Бесконечная диэдральная группа

В одном измерении бесконечная диэдральная группа проявляется в симметрии апейрогона, чередующегося с двумя длинами ребер и содержащего точки отражения в центре каждого ребра.

В математике бесконечная диэдральная группа Dih _∞ — это бесконечная группа со свойствами, аналогичными свойствам конечных диэдральных групп .

В двумерной геометрии бесконечная диэдральная группа представляет собой группу симметрии фриза , p 1 m 1, рассматриваемую как бесконечный набор параллельных отражений вдоль оси.

Определение

Каждая диэдральная группа порождается поворотом r и отражением; если поворот является рациональным кратным полного поворота, то существует некоторое целое число n такое, что r ⁿ является тождеством, и мы имеем конечную диэдральную группу порядка 2 n . Если поворот не является рациональным кратным полного поворота, то такого n не существует , и полученная группа имеет бесконечно много элементов и называется Dih _∞ . Она имеет представления

${\displaystyle \langle r,s\mid s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle \,\!}$

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle \,\!}$^[1]

и изоморфна полупрямому произведению Z и Z /2, и свободному произведению Z /2 *  Z /2. Это группа автоморфизмов графа , состоящего из бесконечного в обе стороны пути. Соответственно, это группа изометрий Z (см. также группы симметрии в одном измерении ), группа перестановок α :  Z  →  Z , удовлетворяющих | i  −  j | = | α ( i ) −  α ( j )|, для всех i',  j в Z . ^[2]

Бесконечную диэдральную группу можно также определить как голоморф бесконечной циклической группы .

Алиасинг

При периодической выборке синусоидальной функции со скоростью f _s , абсцисса выше представляет ее частоту, а ордината представляет другую синусоиду, которая могла бы производить тот же набор выборок. Бесконечное число абсцисс имеют одну и ту же ординату (класс эквивалентности с фундаментальной областью [0, f _s /2] ), и они демонстрируют двугранную симметрию. Явление «многие к одному» известно как наложение спектров .

Примером бесконечной двугранной симметрии является наложение действительных сигналов.

При дискретизации функции с частотой f _s (интервалы 1/ f _s ) следующие функции дают идентичные наборы выборок: {sin(2 π ( f  +  Nf _s ) t  +  φ ), N  = 0, ±1, ±2, ±3, . . .  }. Таким образом, обнаруженное значение частоты f является периодическим , что дает элемент трансляции r = f _s . Говорят, что функции и их частоты являются псевдонимами друг друга. Отмечая тригонометрическое тождество:

${\displaystyle \sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\varphi )={\begin{cases}+\sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\varphi ),&f+Nf_{s}\geq 0,\\[4pt]-\sin(2\pi |f+Nf_{s}|t-\varphi ),&f+Nf_{s}<0,\end{cases}}}$

мы можем записать все частоты наложения как положительные значения: . Это дает элемент отражения ( f ), а именно f  ↦  − f . Например, при f = 0,6 f _s   и   N = −1 ,  f  +  Nf _s = −0,4 f _s отражается в   0,4 f _s , что приводит к двум самым левым черным точкам на рисунке. ^{[примечание 1]}   Две другие точки соответствуют N = −2   и   N = 1 . Как показано на рисунке, существуют симметрии отражения при 0,5 f _s ,  f _s , 1,5 f _s и т. д. Формально частное под наложением является орбифолдом [ 0, 0,5 f _s ] с действием Z /2 в конечных точках (точках орбифолда), соответствующим отражению. ${\textstyle |f+Nf_{s}|}$ 

Смотрите также

• Ортогональная группа O(2), еще одно бесконечное обобщение конечных диэдральных групп
• Аффинная симметрическая группа , семейство групп, включающее бесконечную диэдральную группу

Примечания

1. В обработке сигналов симметрия относительно оси f _s /2 известна как свертывание , а ось известна как частота свертывания .

Ссылки

1. Коннолли, Фрэнсис; Дэвис, Джеймс (август 2004 г.). «Группы препятствий хирургии бесконечной диэдральной группы». Geometry & Topology . 8 (3): 1043–1078. arXiv : math/0306054 . doi :10.2140/gt.2004.8.1043.
2. Минакси Бхаттачарджи, Дугальд Макферсон, Рёгнвалдур Г. Мёллер, Питер М. Нойманн. Заметки о бесконечных группах перестановок, выпуск 1689. Springer, 1998. стр. 38. ISBN 978-3-540-64965-6