stringtranslate.com

Ассоциативный магический квадрат

На площади Ло Шу сумма пар противоположных чисел равна 10.
Фрагмент Меленхолии I , показывающий ассоциативный квадрат 4 × 4.

Ассоциативный магический квадрат — это магический квадрат , в котором каждая пара чисел, симметрично противоположных центру, в сумме дает одно и то же значение. Для квадрата n  ×  n , заполненного числами от 1 до n 2 , эта общая сумма должна равняться n 2  ​​+ 1. Эти квадраты также называются ассоциированными магическими квадратами , обычными магическими квадратами , регулярными магическими квадратами или симметричными магическими квадратами . [1] [2] [3]

Примеры

Например, квадрат Ло Шу – уникальный магический квадрат 3 × 3 – ассоциативен, поскольку каждая пара противоположных точек вместе с центральной точкой образует линию квадрата, поэтому сумма двух противоположных точек равна сумме линия минус значение центральной точки независимо от того, какие две противоположные точки выбраны. [4] Магический квадрат 4 × 4 с гравюры Альбрехта Дюрера « Меланхолия I» 1514 года , также встречающийся в письме Бенджамина Франклина 1765 года , также является ассоциативным: каждая пара противоположных чисел в сумме дает 17. [5]

Существование и перечисление

Число возможных ассоциативных магических квадратов n  ×  n для n = 3,4,5,..., считая два квадрата одинаковыми, если они отличаются только вращением или отражением, равно:

1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (последовательность A081262 в OEIS )

Число ноль для n = 6 является примером более общего явления: ассоциативных магических квадратов не существует для одночетных значений n ( равных 2 по модулю 4). [3] Каждый ассоциативный магический квадрат четного порядка образует сингулярную матрицу , но ассоциативные магические квадраты нечетного порядка могут быть сингулярными или несингулярными. [4]

Рекомендации

  1. ^ Фриерсон, LS (1917), «Заметки о пандиагональных и связанных с ними магических квадратах», в Эндрюс, WS (редактор), Magic Squares and Cubes (2-е изд.), Open Court, стр. 229–244.
  2. ^ Белл, Джордан; Стивенс, Бретт (2007), «Построение ортогональных пандиагональных латинских квадратов и панмагических квадратов из модульных решений с ферзями», Journal of Combinatorial Designs , 15 (3): 221–234, doi : 10.1002/jcd.20143, MR  2311190, S2CID  121149492
  3. ^ ab Нордгрен, Рональд П. (2012), «О свойствах специальных матриц магического квадрата», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (8): 2009–2025, doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031 , MR  2950468
  4. ^ Аб Ли, Майкл З.; С любовью, Элизабет; Нараян, Шиварам К.; Вашер, Элизабет; Вебстер, Джордан Д. (2012), «О несингулярных регулярных магических квадратах нечетного порядка», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (6): 1346–1355, doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004 , MR  2942355
  5. ^ Паслес, Пол К. (2001), «Потерянные квадраты доктора Франклина: недостающие квадраты Бена Франклина и тайна магического круга», American Mathematical Monthly , 108 (6): 489–511, doi : 10.1080/00029890.2001 .11919777, JSTOR  2695704, MR  1840656, S2CID  341378

Внешние ссылки