Асферическое пространство

В топологии , разделе математики, асферическое пространство — это топологическое пространство , все гомотопические группы которого равны 0, когда . ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle n\not =1}$

Если работать с комплексами CW , то можно переформулировать это условие: асферический комплекс CW — это комплекс CW, универсальное покрытие которого сжимаемо . Действительно, сжимаемость универсального накрытия по теореме Уайтхеда — то же самое , что и его асферичность. И это применение точной последовательности расслоения , согласно которому высшие гомотопические группы пространства и его универсальное накрытие совпадают. (По тому же рассуждению, если E — пространство линейной связности и любое накрывающее отображение , то E асферично тогда и только тогда, когда B асферично.) ${\displaystyle p\colon E\to B}$

Каждое асферическое пространство X по определению является пространством Эйленберга–Маклейна типа , где – фундаментальная группа X . Также непосредственно из определения асферическое пространство является классифицирующим пространством для его фундаментальной группы (считающейся топологической группой, если она наделена дискретной топологией ). ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$

Примеры

• Используя второе из приведенных выше определений, мы легко видим, что все ориентируемые компактные поверхности рода больше 0 асферичны (поскольку они имеют либо евклидову плоскость, либо гиперболическую плоскость в качестве универсального покрытия).
• Отсюда следует, что все неориентируемые поверхности, кроме вещественной проективной плоскости , также являются асферическими, поскольку их можно покрыть ориентируемой поверхностью рода 1 или выше.
• Точно так же произведение любого количества кругов является асферическим. Как и любое полное риманово плоское многообразие.
• Любое гиперболическое 3-многообразие по определению покрывается гиперболическим 3-пространством H ³ , следовательно, асферическим. Как и любое n -многообразие, универсальное накрытие которого является гиперболическим n - ^{пространством} Hn .
• Пусть X  =  G / K — риманово симметрическое пространство отрицательного типа, а Γ — решётка в G , свободно действующая на X. Тогда локально-симметричное пространство асферично. ${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$
• Здание Брюа–Титса простой алгебраической группы над полем с дискретным нормированием является асферическим.
• Дополнение к узлу в S ³ асферично по сферной теореме
• Метрические пространства неположительной кривизны в смысле Александра Д. Александрова (локально пространства CAT(0) ) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана–Адамара , которая была обобщена на геодезические метрические пространства Михаилом Громовым и Гансом Вернером Баллманом . Этот класс асферических пространств включает в себя все приведенные ранее примеры.
• Любое нильмногообразие асферично.

Симплектически асферические многообразия

В контексте симплектических многообразий значение слова «асферический» немного другое. В частности, мы говорим, что симплектическое многообразие (M,ω) симплектически асферично тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \int _{S^{2}}f^{*}\omega =\langle c_{1}(TM),f_{*}[S^{2}]\rangle =0}$

для каждого непрерывного отображения

${\displaystyle f\colon S^{2}\to M,}$

где обозначает первый класс Чженя почти комплексной структуры , согласованной с ω. ${\displaystyle c_{1}(TM)}$

По теореме Стокса мы видим, что асферические симплектические многообразия также являются симплектически асферическими многообразиями. Однако существуют симплектически асферические многообразия, которые не являются асферическими пространствами. ^[1]

Некоторые ссылки ^[2] опускают требование относительно c ₁ в своем определении «симплектически асферического». Однако симплектические многообразия, удовлетворяющие только этому более слабому условию, чаще называют «слабо точными».

Смотрите также

• Ациклическое пространство
• Основной коллектор
• Гипотеза Уайтхеда

Примечания

1. Гомпф, Роберт Э. (1998). «Симплектически асферические многообразия с нетривиальным π ₂ ». Письма о математических исследованиях . 5 (5): 599–603. arXiv : math/9808063 . CiteSeerX  10.1.1.235.9135 . doi :10.4310/MRL.1998.v5.n5.a4. MR  1666848. S2CID  15738108.
2. Кедра, Ярек; Рудяк, Юлий ; Тралле, Алексей (2008). «Симплектически асферические многообразия». Журнал теории и приложений с фиксированной точкой . 3 : 1–21. arXiv : 0709.1799 . CiteSeerX 10.1.1.245.455 . doi : 10.1007/s11784-007-0048-z. МР  2402905. S2CID  13630163. 

Рекомендации

• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 319. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер . дои : 10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 978-3-642-08399-0. МР  1744486.

Внешние ссылки

• Асферические многообразия в Атласе многообразий.