Баллистический маятник

Маятник, используемый для измерения импульса пули

Зеленый баллистический маятник

Анимация баллистического маятника

Баллистический маятник — это устройство для измерения импульса пули , с помощью которого можно рассчитать скорость и кинетическую энергию . Баллистические маятники в значительной степени устарели из-за современных хронографов , которые позволяют напрямую измерять скорость снаряда.

Хотя баллистический маятник считается устаревшим, он использовался в течение значительного периода времени и привел к большим достижениям в науке баллистики . Баллистический маятник до сих пор можно найти в классах физики сегодня из-за его простоты и полезности в демонстрации свойств импульса и энергии. В отличие от других методов измерения скорости пули, основные расчеты для баллистического маятника не требуют измерения времени, а полагаются только на меры массы и расстояния. ^[1]

Помимо своего основного применения для измерения скорости снаряда или отдачи ружья, баллистический маятник может быть использован для измерения любой передачи импульса. Например, баллистический маятник использовался физиком CV Boys для измерения упругости мячей для гольфа , ^[2] и физиком Peter Guthrie Tait для измерения влияния вращения на расстояние, пройденное мячом для гольфа. ^{[3] [4]}

История

Баллистический маятник (1911)

Баллистический маятник был изобретен в 1742 году английским математиком Бенджамином Робинсом (1707–1751) и опубликован в его книге « Новые принципы артиллерийского дела» , которая произвела революцию в баллистике, поскольку предоставила первый способ точного измерения скорости пули. ^{[2] [5]}

Робинс использовал баллистический маятник для измерения скорости снаряда двумя способами. Первый заключался в том, чтобы прикрепить ружье к маятнику и измерить отдачу . Поскольку импульс ружья равен импульсу выброса, и поскольку снаряд (в этих экспериментах) составлял большую часть массы выброса, скорость пули могла быть приблизительно определена. Второй, и более точный метод, заключался в непосредственном измерении импульса пули путем выстрела ею в маятник. Робинс экспериментировал с мушкетными пулями массой около одной унции (28 г), в то время как другие современники использовали его методы с пушечными ядрами весом от одного до трех фунтов (от 0,5 до 1,4 кг). ^[6]

В оригинальной работе Робинса для ловли пули использовался тяжелый железный маятник, облицованный деревом. Современные воспроизведения, используемые в качестве демонстраций на уроках физики, обычно используют тяжелый груз, подвешенный на очень тонком, легком рычаге, и игнорируют массу рычага маятника. Тяжелый железный маятник Робинса не позволял этого, и математический подход Робинса был немного сложнее. Он использовал период колебаний и массу маятника (оба измерялись с учетом пули) для расчета инерции вращения маятника, которая затем использовалась в расчетах. Робинс также использовал отрезок ленты , свободно зажатый в зажиме, для измерения хода маятника. Маятник вытягивал длину ленты, равную хорде хода маятника. ^[7]

Первая система, которая заменила баллистические маятники прямыми мерами скорости снаряда, была изобретена в 1808 году во время Наполеоновских войн и использовала быстро вращающийся вал с известной скоростью с двумя бумажными дисками на нем; пуля выстреливалась через диски параллельно валу, а угловая разница в точках попадания обеспечивала прошедшее время на расстоянии между дисками. Прямая электромеханическая мера часового механизма появилась в 1848 году, с пружинными часами, которые запускались и останавливались электромагнитами, ток которых прерывался при прохождении пулей двух сеток из тонкой проволоки, снова обеспечивая время для прохождения заданного расстояния. ^[2]

Физические производные

Большинство учебников физики предлагают упрощенный метод расчета скорости пули, который использует массу пули и маятника, а также высоту перемещения маятника для расчета количества энергии и импульса в системе маятника и пули. Расчеты Робинса были значительно более сложными и использовали меру периода колебания для определения вращательной инерции системы.

Простой вывод

Начнем с движения системы пуля-маятник с момента удара маятника пулей.

Учитывая , ускорение под действием силы тяжести, и , конечную высоту маятника, можно вычислить начальную скорость системы пуля-маятник, используя закон сохранения механической энергии (кинетическая энергия + потенциальная энергия). Пусть эта начальная скорость будет обозначена как . Предположим, что массы пули и маятника равны и соответственно. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle m_{b}}$ ${\displaystyle m_{p}}$

Начальная кинетическая энергия системы ${\displaystyle K_{initial}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}}$

Принимая начальную высоту маятника за точку отсчета потенциальной энергии , конечная потенциальная энергия, когда система пуля-маятник останавливается, определяется по формуле ${\displaystyle (U_{initial}=0)}$ ${\displaystyle (K_{final}=0)}$ ${\displaystyle U_{final}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Итак, по закону сохранения механической энергии имеем: ^[8]

${\displaystyle K_{initial}=U_{final}\,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Решим уравнение относительно скорости и получим: ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Теперь мы можем использовать закон сохранения импульса для системы пуля-маятник, чтобы получить скорость пули, , до того, как она ударилась о маятник. Приравнивая импульс пули до того, как она ударилась о маятник, к импульсу системы пуля-маятник, как только пуля ударилась о маятник (и используя вышеизложенное), получаем: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

${\displaystyle m_{\textrm {b}}\cdot v_{0}=(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Решение для : ${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle v_{0}={\frac {(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}{m_{\textrm {b}}}}=\left(1+{\frac {m_{\textrm {p}}}{m_{\textrm {b}}}}\right)\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

• Тестовый случай с пневматическим пистолетом и пневматической винтовкой
• Crosman 1377, кал. .177, вес пули 0,5 грамма, вес блока 45 граммов
• 
  Crosman 1377, энергия 10,6 джоулей (указано 10), начальная скорость пули 206 метров в секунду
• Ekol Ultimate, кал. .25, вес пули 1,15 грамма, вес блока 80 грамм
• 
  Ekol Ultimate: энергия 26,6 джоулей (заявлено 30), начальная скорость пули 215 метров в секунду

Формула Робинса

В оригинальной книге Робинса были пропущены некоторые предположения в формуле; например, она не включала поправку для учета удара пули, который не совпадал с центром масс маятника. Обновленная формула с исправленным этим упущением была опубликована в Philosophical Transactions of the Royal Society в следующем году. Швейцарский математик Леонард Эйлер , не зная об этом исправлении, независимо исправил это упущение в своем аннотированном немецком переводе книги. ^[6] Исправленная формула, появившаяся в издании книги 1786 года, была:

${\displaystyle v=614.58gc\cdot {\frac {p+b}{birn}}}$

где:

• ${\displaystyle v}$скорость мяча в единицах в секунду
• ${\displaystyle b}$масса шара
• ${\displaystyle p}$масса маятника
• ${\displaystyle g}$это расстояние от точки опоры до центра тяжести
• ${\displaystyle i}$это расстояние от точки опоры до точки удара мяча
• ${\displaystyle c}$это хорда, измеренная лентой, описанной в аппарате Робинса
• ${\displaystyle r}$радиус или расстояние от оси крепления ленты
• ${\displaystyle n}$это число колебаний, совершаемых маятником за одну минуту

Робинс использовал футы для длины и унции для массы, хотя другие единицы, такие как дюймы или фунты, могут быть заменены, если сохраняется последовательность. ^[7]

Формула Пуассона

Формула, основанная на инерции вращения, аналогичная формуле Робинса, была выведена французским математиком Симеоном Дени Пуассоном и опубликована в журнале The Mécanique Physique для измерения скорости пули с использованием отдачи оружия:

${\displaystyle mvcf=Mbk'{\sqrt {gh}}}$

где:

• ${\displaystyle m}$масса пули
• ${\displaystyle v}$это скорость пули
• ${\displaystyle c}$это расстояние от оси вращения до ленты
• ${\displaystyle f}$расстояние от оси отверстия до точки поворота
• ${\displaystyle M}$это объединенная масса пушки и маятника
• ${\displaystyle b}$это хорда, измеренная лентой
• ${\displaystyle k'}$радиус от оси вращения до центра масс пушки и маятника (измеренный путем колебания, по Робинсу)
• ${\displaystyle g}$это гравитационное ускорение
• ${\displaystyle h}$это расстояние от центра масс маятника до точки опоры

${\displaystyle k'}$можно рассчитать с помощью уравнения:

${\displaystyle T=\pi {\sqrt {\frac {k'^{2}}{gh}}}}$

Где - половина периода колебания. ^[6] ${\displaystyle T}$

Баллистический маятник Экли

В 1962 году П. О. Экли описал, как построить и использовать баллистический маятник. Маятник Экли использовал параллелограммную связь со стандартизированным размером, что позволяло упростить способ вычисления скорости. ^[9]

Маятник Экли использовал маятниковые рычаги длиной ровно 66,25 дюйма (168,3 см) от опорной поверхности до опорной поверхности и использовал винтовые стяжки, расположенные в середине рычагов, чтобы обеспечить возможность точной установки длины рычага. Экли также рекомендует массу для корпуса маятника для различных калибров: 50 фунтов (22,7 кг) для кольцевого воспламенения вплоть до .22 Hornet , 90 фунтов (40,9 кг) для .222 Remington до .35 Whelen и 150 фунтов (68,2 кг) для винтовочных калибров Magnum. Маятник изготовлен из тяжелой металлической трубы, заваренной с одного конца и набитой бумагой и песком, чтобы остановить пулю. Открытый конец маятника был покрыт листом резины, чтобы пуля могла войти и предотвратить утечку материала. ^[9]

Чтобы использовать маятник, он устанавливается с устройством для измерения горизонтального расстояния качания маятника, например, легким стержнем, который будет толкаться назад задней частью маятника по мере его движения. Стрелок сидит на расстоянии не менее 15 футов (5 м) от маятника (что снижает воздействие дульной волны на маятник), и пуля выстреливается в маятник. Для расчета скорости пули с учетом горизонтального качания используется следующая формула: ^[9]

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}0.2018D}$

где:

• ${\displaystyle V}$скорость пули, в футах в секунду
• ${\displaystyle Mp}$масса маятника, в гранах
• ${\displaystyle Mb}$масса пули в гранах
• ${\displaystyle D}$горизонтальное перемещение маятника в дюймах

Для более точных расчетов вносится ряд изменений, как в конструкцию, так и в использование маятника. Изменения конструкции включают добавление небольшой коробки сверху маятника. Перед взвешиванием маятника коробка заполняется определенным количеством пуль измеряемого типа. Для каждого произведенного выстрела пуля может быть удалена из коробки, таким образом сохраняя массу маятника постоянной. Изменение измерения включает измерение периода маятника. Маятник качается, и число полных колебаний измеряется в течение длительного периода времени, от пяти до десяти минут. Время делится на число колебаний, чтобы получить период. После этого формула генерирует более точную константу для замены значения 0,2018 в приведенном выше уравнении. Так же, как и выше, скорость пули рассчитывается с использованием формулы: ^[9] ${\displaystyle C={\frac {pi}{T12}}}$

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}CD}$

Ссылки

1. «Баллистический маятник». Британская энциклопедия .
2. Джервис-Смит, Фредерик Джон (1911). "Хронограф"  . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Том 6 (11-е изд.). Cambridge University Press. стр. 302.
3. Густав Ялмар Энестрём (1903). Библиотека Математика. Б. Г. Тойбнер.
4. Научные труды Питера Гатри Тейта, том 2. Издательство Кембриджского университета. 1900. стр. 374.
5. Бенджамин Робинс (1742). Новые принципы артиллерийского дела. стр. 25.
6. Эдвард Джон Раут (1905). Элементарная часть «Трактата о динамике системы твердых тел» . Макмиллан.
7. Бенджамин Робинс; Джеймс Уилсон; Чарльз Хаттон (1805). Новые принципы артиллерийского дела. Ф. Уингрейв.
8. "Баллистическй маятник". Университет штата Джорджия .
9. PO Ackley (1962). Справочник для стрелков и перезаряжающих, том I. Plaza Publishing., страницы 191-195

Библиография

• Бенджамин Робинс, Джеймс Уилсон, Чарльз Хаттон (1805). Новые принципы артиллерийского дела . Ф. Уингрейв.
• «Баллистический маятник». Британская энциклопедия

Внешние ссылки

• Калькулятор баллистического маятника
• Баллистический маятник, продемонстрированный Уолтером Левином