Аффинное многообразие

В дифференциальной геометрии аффинное многообразие — это дифференцируемое многообразие , снабженное плоской связностью без кручения .

Эквивалентно, это многообразие, которое (если оно связно) покрыто открытым подмножеством , с монодромией, действующей посредством аффинных преобразований . Эта эквивалентность является простым следствием теоремы Картана–Амброуза–Хикса . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

Эквивалентно, это многообразие, снабженное атласом — называемым аффинной структурой — таким образом, что все функции перехода между диаграммами являются аффинными преобразованиями (то есть имеют постоянную матрицу Якоби); ^[1] два атласа эквивалентны, если многообразие допускает атлас, подчиненный обоим, причем переходы от обоих атласов к меньшему атласу являются аффинными. Многообразие, имеющее выделенную аффинную структуру, называется аффинным многообразием , а диаграммы, которые аффинно связаны с диаграммами аффинной структуры, называются аффинными диаграммами . В каждой аффинной координатной области координатные векторные поля образуют параллелизацию этой области, поэтому в каждой области существует связанная связь. Эти локально определенные связи одинаковы в перекрывающихся частях, поэтому существует уникальная связь, связанная с аффинной структурой. Обратите внимание, что существует связь между линейной связью (также называемой аффинной связью ) и сетью .

Формальное определение

Аффинное многообразие — это вещественное многообразие с картами , такими что для всех , где обозначает группу Ли аффинных преобразований. Говоря более замысловатыми словами, это (G,X)-многообразие , где и — группа аффинных преобразований. ${\displaystyle M\,}$ ${\displaystyle \psi _{i}\colon U_{i}\to {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}\in \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle i,j\,,}$ ${\displaystyle \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$

Аффинное многообразие называется полным, если его универсальное накрытие гомеоморфно . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

В случае компактного аффинного многообразия пусть будет фундаментальной группой и будет его универсальным покрытием . Можно показать, что каждое -мерное аффинное многообразие имеет развертывающееся отображение и гомоморфизм , такой что является погружением и эквивариантно относительно . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D\colon {\widetilde {M}}\to {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varphi }$

Фундаментальная группа компактного полного плоского аффинного многообразия называется аффинной кристаллографической группой . Классификация аффинных кристаллографических групп — сложная проблема, далекая от решения. Римановы кристаллографические группы (также известные как группы Бибербаха ) были классифицированы Людвигом Бибербахом , отвечая на вопрос, поставленный Давидом Гильбертом . В своей работе по 18-й проблеме Гильберта Бибербах доказал , что любая риманова кристаллографическая группа содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

Важные давние предположения

Геометрия аффинных многообразий по сути представляет собой сеть давних гипотез; большинство из них доказаны в малой размерности и некоторых других частных случаях.

Наиболее важными из них являются:

• Гипотеза Маркуса (1962), утверждающая, что компактное аффинное многообразие полно тогда и только тогда, когда оно имеет параллельный объем. Известна в размерности 2.
• Гипотеза Ауслендера (1964) ^{[2] [3],} утверждающая, что любая аффинная кристаллографическая группа содержит полициклическую подгруппу конечного индекса . Известна в размерностях до 6, ^[4] и когда голономия плоской связности сохраняет метрику Лоренца . ^[5] Поскольку каждая виртуально полициклическая кристаллографическая группа сохраняет объемную форму, гипотеза Ауслендера подразумевает часть «только если» гипотезы Маркуса. ^[6]
• Гипотеза Черна (1955) Класс Эйлера аффинного многообразия равен нулю. ^[7]

Примечания

1. Бишоп и Голдберг 1968, стр. 223–224.
2. Ауслендер, Луис (1964). «Структура локально полных аффинных многообразий». Топология . 3 (Приложение 1): 131–139. doi : 10.1016/0040-9383(64)90012-6 .
3. Фрид, Дэвис; Голдман, Уильям М. (1983). «Трехмерные аффинные кристаллографические группы». Успехи в математике . 47 (1): 1–49. doi : 10.1016/0001-8708(83)90053-1 .
4. Абельс, Герберт; Маргулис, Григорий А.; Сойфер, Григорий А. (2002). «О замыкании по Зарискому линейной части собственно разрывной группы аффинных преобразований». Журнал дифференциальной геометрии . 60 (2): 315–344. doi : 10.4310/jdg/1090351104 .
5. Голдман, Уильям М.; Камишима, Ёсинобу (1984). «Фундаментальная группа компактной плоской формы пространства Лоренца является практически полициклической». Журнал дифференциальной геометрии . 19 (1): 233–240. doi : 10.4310/jdg/1214438430 .
6. Абельс, Герберт (2001). «Правильно разрывные группы аффинных преобразований: обзор». Geometriae Dedicata . 87 : 309–333. doi : 10.1023/A:1012019004745 .
7. Костант, Бертрам ; Салливан, Деннис (1975). «Эйлерова характеристика аффинной пространственной формы равна нулю». Бюллетень Американского математического общества . 81 (5): 937–938. doi : 10.1090/S0002-9904-1975-13896-1 .

Ссылки

• Номидзу, Кацуми ; Сасаки, Такеши (1994), Аффинная дифференциальная геометрия , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-44177-3
• Шарп, Ричард В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Бишоп, Ричард Л.; Голдберг, Сэмюэл И. (1968). Тензорный анализ многообразий (Первое издание Dover 1980 г.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.