В теории моделей , подразделе математической логики , атомарная модель — это модель , в которой полный тип каждого кортежа аксиоматизируется одной формулой . Такие типы называются основными типами , а формулы , которые их аксиоматизируют , называются полными формулами .
Определения
Пусть T — теория . Полный тип p ( x 1 , ..., x n ) называется главным или атомарным (относительно T ), если он аксиоматизируется относительно T одной формулой φ ( x 1 , ..., x n ) ∈ p ( x 1 , ..., x n ).
Формула φ называется полной в T , если для каждой формулы ψ ( x 1 , ..., x n ) теория T ∪ { φ } влечет ровно одну из ψ и ¬ ψ . [1]
Отсюда следует, что полный тип является главным тогда и только тогда, когда он содержит полную формулу.
Модель M называется атомарной , если каждый набор из n элементов M удовлетворяет формуле, которая является полной в Th( M ) — теории M .
Примеры
- Упорядоченное поле действительных алгебраических чисел является уникальной атомарной моделью теории действительных замкнутых полей .
- Любая конечная модель является атомарной.
- Плотный линейный порядок без конечных точек является атомарным.
- Любая простая модель счетной теории является атомарной по теореме об исключении типов .
- Любая счетная атомарная модель является простой, но существует множество атомарных моделей, которые не являются простыми, например, несчетный плотный линейный порядок без конечных точек.
- Теория счетного числа независимых унарных отношений является полной, но не имеет завершаемых формул и атомарных моделей.
Характеристики
Метод «туда-сюда» можно использовать для того, чтобы показать, что любые две счетные атомарные модели теории, которые элементарно эквивалентны , являются изоморфными .
Примечания
- ^ Некоторые авторы называют полные формулы «атомарными формулами», но это несовместимо с чисто синтаксическим понятием атома или атомарной формулы как формулы, которая не содержит собственной подформулы.
Ссылки
- Чан, Чэнь Чанг ; Кейслер, Х. Джером (1990), Теория моделей , Исследования по логике и основаниям математики (3-е изд.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая модельная теория , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
