Без потери общности (часто сокращенно WOLOG, WLOG [1] или wlog ; реже указывается как без потери общности или без потери общности ) — это часто используемое выражение в математике . Этот термин используется для обозначения следующего предположения, выбираемого произвольно, сужая посылку до конкретного случая, но не влияющего на достоверность доказательства в целом. Остальные случаи настолько похожи на представленный, что их доказывание следует по существу той же логике. [2] В результате, как только доказательство дано для конкретного случая, его легко адаптировать для доказательства вывода во всех других случаях.
Во многих сценариях использование «без потери общности» становится возможным благодаря наличию симметрии . [3] Например, если известно, что некоторое свойство P ( x , y ) действительных чисел симметрично относительно x и y , а именно, что P ( x , y ) эквивалентно P ( y , x ), то при доказательстве того, что P ( x , y ) выполняется для любых x и y , можно «без ограничения общности» предположить, что x ≤ y . В этом предположении нет потери общности, поскольку как только случай x ≤ y ⇒ P ( x , y ) доказан, другой случай следует путем замены x и y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ), и в силу симметрии P это подразумевает P ( x , y ), тем самым показывая, что P ( x , y ) выполняется для всех случаев.
С другой стороны, если ни такая симметрия, ни другая форма эквивалентности не могут быть установлены, то использование слова «без потери общности» неверно и может быть равносильно доказательству на примере – логической ошибке доказательства утверждения путем доказывая нерепрезентативный пример. [4]
Рассмотрим следующую теорему (которая является случаем принципа «ячейки» ):
Если каждый из трех предметов окрашен в красный или синий цвет, то должно быть не менее двух объектов одного цвета.
Доказательство:
Предположим, не ограничивая общности, что первый объект красный. Если любой из двух других объектов красный, то мы закончили; если нет, то два других объекта должны быть синими, и мы все еще закончили.
Приведенный выше аргумент работает, потому что точно такое же рассуждение можно было бы применить, если бы было сделано альтернативное предположение, а именно, что первый объект синий, или, аналогично, что слова «красный» и «синий» можно свободно менять местами в формулировке. доказательства. В результате употребление «без ограничения общности» в данном случае справедливо.