Аукцион с закрытыми ставками первой цены

Аукцион, на котором все участники одновременно подают нераскрытые ставки

Аукцион с запечатанными ставками первой цены (FPSBA) — это распространенный тип аукциона . Он также известен как слепой аукцион . ^[1] В этом типе аукциона все участники одновременно подают запечатанные ставки, так что ни один из участников не знает ставки любого другого участника. Участник, предложивший самую высокую цену, платит цену, которая была представлена. ^{[2] : p2  [3]}

Стратегический анализ

В FPSBA каждый участник торгов характеризуется своей денежной оценкой выставленного на продажу товара.

Предположим, что Алиса — участник торгов, и ее оценка равна . Тогда, если Алиса рациональна: ${\displaystyle a}$

• Она никогда не сделает ставку больше, чем , потому что ставка больше может только привести к потере ею чистой стоимости. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$
• Если она сделает ставку точно , то она не проиграет, но и не получит никакой положительной стоимости. ${\displaystyle a}$
• Если она сделает ставку меньше , то она может получить некоторый положительный выигрыш, но точный выигрыш зависит от ставок остальных. ${\displaystyle a}$

Алиса хотела бы сделать ставку наименьшей суммы, которая может позволить ей выиграть лот, при условии, что эта сумма меньше . Например, если есть другой участник торгов Боб и он делает ставку и , то Алиса хотела бы сделать ставку (где наименьшая сумма, которую можно добавить, например, один цент). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y<a}$ ${\displaystyle y+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

К сожалению, Алиса не знает, какие ставки будут делать другие участники торгов. Более того, она даже не знает оценок других участников торгов. Следовательно, стратегически мы имеем байесовскую игру — игру, в которой агенты не знают выигрышей других агентов.

Интересная задача в такой игре — найти байесовское равновесие Нэша . Однако это нелегко, даже если есть только два участника торгов. Ситуация проще, когда оценки участников торгов являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , так что все оценки берутся из известного предварительного распределения. ^{[4] : 234–236}

Пример

Предположим, что есть два участника торгов, Алиса и Боб, чьи оценки и взяты из непрерывного равномерного распределения на интервале [0,1]. Тогда это равновесие Байеса-Нэша, когда каждый участник торгов предлагает ровно половину своей стоимости: Алиса делает ставку , а Боб делает ставку . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a/2}$ ${\displaystyle b/2}$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство принимает точку зрения Алисы. Мы предполагаем, что она знает, что Боб делает ставку , но она не знает . Мы находим наилучший ответ Алисы на стратегию Боба. Предположим, что Алиса делает ставку . Есть два случая: ${\displaystyle f(b)=b/2}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle x\geq f(b)}$. Тогда Алиса выигрывает и получает чистый выигрыш . Это происходит с вероятностью . ${\displaystyle a-x}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)=2x}$
• ${\displaystyle x<f(b)}$. Тогда Алиса проигрывает, и ее чистый выигрыш равен 0. Это происходит с вероятностью . ${\displaystyle 1-f^{-1}(x)}$

В целом ожидаемый выигрыш Алисы составляет: . Максимальный выигрыш достигается при . Производная равна (см. Обратные функции и дифференцирование ): ${\displaystyle G(x)=f^{-1}(x)\cdot (a-x)}$ ${\displaystyle G'(x)=0}$

${\displaystyle G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}}$

и он равен нулю, когда ставка Алисы удовлетворяет: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f^{-1}(x)=(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}}$

Теперь, поскольку мы ищем симметричное равновесие, мы также хотим, чтобы ставка Алисы была равна . Итак, у нас есть: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(a)}$

${\displaystyle f^{-1}(f(a))=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}}$

${\displaystyle a=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}}$

${\displaystyle af'(a)=(a-f(a))}$

Решение этого дифференциального уравнения: . ${\displaystyle f(a)=a/2}$

Обобщение

Обозначим через:

• ${\displaystyle v_{i}}$- оценка претендента ; ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y_{i}}$- максимальная оценка всех участников торгов, за исключением , т.е. . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}=\max _{j\neq i}{v_{j}}}$

Тогда FPSBA имеет уникальный симметричный BNE, в котором ставка игрока определяется как: ^{[5] : 33–40} ${\displaystyle i}$

${\displaystyle E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]}$

Вариант, совместимый с программой Incentive

FPSBA несовместима со стимулами даже в слабом смысле байесовско-нэшевской совместимости стимулов (BNIC), поскольку не существует равновесия Байеса-Нэша, при котором участники торгов сообщают свою истинную стоимость.

Однако легко создать вариант FPSBA, который является BNIC, если априорные значения оценок общеизвестны. Например, для случая Алисы и Боба, описанного выше, правила варианта BNIC следующие:

• Выигрывает тот, кто предложит самую высокую цену;
• Участник, предложивший самую высокую цену, платит 1/2 своей ставки.

По сути, этот вариант имитирует стратегии равновесия Байеса-Нэша для игроков, поэтому в равновесии Байеса-Нэша оба претендента предлагают свою истинную стоимость.

Этот пример является частным случаем гораздо более общего принципа: принципа откровения .

Сравнение с аукционом второй цены

В следующей таблице сравниваются FPSBA и закрытый аукцион второй цены (SPSBA):

Доход аукциониста рассчитывается в примере, в котором оценки агентов берутся независимо и равномерно случайным образом из [0,1]. Например, когда есть агенты: ${\displaystyle n=2}$

• На аукционе первой цены аукционист получает максимальную из двух равновесных ставок, которая составляет . ${\displaystyle \max(a/2,b/2)}$
• На аукционе второй цены аукционист получает минимальную из двух правдивых ставок, которая составляет . ${\displaystyle \min(a,b)}$

В обоих случаях ожидаемый доход аукциониста составляет 1/3.

Тот факт, что доход одинаков, не является совпадением — это частный случай теоремы эквивалентности дохода . Это справедливо только тогда, когда оценки агентов статистически независимы ; когда оценки зависимы, мы имеем аукцион общей стоимости , и в этом случае доход на аукционе второй цены обычно выше, чем на аукционе первой цены.

Продаваемый товар не может быть продан, если окончательная ставка недостаточно высока, чтобы удовлетворить продавца, то есть продавец оставляет за собой право принять или отклонить самую высокую ставку. Если продавец объявляет участникам торгов резервную цену, это публичный аукцион резервной цены. ^[8] Напротив, если продавец не объявляет резервную цену до продажи, а только после продажи, это тайный аукцион резервной цены. ^[9]

Сравнение с другими аукционами

FPSBA отличается от английского аукциона тем, что участники торгов могут подать только одну заявку. Кроме того, поскольку участники торгов не видят заявки других участников, они не могут соответствующим образом корректировать свои заявки. ^[3]

FPSBA, как утверждается, стратегически эквивалентен голландскому аукциону . ^{[2] : стр. 13}

То, что фактически является FPSBA, обычно называется тендерами на закупки компаниями и организациями, в частности, по государственным контрактам и аукционам на горнодобывающую аренду. ^[3] Считается, что FPSBA приводит к низким затратам на закупки за счет конкуренции и низкой коррупции за счет повышения прозрачности, даже если они могут повлечь за собой более высокую фактическую дополнительную стоимость завершенного проекта и дополнительное время для его завершения. ^[10]

Обобщенный аукцион первой цены — это механизм недостоверного аукциона для спонсируемого поиска (он же позиционный аукцион).

Обобщением аукционов первой и второй цен является аукцион, в котором цена представляет собой некоторую выпуклую комбинацию первой и второй цен. ^[11]

Ссылки

1. Шор, Михаил, «слепой аукцион» Словарь терминов теории игр
2. Кришна, Виджай (2002), Теория аукционов , Сан-Диего, США: Academic Press, ISBN 978-0-12-426297-3
3. McAfee, Dinesh Satam; McMillan, Dinesh (1987), "Auctions and Bidding" (PDF) , Journal of Economic Literature , т. 25, № 2, American Economic Association (опубликовано в июне 1987 г.), стр. 699–738, JSTOR  2726107, архивировано из оригинала (PDF) 28.11.2018 , извлечено 25.06.2008
4. Вазирани, Виджай В .; Нисан, Ноам ; Рафгарден, Тим ; Тардос, Ева (2007). Алгоритмическая теория игр (PDF) . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-87282-0.
5. Daron Acemoglu; Asu Ozdaglar (2009). «Лекции по сетям 19–21: неполная информация: байесовские равновесия Нэша, аукционы и введение в социальное обучение». MIT. Архивировано из оригинала 22 октября 2016 г. Получено 8 октября 2016 г.
6. Следовательно, аукцион второй цены является честным механизмом .
7. Рассчитывается для участников торгов, чьи оценки получены независимо и равномерно случайным образом из [0,1] ${\displaystyle n}$
8. Райли, Дж. Г.; Самуэльсон, У. Ф. (1981). «Оптимальные аукционы» (PDF) . The American Economic Review . 71 : 381–392.
9. Элиаким, Б.; Лаффонт, Джей-Джей; Лойзель, П.; Вуонг, К. (1994). «Аукционы первой цены с закрытыми ценами и секретными резервными ценами». Annales d'Economie et de Statistique . 34 (34): 115–141. дои : 10.2307/20075949. JSTOR  20075949.
10. Декаролис, Франческо (2014). «Присуждение цены, исполнение контракта и проверка заявок: данные аукционов по закупкам» (PDF) . American Economic Journal: Applied Economics . 6 (1): 108–132. doi :10.1257/app.6.1.108.
11. Гют, В.; ван Дамм, Э. (1986-09-01). «Сравнение правил ценообразования для аукционов и игр со справедливым разделом». Social Choice and Welfare . 3 (3): 177–198. doi :10.1007/bf00433534. ISSN  0176-1714. S2CID  153813349.

Дальнейшее чтение

• Хаммами, Фарук; Рекик, Мония; Коэльо, Леандро К. (2019). «Точные и эвристические подходы к решению задачи построения заявок на аукционах по закупкам транспортных средств с неоднородным парком». Исследования в области транспорта, часть E: Обзор логистики и транспорта . 127 : 150–177. doi :10.1016/j.tre.2019.05.009. S2CID  182223089.Комбинаторные аукционы по закупке транспортных услуг с правилами закрытых торгов первой цены.

Внешние ссылки

• Равновесие Нэша на аукционе первой цены - на math.stackexchange.com.