Джанет базис

Математическая форма для уравнений в частных производных

В математике базис Жане — это нормальная форма для систем линейных однородных уравнений в частных производных (PDE), которая устраняет присущую произвольность любой такой системы. Он был введен в 1920 году Морисом Жане . ^[1] Он был впервые назван базисом Жане Фрицем Шварцем в 1998 году. ^[2]

Левые части таких систем уравнений можно рассматривать как дифференциальные многочлены кольца, а нормальную форму Жане — как специальный базис идеала, который они порождают. Злоупотребляя языком, эта терминология будет применяться как к исходной системе, так и к идеалу дифференциальных многочленов, порождаемому левыми частями. Базис Жане является предшественником базиса Грёбнера, введенного Бруно Бухбергером ^[3] для полиномиальных идеалов. Чтобы сгенерировать базис Жане для любой заданной системы линейных уравнений в частных производных, необходимо указать ранжирование ее производных; тогда соответствующий базис Жане будет единственным. Если система линейных уравнений в частных производных задана в терминах базиса Жане, ее дифференциальную размерность можно легко определить; она является мерой степени неопределенности ее общего решения. Чтобы сгенерировать разложение Леви системы линейных уравнений в частных производных, ее базис Жане должен быть сначала определен.

Создание базиса Жане

Любая система линейных однородных уравнений в частных производных крайне неуникальна, например, произвольная линейная комбинация ее элементов может быть добавлена ​​к системе без изменения ее множества решений. Априори неизвестно, имеет ли она какие-либо нетривиальные решения. В более общем смысле, степень произвольности ее общего решения неизвестна, т. е. сколько неопределенных констант или функций она может содержать. Эти вопросы были отправной точкой работы Жане; он рассмотрел системы линейных уравнений в частных производных с любым числом зависимых и независимых переменных и сгенерировал для них нормальную форму. Здесь в основном будут рассматриваться линейные уравнения в частных производных на плоскости с координатами и ; число неизвестных функций равно одной или двум. Большинство результатов, описанных здесь, могут быть обобщены очевидным образом на любое число переменных или функций. ^{[4] [5] [6]} Чтобы сгенерировать уникальное представление для данной системы линейных уравнений в частных производных, сначала необходимо определить ранжирование ее производных. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Определение : Ранжирование производных — это полное упорядочение, при котором для любых двух производных , и , и любого оператора вывода соотношения и верны. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \delta \leq \theta \delta }$ ${\displaystyle \delta _{1}\leq \delta _{2}\rightarrow \delta \delta _{1}\leq \delta \delta _{2}}$

Производная называется выше, чем если . Самая высокая производная в уравнении называется ее ведущей производной . Для производных до второго порядка одной функции, зависящей от и с двумя возможными порядками, есть ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}>\delta _{1}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x>y}$

приказ LEX и приказ GRLEX . ${\displaystyle z_{xx}>z_{xy}>z_{x}>z_{yy}>z_{y}>z}$ ${\displaystyle z_{xx}>z_{xy}>z_{yy}>z_{x}>z_{y}>z}$

Здесь используются обычные обозначения . Если число функций больше одной, эти упорядочения должны быть соответствующим образом обобщены, например, могут быть применены упорядочения или . ^[7] Первая базовая операция, которая должна быть применена при создании базиса Жане, — это редукция уравнения по отношению к другому . В разговорной речи это означает следующее: всякий раз, когда производная может быть получена из ведущей производной с помощью подходящего дифференцирования, это дифференцирование выполняется, и результат вычитается из . Редукция по отношению к системе уравнений в частных производных означает редукция по отношению ко всем элементам системы. Система линейных уравнений в частных производных называется авторедуцированной, если были выполнены все возможные редукции. ${\displaystyle \partial _{x}z=z_{x},\partial _{y}z=z_{y},\ldots }$ ${\displaystyle TOP}$ ${\displaystyle POT}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$

Вторая основная операция для создания базиса Жане — включение условий интегрируемости . Они получаются следующим образом: если два уравнения и таковы, что с помощью подходящих дифференцирований можно получить два новых уравнения с одинаковыми ведущими производными, то путем перекрестного умножения с его ведущими коэффициентами и вычитания полученных уравнений получается новое уравнение, оно называется условием интегрируемости. Если при редукции относительно оставшихся уравнений системы оно не исчезает, то оно включается в систему как новое уравнение. ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$

Можно показать, что повторение этих операций всегда заканчивается после конечного числа шагов с уникальным ответом, который называется базисом Janet для входной системы. Janet организовал их в терминах следующего алгоритма.

Алгоритм Жане : для данной системы линейных дифференциальных полиномов возвращается базис Жане, соответствующий . ${\displaystyle S\equiv \{e_{1},e_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle S}$

S1: ( Авторедукция ) Назначить ${\displaystyle S:=\operatorname {Autoreduce} (S)}$

S2: ( Завершение ) Назначить ${\displaystyle S:=\operatorname {CompleteSystem} (S)}$

S3: ( Условия интегрируемости ) Найдите все пары ведущих членов и таких , что дифференцирование по немножителю и множителям приводит к и определите условия интегрируемости ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle x_{i_{k}}}$ ${\displaystyle x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{l}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}={\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}v_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$ $${\displaystyle c_{i,j}=\operatorname {Lcoef} (e_{j})\cdot {\frac {\partial e_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}-\operatorname {Lcoef} (e_{i})\cdot {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}e_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$

S4: ( Сокращение условий интегрируемости ). Для всех присвоить ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle c_{i,j}:=\operatorname {Reduce} (c_{i,j},S)}$

S5: ( Завершение? ) Если все равны нулю, верните , в противном случае выполните назначение , измените порядок и перейдите к S1. ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S:=S\cup \{c_{i,j}\mid c_{i,j}\neq 0\}}$ ${\displaystyle S}$

Вот подалгоритм, который возвращает свой аргумент со всеми возможными выполненными сокращениями, добавляет определенные уравнения в систему, чтобы облегчить определение условий интегрируемости. Для этого переменные делятся на множители и не-множители ; подробности можно найти в приведенных выше ссылках. После успешного завершения будет возвращен базис Жане для входной системы. ${\displaystyle Autoreduce}$ ${\displaystyle Completion}$

Пример 1 : Пусть дана система с упорядочением GRLEX и . Шаг S1 возвращает авторедуцированную систему $${\displaystyle \left\{e_{1}\equiv z_{xy}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}z_{x}-{\frac {x-y}{y^{2}}}z=0,e_{2}\equiv z_{x}+{\frac {1}{x}}z_{y}+xz=0\right\}}$$ ${\displaystyle x>y}$

${\displaystyle \left\{e_{3}\equiv z_{yy}+{\frac {1}{y^{2}}}(xy^{3}-x^{2}-y)z_{y}-{\frac {1}{y}}(x^{3}-x+y)z=0,e_{2}=z_{x}+{\frac {1}{y}}z_{y}+xz=0\right\}.}$

Шаги S3 и S4 генерируют условие интегрируемости и сводят его к , т.е. базис Жане для изначально заданной системы имеет тривиальное решение . ${\displaystyle c_{3,2}\equiv {\frac {\partial e_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}e_{2}}{\partial y^{2}}}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \{z=0\}}$ ${\displaystyle z=0}$

В следующем примере задействованы две неизвестные функции и , обе зависящие от и . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Пример 2 : Рассмотрим систему

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \{}&f_{1}\equiv w_{xx}-2z_{xy}-{\frac {1}{2x}}w_{x}+{\frac {1}{2x^{2}}}w=0,f_{2}\equiv w_{xy}-{\frac {1}{2}}z_{yy}-{\frac {1}{2x}}w_{y}-6x^{2}z_{x},\\[5pt]&f_{3}\equiv w_{yy}+4x^{2}w_{x}-8x^{2}z_{y}-8xw=0,f_{4}\equiv z_{xx}+{\frac {1}{2x}}z_{x}=0{\Big \}}\end{aligned}}}$

в GRLEX, упорядочение. Система уже авторедуцируется, т.е. шаг S1 возвращает ее без изменений. Шаг S3 генерирует два условия интегрируемости ${\displaystyle w>z,x>y}$

${\displaystyle c_{1,2}\equiv {\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}{\text{ and }}c_{2,3}\equiv {\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}.}$

При уменьшении на этапе S4 они

${\displaystyle c_{1,2}=z_{xyy}-6xz_{x}=0,c_{2,3}=z_{yyy}+3x^{2}z_{xy}-24xz_{y}-12w=0.}$

На шаге S5 они включаются в систему, и алгоритмы начинаются снова с шага S1 с расширенной системой. После еще нескольких итераций, наконец, базис Жане $${\displaystyle \left\{z_{y}+{\frac {1}{2x}}w=0,z_{x}=0,w_{y}=0,w_{x}-{\frac {1}{x}}w=0\right\}}$$

получается. Это дает общее решение с двумя неопределенными константами и . ${\displaystyle z=C_{1}-C_{2}x,w=2C_{2}y}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Применение баз Жане

Наиболее важным применением базиса Жане является его использование для определения степени неопределенности системы линейных однородных уравнений в частных производных. Ответ в приведенном выше примере 1 заключается в том, что рассматриваемая система допускает только тривиальное решение. Во втором примере 2 получено двумерное пространство решений. В общем случае ответ может быть более сложным, в общем решении может быть бесконечно много свободных констант; они могут быть получены из разложения Леви соответствующего базиса Жане. ^[8] Кроме того, базис Жане модуля позволяет считывать базис Жане для модуля сизигии. ^[5]

Алгоритм Джанет был реализован в Maple. ^[9]

Внешние ссылки

• www.alltypes.de – Реализация базиса Жане

Ссылки

1. М. Жане, Les systèmes d'équations aux dérivées partielles, Journal de mathématiques pures et appliquées 8 ser., t. 3 (1920), страницы 65–123.
2. Ф. Шварц, «Базисы Жане для групп симметрии», в: Базисы Грёбнера и их приложения; Серия заметок лекций 251 , Лондонское математическое общество, страницы 221–234 (1998); Б. Бухбергер и Ф. Винклер, Ред.
3. Б. Бухбергер, Алгоритмические критерии фуэр-ди-Loesbarkeit eines алгебраических систем Gleichungs, Aequ. Математика. 4 , 374–383 (1970).
4. Ф. Шварц, Алгоритмическая теория Ли для решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Chapman & Hall/CRC, 2007 Глава 2.
5. W. Plesken, D. Robertz, Подход Джанета к представлениям и решениям для полиномов и линейных частных производных, Archiv der Mathematik 84 , страницы 22–37, 2005.
6. T. Oaku, T. Shimoyama, Метод базиса Грёбнера для модулей над кольцами дифференциальных операторов, Журнал символических вычислений 18 , страницы 223–248, 1994.
7. В. Адамс, П. Лустаунау, Введение в базисы Грёбнера, Американское математическое общество , Провиденс, 1994.
8. Ф. Шварц, Разложение Лёви линейных дифференциальных уравнений, Springer, 2013.
9. S. Zhang, Z. Li, Реализация алгоритма базисов Janet линейных дифференциальных идеалов в системе Maple, Acta Mathematicae Applicatae Sinica, английская серия, 20 , страницы 605–616 (2004)