аргумент находится в действительном интервале (−∞, 0] , если z принадлежит либо (−∞, −1] , либо [1, ∞) . Для arcoth аргумент логарифма находится в (−∞, 0] , если и только если z принадлежит действительному интервалу [−1, 1] .

Таким образом, эти формулы определяют удобные главные значения, для которых ветвления равны (−∞, −1] и [1, ∞) для обратного гиперболического тангенса и [−1, 1] для обратного гиперболического котангенса.

Ввиду лучшей численной оценки вблизи ветвей некоторые авторы ^{[ требуется ссылка ]} используют следующие определения главных значений, хотя второе из них вводит устранимую особенность при z = 0. Два определения различаются для действительных значений с . Определения различаются для действительных значений с . ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z>1}$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in [0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}}$

Главное значение обратного гиперболического косеканса

Для обратного гиперболического косеканса главное значение определяется как

${\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)}$.

Он определен, за исключением случаев, когда аргументы логарифма и квадратного корня являются неположительными действительными числами. Главное значение квадратного корня, таким образом, определяется вне интервала [− i , i ] мнимой прямой. Если аргумент логарифма является действительным числом, то z является ненулевым действительным числом, и это означает, что аргумент логарифма является положительным.

Таким образом, главное значение определяется приведенной выше формулой вне разреза ветви , состоящего из интервала [− i , i ] воображаемой линии.

(При z = 0 имеется особая точка, которая включена в разрез ветви.)

Главное значение обратного гиперболического секанса

Здесь, как и в случае обратного гиперболического косинуса, нам нужно разложить квадратный корень на множители. Это дает главное значение

${\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).}$

Если аргумент квадратного корня действителен, то z действительно, и отсюда следует, что оба главных значения квадратных корней определены, за исключением случая, когда z действительно и принадлежит одному из интервалов (−∞, 0] и [1, +∞) . Если аргумент логарифма действителен и отрицателен, то z также действительно и отрицательно. Отсюда следует, что главное значение arsech хорошо определено приведенной выше формулой вне двух разрезов ветвей , действительных интервалов (−∞, 0] и [1, +∞) .

При z = 0 имеется особая точка, входящая в один из разрезов ветвей.

Графическое представление

В следующем графическом представлении главных значений обратных гиперболических функций, ветвления срезов появляются как разрывы цвета. Тот факт, что все ветвления срезов появляются как разрывы, показывает, что эти главные значения не могут быть расширены до аналитических функций, определенных в более крупных областях. Другими словами, определенные выше ветвления срезов минимальны.

Обратные гиперболические функции в комплексной z-плоскости: цвет в каждой точке плоскости представляет комплексное значение соответствующей функции в этой точке.

Смотрите также

• Комплексный логарифм
• Гиперболическое секансное распределение
• ИСО 80000-2
• Список интегралов обратных гиперболических функций

Ссылки

1. Например:
   Вельтнер, Клаус и др. (2014) [2009]. Математика для физиков и инженеров (2-е изд.). Springer. ISBN 978-364254124-7.
   Дуран, Марио (2012). Математические методы распространения волн в науке и технике . Том 1. Ediciones UC. С. 89. ISBN 9789561413146.
2. Бирман, Грасиела С.; Номидзу, Кацуми (1984). «Тригонометрия в лоренцевой геометрии». American Mathematical Monthly . 91 (9): 543–549. doi :10.1080/00029890.1984.11971490. JSTOR  2323737.
3. Собчик, Гаррет (1995). «Гиперболическая числовая плоскость». College Mathematics Journal . 26 (4): 268–280. doi :10.1080/07468342.1995.11973712.
4. Weisstein, Eric W. "Обратные гиперболические функции". Wolfram Mathworld . Получено 2020-08-30 .
   "Обратные гиперболические функции". Энциклопедия математики . Получено 2020-08-30 .
5. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (1992). "§ 5.6. Квадратные и кубические уравнения". Численные рецепты на FORTRAN (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-43064-X.
   Woodhouse, NMJ (2003). Специальная теория относительности . Springer. стр. 71. ISBN 1-85233-426-6.
6. Гуллберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел . WW Norton. стр. 539. ISBN 039304002X. Другая форма записи, arcsinh x , arccosh x и т. д., является практикой, заслуживающей осуждения, поскольку эти функции не имеют ничего общего с arc , а имеют дело с area ea , как показывают их полные латинские названия, ¶ arsinh   area sinus hyperbolicus ¶ arcosh   area cosinus hyperbolicus и т. д.
   Zeidler, Eberhard ; Hackbusch, Wolfgang ; Schwarz, Hans Rudolf (2004). "§ 0.2.13 Обратные гиперболические функции". Oxford Users' Guide to Mathematics . Перевод Hunt, Bruce. Oxford University Press. стр. 68. ISBN 0198507631. Латинские названия обратных гиперболических функций — area sinus hyperbolicus , area cosinus hyperbolicus , area tangens hyperbolicus и area cotangens hyperbolicus (of x ).....
   Цейдлер и др. используют обозначения arsinh и т. д.; обратите внимание, что приведенные латинские названия являются обратными образованиями , изобретенными намного позже того, как неолатынь вышла из употребления в математической литературе.
   Бронштейн Илья Н. ; Семендяев Константин А. ; Мусиоль, Герхард; Хайнер, Мюлиг (2007). «§ 2.10: Функции площади». Справочник по математике (5-е изд.). Спрингер. п. 91. дои : 10.1007/978-3-540-72122-2. ISBN 978-3540721215. Функции площади являются обратными функциями гиперболических функций, т. е. обратными гиперболическими функциями . Функции sinh x , tanh x и coth x строго монотонны, поэтому они имеют уникальные обратные функции без каких-либо ограничений; функция cosh x имеет два монотонных интервала, поэтому мы можем рассмотреть две обратные функции. Название площадь относится к тому факту, что геометрическое определение функций — это площадь определенных гиперболических секторов ...
   Бэкон, Гарольд Мейл (1942). Дифференциальное и интегральное исчисление. McGraw-Hill. стр. 203.
7. "Тождества с обратными гиперболическими и тригонометрическими функциями". math stackexchange . stackexchange . Получено 3 ноября 2016 г. .

Библиография

• Герберт Буземан и Пол Дж. Келли (1953) Проективная геометрия и проективные метрики , стр. 207, Academic Press .

Внешние ссылки

• «Обратные гиперболические функции», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]