Бета-простое распределение

В теории вероятностей и статистике бета -простое распределение (также известное как инвертированное бета-распределение или бета-распределение второго рода ^[1] ) представляет собой абсолютно непрерывное распределение вероятностей . Если имеет бета-распределение , то шансы имеют бета-простое распределение. $p\in [0,1]$ ${\frac {p}{1-p}}$

Определения

Бета-простое распределение определяется для двух параметров α и β , имеющих функцию плотности вероятности : $x>0$

f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha,\beta)}}

где B — бета-функция .

Кумулятивная функция распределения равна

F(x;\alpha,\beta)=I _ {\frac {x}{1+x}}\left (\alpha,\beta \right),

где I — регуляризованная неполная бета-функция .

Ожидаемое значение, дисперсия и другие детали распределения указаны в боковом окне; при , избыточный эксцесс равен $\beta >4$

\gamma _{2}=6{\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)(5\beta -11)+(\beta -1)^{2}(\beta -2) }{\alpha (\alpha +\beta -1)(\beta -3)(\beta -4)}}.

В то время как соответствующее бета-распределение представляет собой сопряженное априорное распределение параметра распределения Бернулли, выраженное как вероятность, бета-распределение простых чисел представляет собой сопряженное априорное распределение параметра распределения Бернулли, выраженное в коэффициентах . Распределение представляет собой распределение Пирсона VI типа . ^[1]

Мода переменной X распределяется как есть . Его среднее значение равно if (если среднее значение бесконечно, другими словами, оно не имеет четко определенного среднего значения), а его дисперсия равна if . $\beta '(\alpha,\beta)$ ${\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}$ ${\frac {\alpha }{\beta -1}}$ $\beta >1$ $\beta \leq 1$ ${\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}$ $\beta >2$

При k -й момент определяется выражением $-\alpha <k<\beta$ $E[X^{k}]$

E[X^{k}]={\frac {B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}}.

Ибо это упрощает $k\in \mathbb {N}$ $k<\beta ,$

E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.

CDF также можно записать как

{\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}}

где – гипергеометрическая функция Гаусса ₂ F ₁ . ${}_{2}F_{1}$

Альтернативная параметризация

Бета-распределение простых чисел также может быть перепараметризовано с точки зрения его среднего значения µ > 0 и точности ν > 0 параметров ( ^[2], стр. 36).

Рассмотрим параметризацию µ = α /( β -1) и ν = β – 2, т. е. α = µ ( 1 + ν ) и β = 2 + ν . При этой параметризации E[Y] = µ и Var[Y] = µ (1 + µ )/ ν .

Обобщение

Для формирования обобщенного простого бета-распределения можно добавить еще два параметра : $\beta '(\alpha ,\beta ,p,q)$

$p>0$ форма ( настоящая )
$q>0$ масштаб ( реальный )

имеющая функцию плотности вероятности :

f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}

со средним

{\frac {q\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {1}{p}}\right)\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{if }}\beta p>1

и режим

q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{if }}\alpha p\geq 1

Обратите внимание, что если p = q = 1, то обобщенное бета-простое распределение сводится к стандартному бета-простому распределению .

Это обобщение можно получить с помощью следующего обратимого преобразования. Если и за , то . $y\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ $x=qy^{1/p}$ $q,p>0$ $x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)$

Сложное гамма-распределение

Составное гамма-распределение ^[3] представляет собой обобщение простого бета-распределения, когда добавляется параметр масштаба q , но где p = 1. Оно названо так потому, что образуется путем объединения двух гамма-распределений :

\beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,r)G(r;\beta ,q)\;dr

где гамма-pdf с формой и обратным масштабом . $G(x;a,b)$ $a$ $b$

Режим, среднее значение и дисперсию составной гаммы можно получить путем умножения режима и среднего значения в приведенном выше информационном окне на q , а дисперсию на q ² .

Другой способ выразить начисление процентов: если и , то . (Это дает один способ генерировать случайные переменные с помощью составных гамма-распределений или бета-распределений простых чисел. Другой способ — через соотношение независимых гамма-переменных, как показано ниже.) $r\sim G(\beta ,q)$ $x\mid r\sim G(\alpha ,r)$ $x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,q)$

Характеристики

Если тогда . $X\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ ${\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )$
Если , и , то . $Y\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ $X=qY^{1/p}$ $X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)$
Если тогда . $X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)$ $kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)$
$\beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )$
Если и две переменные iid, то с и , поскольку бета-простое распределение бесконечно делится. $X_{1}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ $X_{2}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ $Y=X_{1}+X_{2}\sim \beta '(\gamma ,\delta )$ $\gamma ={\frac {2\alpha (\alpha +\beta ^{2}-2\beta +2\alpha \beta -4\alpha +1)}{(\beta -1)(\alpha +\beta -1)}}$ $\delta ={\frac {2\alpha +\beta ^{2}-\beta +2\alpha \beta -4\alpha }{\alpha +\beta -1}}$
В более общем смысле, пусть переменные iid следуют одному и тому же простому бета-распределению, т. е . тогда сумма с и . $X_{1},...,X_{n}n$ $\forall i,1\leq i\leq n,X_{i}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ $S=X_{1}+...+X_{n}\sim \beta '(\gamma ,\delta )$ $\gamma ={\frac {n\alpha (\alpha +\beta ^{2}-2\beta +n\alpha \beta -2n\alpha +1)}{(\beta -1)(\alpha +\beta -1)}}$ $\delta ={\frac {2\alpha +\beta ^{2}-\beta +n\alpha \beta -2n\alpha }{\alpha +\beta -1}}$

Связанные дистрибутивы

Если имеет F -распределение , то , или, что то же самое, . $X\sim F(2\alpha ,2\beta )$ ${\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ $X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\beta }{\alpha }})$
Если тогда . $X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )$ ${\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$
Если тогда . $X\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ ${\frac {X}{1+X}}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )$
Для параметризации гамма-распределения I:
- Если независимы, то . Обратите внимание на все параметры масштаба для соответствующих распределений. $X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})$ ${\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})$ $\theta _{1},\theta _{2},{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}$
Для параметризации гамма-распределения II:
- Если независимы, то . Это параметры скорости, а является параметром масштаба. $X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})$ ${\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})$ $\beta _{k}$ ${\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}$
- Если и , то . Это параметры скорости для гамма-распределений, но это параметр масштаба для бета-простого числа. $\beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})$ $X_{2}\mid \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})$ $X_{2}\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1},1,\beta _{1})$ $\beta _{k}$ $\beta _{1}$
$\beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)$ распределение Дагума
$\beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)$ Распределение Сингха- Маддалы .
$\beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )$ Логистическое распределение .
Бета-простое распределение является частным случаем распределения Пирсона 6-го типа .
Если X имеет распределение Парето с минимумом и параметром формы , то . $x_{m}$ $\alpha$ ${\dfrac {X}{x_{m}}}-1\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )$
Если X имеет распределение Ломакса , также известное как распределение Парето типа II, с параметром формы и параметром масштаба , то . $\alpha$ $\lambda$ ${\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )$
Если X имеет стандартное распределение Парето типа IV с параметром формы и параметром неравенства , то , или эквивалентно . $\alpha$ $\gamma$ $X^{\frac {1}{\gamma }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )$ $X\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha ,{\tfrac {1}{\gamma }},1)$
Инвертированное распределение Дирихле является обобщением простого бета-распределения.
Если , то имеет обобщенное логистическое распределение . В более общем смысле, если , то имеет масштабированное и смещенное обобщенное логистическое распределение. $X\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ $\ln X$ $X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)$ $\ln X$

Примечания

^ Аб Джонсон и др. (1995), стр. 248.
^ Бургиньон, М.; Сантос-Нето, М.; де Кастро, М. (2021). «Новая модель регрессии для положительных случайных величин с асимметричным и длинным хвостом». Метрон . 79 : 33–55. doi : 10.1007/s40300-021-00203-y. S2CID 233534544.
^ Дубей, Сатья Д. (декабрь 1970 г.). «Соединенные гамма-, бета- и F-распределения». Метрика . 16 : 27–31. дои : 10.1007/BF02613934. S2CID 123366328.