Бесконечная делимость возникает по-разному в философии , физике , экономике , теории порядка (раздел математики) и теории вероятностей (также раздел математики). Можно говорить о бесконечной делимости или об отсутствии таковой у материи , пространства , времени , денег или абстрактных математических объектов, таких как континуум .
Происхождение этой идеи в западной традиции можно проследить до V века до н. э., начиная с древнегреческого досократического философа Демокрита и его учителя Левкиппа , которые теоретизировали делимость материи за пределами того, что может быть воспринято чувствами, пока в конечном итоге не заканчивается неделимым атомом. Индийский философ Махарши Канада также предложил атомистическую теорию, однако существует неопределенность относительно того, когда жил этот философ, начиная с VI века до II века до н. э. Около 500 года до н. э. он постулировал, что если мы продолжим делить материю ( padarth ), мы будем получать все более и более мелкие частицы. В конечном итоге наступит время, когда мы столкнемся с мельчайшими частицами, за пределами которых дальнейшее деление будет невозможно. Он назвал эти частицы Парману . Другой индийский философ Пакудха Катьяяма развил эту доктрину и сказал, что эти частицы обычно существуют в объединенной форме, которая дает нам различные формы материи. [1] [2] Атомизм исследуется в диалоге Платона «Тимей» . Аристотель доказывает , что и длина, и время бесконечно делимы, опровергая атомизм. [3] Эндрю Пайл дает ясное описание бесконечной делимости на первых нескольких страницах своего «Атомизма и его критики» . Там он показывает, как бесконечная делимость подразумевает идею о том, что существует некий протяженный предмет, такой как яблоко, который можно разделить бесконечно много раз, при этом никогда не происходит деления до точки или до атомов любого вида. Многие философы [ кто? ] утверждают, что бесконечная делимость подразумевает либо совокупность бесконечного числа предметов (поскольку существуют бесконечные деления, должна быть бесконечная совокупность объектов), либо (реже) предметы размером с точку , либо и то, и другое. Пайл утверждает, что математика бесконечно делимых расширений не подразумевает ни того, ни другого — что существуют бесконечные деления, но только конечные совокупности объектов, и они никогда не делятся до точек без протяженности.
Зенон задался вопросом , как может двигаться стрела, если в один момент она находится здесь и неподвижна, а в другой момент находится в другом месте и неподвижна.
Однако рассуждения Зенона ошибочны, когда он говорит, что если все, занимая равное пространство, находится в покое, и если то, что движется, всегда занимает такое пространство в любой момент, то летящая стрела, следовательно, неподвижна. Это ложно, поскольку время не состоит из неделимых моментов, как и любая другая величина не состоит из неделимых. [4]
— Аристотель, Физика VI:9, 239b5
Ссылаясь на парадокс Зенона о летящей стреле, Альфред Норт Уайтхед пишет, что «бесконечное число актов становления может иметь место за конечное время, если каждый последующий акт меньше в сходящейся серии»: [5]
Аргумент, насколько он действителен, вызывает противоречие из двух посылок: (i) что в становлении что-то ( res vera ) становится, и (ii) что каждый акт становления делится на более ранние и более поздние разделы, которые сами являются актами становления. Рассмотрим, например, акт становления в течение одной секунды. Акт делится на два акта, один в течение первой половины второй, другой в течение второй половины второй. Таким образом, то, что становится в течение всей секунды, предполагает то, что становится в течение первой половины секунды. Аналогично, то, что становится в течение первой половины секунды, предполагает то, что становится в течение первой четверти секунды, и так далее до бесконечности. Таким образом, если мы рассмотрим процесс становления до начала рассматриваемой секунды и спросим, что тогда становится, то ответа дать нельзя. Ибо любое указанное нами существо предполагает более раннее существо, которое стало после начала второй и предшествующее указанному существу. Следовательно, нет ничего, что становится, чтобы осуществить переход во второе, о котором идет речь. [5]
— А. Н. Уайтхед, Процесс и реальность
До открытия квантовой механики не проводилось различия между вопросом о том, можно ли делить материю до бесконечности, и вопросом о том, можно ли делить материю на более мелкие части до бесконечности .
В результате греческое слово átomos ( ἄτομος ), которое буквально означает «неразрезаемый», обычно переводится как «неделимый». В то время как современный атом действительно делим, на самом деле он неразрезаем: нет такого разделения пространства, которое соответствовало бы его материальным частям атома. Другими словами, квантово-механическое описание материи больше не соответствует парадигме «формочки для печенья». [6] Это проливает новый свет на древнюю загадку делимости материи. Множественность материального объекта — количество его частей — зависит не от существования ограничивающих поверхностей, а от внутренних пространственных отношений (относительных положений между частями), и они не имеют определенных значений. Согласно Стандартной модели физики элементарных частиц, частицы, из которых состоит атом — кварки и электроны — являются точечными частицами : они не занимают места. То, что заставляет атом тем не менее занимать пространство, — это не какая-то пространственно протяженная «вещество», которая «занимает пространство» и которую можно разрезать на все более мелкие части, а неопределенность его внутренних пространственных отношений.
Физическое пространство часто рассматривается как бесконечно делимое: считается, что любая область в пространстве, независимо от ее размера, может быть разделена еще больше. Время также рассматривается как бесконечно делимое.
Однако, согласно лучшей в настоящее время принятой теории в физике, Стандартной модели , существует расстояние (называемое длиной Планка , 1,616229(38)×10−35 метров , названное в честь одного из отцов квантовой теории, Макса Планка ) и, следовательно, временной интервал (время, необходимое свету для прохождения этого расстояния в вакууме, 5,39116(13) × 10−44 секунд , известное как время Планка ), на котором, как ожидается, Стандартная модель нарушится — фактически делая это наименьшим физическим масштабом, о котором в настоящее время можно делать осмысленные заявления. Для предсказания физического поведения пространства-времени и фундаментальных частиц на меньших расстояниях требуется новая теория квантовой гравитации , которая объединяет до сих пор несовместимые теории квантовой механики и общей теории относительности. [ требуется ссылка ]
Один доллар или один евро делится на 100 центов; можно платить только с шагом в один цент. Довольно распространено, что цены на некоторые товары, такие как бензин, устанавливаются с шагом в одну десятую цента за галлон или за литр. Если бензин стоит 3,979 доллара за галлон, а вы покупаете 10 галлонов, то «дополнительные» 9/10 цента составляют в десять раз больше: «дополнительные» 9 центов, так что в этом случае выплачивается цент. Деньги бесконечно делимы в том смысле, что они основаны на действительной системе счисления. Однако современные монеты не делятся (в прошлом некоторые монеты взвешивались при каждой транзакции и считались делимыми без какого-либо определенного предела). В каждой транзакции есть точка точности, которая бесполезна, потому что такие небольшие суммы денег незначительны для людей. Чем больше умножается цена, тем больше может иметь значение точность. Например, при покупке миллиона акций покупатель и продавец могут быть заинтересованы в разнице в цене в десятую часть цента, но это только выбор. Все остальное в измерении и выборе бизнеса также делится в зависимости от степени заинтересованности сторон. Например, финансовые отчеты могут составляться ежегодно, ежеквартально или ежемесячно. Некоторые руководители предприятий составляют отчеты о движении денежных средств чаще, чем один раз в день.
Хотя время может быть бесконечно делимым, данные о ценах на ценные бумаги сообщаются в дискретные моменты времени. Например, если посмотреть на записи цен на акции в 1920-х годах, можно найти цены в конце каждого дня, но, возможно, не в трехсотых секунды после 12:47 дня. Однако новый метод, теоретически, мог бы сообщать с удвоенной скоростью, что не помешало бы дальнейшему увеличению скорости отчетности. Возможно, как это ни парадоксально, техническая математика, применяемая к финансовым рынкам, часто проще, если в качестве приближения использовать бесконечно делимое время. Даже в этих случаях выбирается точность, с которой нужно работать, и измерения округляются до этого приближения. С точки зрения человеческого взаимодействия деньги и время делимы, но только до точки, где дальнейшее деление не имеет значения, и эту точку невозможно определить точно.
Сказать, что поле рациональных чисел бесконечно делимо (т.е. порядок теоретически плотный ), означает, что между любыми двумя рациональными числами есть еще одно рациональное число. Напротив, кольцо целых чисел не является бесконечно делимым.
Бесконечная делимость не подразумевает отсутствие пробелов: рациональные числа не обладают свойством наименьшей верхней границы . Это означает, что если бы кто-то разделил рациональные числа на два непустых множества A и B , где A содержит все рациональные числа, меньшие некоторого иррационального числа ( скажем, π ), а B — все рациональные числа, большие его, то A не имеет наибольшего элемента, а B — наименьшего элемента. Поле действительных чисел , напротив, является как бесконечно делимым, так и без пробелов. Любое линейно упорядоченное множество , которое бесконечно делимо и без пробелов, и имеет более одного элемента, является несчетно бесконечным . Для доказательства см. первое доказательство несчетности Кантора . Одна только бесконечная делимость подразумевает бесконечность, но не несчетность, как показывают рациональные числа.
Сказать, что распределение вероятностей F на действительной прямой бесконечно делимо, означает, что если X — любая случайная величина, распределение которой равно F , то для каждого положительного целого числа n существует n независимых одинаково распределенных случайных величин X 1 , ..., X n , сумма которых по распределению равна X (эти n других случайных величин обычно не имеют того же распределения вероятностей, что и X ).
Распределение Пуассона , прерывистое распределение Пуассона, [ требуется ссылка ] отрицательное биномиальное распределение и гамма-распределение являются примерами бесконечно делимых распределений — как и нормальное распределение , распределение Коши и все другие члены семейства устойчивых распределений . Косо-нормальное распределение является примером не бесконечно делимого распределения. (См. Домингес-Молина и Роча-Артеага (2007).)
Каждое бесконечно делимое распределение вероятностей естественным образом соответствует процессу Леви , т. е. стохастическому процессу { X t : t ≥ 0} со стационарными независимыми приращениями ( стационарность означает, что при s < t распределение вероятностей X t − X s зависит только от t − s ; независимость приращений означает, что эта разность независима от соответствующей разности на любом интервале, не перекрывающемся с [ s , t ] , и аналогично для любого конечного числа интервалов).
Эта концепция бесконечной делимости распределений вероятностей была введена в 1929 году Бруно де Финетти .
{{cite book}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь )