Аэроакустика

Аэроакустика — раздел акустики , изучающий генерацию шума либо турбулентным движением жидкости, либо аэродинамическими силами, взаимодействующими с поверхностями. Генерация шума также может быть связана с периодически изменяющимися потоками. Ярким примером этого явления являются эоловые тона, создаваемые ветром, дующим над неподвижными объектами.

Хотя полной научной теории генерации шума аэродинамическими потоками не создано, большая часть практического аэроакустического анализа опирается на так называемую аэроакустическую аналогию , ^[1] предложенную сэром Джеймсом Лайтхиллом в 1950-х годах во время его работы в Манчестерском университете . ^{[2] [3]} В соответствии с которой основные уравнения движения жидкости приводятся к форме, напоминающей волновое уравнение «классической» (т. е. линейной) акустики в левой части, а остальные члены являются источниками в правой части.

История

Можно сказать, что современная дисциплина аэроакустики зародилась с первой публикацией Лайтхилла ^{[2] [3]} в начале 1950-х годов, когда генерация шума, связанная с реактивным двигателем, начала подвергаться научному изучению.

Уравнение Лайтхилла

Лайтхилл ^[2] переформулировал уравнения Навье–Стокса , которые управляют потоком сжимаемой вязкой жидкости , в неоднородное волновое уравнение , тем самым установив связь между механикой жидкости и акустикой . Это часто называют «аналогией Лайтхилла», поскольку она представляет собой модель для акустического поля , которая, строго говоря, основана не на физике шума, вызванного/генерируемого потоком, а скорее на аналогии того, как они могут быть представлены через определяющие уравнения сжимаемой жидкости.

Уравнения непрерывности и импульса задаются формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)&=0,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )&=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }},\end{aligned}}}$

где — плотность жидкости, — поле скоростей, — давление жидкости, — тензор вязких напряжений. Обратите внимание, что — тензор (см. также тензорное произведение ). Дифференцируя уравнение сохранения массы по времени, беря дивергенцию последнего уравнения и вычитая последнее из первого, приходим к ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=\nabla \cdot \left[\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )+\nabla p-\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\right].}$

Вычитая из обеих частей последнего уравнения , где - скорость звука в среде в состоянии равновесия (или покоя), получаем знаменитое уравнение Лайтхилла аэроакустики: ${\displaystyle c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho }$ ${\displaystyle c_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =\nabla \nabla :\mathbf {T} ,\quad \mathbf {T} =\rho \mathbf {v} \mathbf {v} +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbf {I} -{\boldsymbol {\tau }},}$

где — гессиан , а — так называемый тензор напряжений турбулентности Лайтхилла для акустического поля . Уравнение Лайтхилла — неоднородное волновое уравнение . Используя обозначения Эйнштейна , уравнение Лайтхилла можно записать как ${\displaystyle \nabla \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho ={\frac {\partial ^{2}T_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad T_{ij}=\rho v_{i}v_{j}+(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}-\tau _{ij}.}$

Каждый из акустических исходных членов, т.е. членов в , может играть значительную роль в генерации шума в зависимости от рассматриваемых условий потока. Первый член описывает инерционный эффект потока (или напряжение Рейнольдса, разработанное Осборном Рейнольдсом ), тогда как второй член описывает нелинейные процессы генерации звука, и, наконец, последний член соответствует генерации/затуханию звука из-за вязких сил. ${\displaystyle T_{ij}}$ ${\displaystyle \rho v_{i}v_{j}}$ ${\displaystyle (p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$

На практике принято пренебрегать влиянием вязкости на жидкость, поскольку ее влияние мало в задачах генерации турбулентного шума, таких как шум струи. Лайтхилл ^[2] дает подробное обсуждение этого вопроса.

В аэроакустических исследованиях предпринимаются как теоретические, так и вычислительные усилия для решения акустических исходных членов уравнения Лайтхилла, чтобы сделать заявления относительно соответствующих присутствующих механизмов генерации аэродинамического шума. Наконец, важно понимать, что уравнение Лайтхилла является точным в том смысле, что при его выводе не было сделано никаких приближений.

Уравнение аэроакустики Ландау–Лифшица

В своем классическом тексте по механике жидкости Ландау и Лифшиц [ ^4] выводят аэроакустическое уравнение, аналогичное уравнению Лайтхилла (т. е. уравнению для звука, создаваемого « турбулентным » движением жидкости), но для несжимаемого потока невязкой жидкости. Неоднородное волновое уравнение, которое они получают, относится к давлению , а не к плотности жидкости. Более того, в отличие от уравнения Лайтхилла, уравнение Ландау и Лифшица не является точным; оно является приближением. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

Если допустить возможность приближений, то более простой способ (не обязательно предполагая, что жидкость несжимаема ) получить приближение к уравнению Лайтхилла состоит в том, чтобы предположить, что , где и являются (характерными) плотностью и давлением жидкости в ее равновесном состоянии. Затем, подставив предполагаемое соотношение между давлением и плотностью, мы получаем уравнение (для невязкой жидкости σ = 0) ${\displaystyle p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle (*)\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p={\frac {\partial ^{2}{\tilde {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\tilde {T}}_{ij}=\rho v_{i}v_{j}.}$

А для случая, когда жидкость действительно несжимаема, т.е. (при некоторой положительной постоянной ) всюду, то мы получаем в точности уравнение, приведенное в работах Ландау и Лифшица ^[4] , а именно ${\displaystyle \rho =\rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\hat {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\hat {T}}_{ij}=v_{i}v_{j}.}$

Аналогичное приближение [в контексте уравнения ], а именно , предложено Лайтхиллом ^[2] [см. уравнение (7) в последней статье]. ${\displaystyle (*)\,}$ ${\displaystyle T\approx \rho _{0}{\hat {T}}}$

Конечно, можно задаться вопросом, оправданы ли наши предположения, что . Ответ утвердительный, если поток удовлетворяет определенным основным предположениям. В частности, если и , то предполагаемое соотношение непосредственно следует из линейной теории звуковых волн (см., например, линеаризованные уравнения Эйлера и акустическое волновое уравнение ). Фактически, приближенное соотношение между и , которое мы предположили, является просто линейным приближением к общему баротропному уравнению состояния жидкости. ${\displaystyle p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})}$ ${\displaystyle \rho \ll \rho _{0}}$ ${\displaystyle p\ll p_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

Однако даже после вышеизложенных рассуждений все еще не ясно, оправдано ли использование изначально линейного отношения для упрощения нелинейного волнового уравнения. Тем не менее, это очень распространенная практика в нелинейной акустике , как показывают учебники по этому предмету: например, Наугольных и Островского ^[5] и Гамильтона и Морфея. ^[6]

Смотрите также

• Акустическая теория
• Эолова арфа
• Вычислительная аэроакустика

Ссылки

1. Уильямс, Дж. Э. Фоукс, «Акустическая аналогия — тридцать лет спустя» IMA J. Appl. Math. 32 (1984) стр. 113-124.
2. MJ Lighthill, «О звуке, генерируемом аэродинамически. I. Общая теория», Proc. R. Soc. Lond. A 211 (1952) стр. 564-587.
3. MJ Lighthill, «О звуке, генерируемом аэродинамически. II. Турбулентность как источник звука», Proc. R. Soc. Lond. A 222 (1954) стр. 1-32.
4. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика жидкости, 2-е изд., Курс теоретической физики, т. 6, Butterworth-Heinemann (1987) §75.
5. К. Наугольных и Л. Островский, Нелинейные волновые процессы в акустике , Cambridge Texts in Applied Mathematics т. 9, Cambridge University Press (1998) гл. 1.
6. MF Hamilton и CL Morfey, «Уравнения моделей», Nonlinear Acoustics , ред. MF Hamilton и DT Blackstock, Academic Press (1998) глава 3.

Внешние ссылки

• MJ Lighthill, «О звуке, генерируемом аэродинамически. I. Общая теория», Proc. R. Soc. Lond. A 211 (1952) стр. 564–587. Эта статья на JSTOR.
• MJ Lighthill, «О звуке, генерируемом аэродинамически. II. Турбулентность как источник звука», Proc. R. Soc. Lond. A 222 (1954) стр. 1–32. Эта статья на JSTOR.
• Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц, Механика жидкости, 2-е изд., Курс теоретической физики, т. 6, Butterworth-Heinemann (1987) §75. ISBN  0-7506-2767-0 , Предварительный просмотр с Amazon.
• К. Наугольных и Л. Островский, Нелинейные волновые процессы в акустике , Cambridge Texts in Applied Mathematics т. 9, Cambridge University Press (1998) гл. 1. ISBN 0-521-39984-X , Предварительный просмотр от Google. 
• MF Hamilton и CL Morfey, «Уравнения моделей», Nonlinear Acoustics , ред. MF Hamilton и DT Blackstock, Academic Press (1998) гл. 3. ISBN 0-12-321860-8 , предварительный просмотр из Google. 
• Аэроакустика в Университете Миссисипи
• Аэроакустика в Лёвенском университете
• Международный журнал аэроакустики. Архивировано 30 октября 2005 г. на Wayback Machine.
• Примеры из раздела Аэроакустика от NASA Архивировано 04.03.2016 на Wayback Machine
• Аэроакустика.инфо