Математическая функция
Контурный график бета-функцииВ математике бета -функция , также называемая интегралом Эйлера первого рода, является специальной функцией , которая тесно связана с гамма-функцией и биномиальными коэффициентами . Она определяется интегралом
Б ( з 1 , з 2 ) = ∫ 0 1 т з 1 − 1 ( 1 − т ) з 2 − 1 г т {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2 }-1}\,дт} для комплексных числовых входов, таких что . з 1 , з 2 {\displaystyle z_{1},z_{2}} ℜ ( з 1 ) , ℜ ( з 2 ) > 0 {\displaystyle \Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0}
Бета-функция была изучена Леонардом Эйлером и Адриеном-Мари Лежандром и получила свое название от Жака Бине ; ее символ Β — греческая заглавная буква бета .
Характеристики Бета-функция симметрична , что означает, что для всех входных данных и . [1] Б ( з 1 , з 2 ) = Б ( з 2 , з 1 ) {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2}) = \mathrm {B} (z_{2},z_{1})} з 1 {\displaystyle z_{1}} з 2 {\displaystyle z_{2}}
Ключевым свойством бета-функции является ее тесная связь с гамма-функцией : [1]
Б ( з 1 , з 2 ) = Г ( з 1 ) Г ( з 2 ) Г ( з 1 + з 2 ) {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1} }+z_{2})}}} Доказательство приведено ниже в § Связь с гамма-функцией.
Бета-функция также тесно связана с биномиальными коэффициентами . Когда m (или n , по симметрии) является положительным целым числом, из определения гамма-функции Γ следует , что [1]
Б ( м , н ) = ( м − 1 ) ! ( н − 1 ) ! ( м + н − 1 ) ! = м + н м н / ( м + н м ) {\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}
Связь с гамма-функцией Простой вывод соотношения можно найти в книге Эмиля Артина «Гамма-функция» , стр. 18–19. [2]
Чтобы вывести это соотношение, запишите произведение двух факториалов в виде интегралов. Поскольку они являются интегралами по двум отдельным переменным, мы можем объединить их в итерированный интеграл: Б ( з 1 , з 2 ) = Г ( з 1 ) Г ( з 2 ) Г ( з 1 + з 2 ) {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1} }+z_{2})}}}
Г ( з 1 ) Г ( з 2 ) = ∫ ты = 0 ∞ е − ты ты з 1 − 1 г ты ⋅ ∫ в = 0 ∞ е − в в з 2 − 1 г в = ∫ в = 0 ∞ ∫ ты = 0 ∞ е − ты − в ты з 1 − 1 в з 2 − 1 г ты г в . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}} Заменяя переменные на u = st v = s (1 − t )u + v = s u / (u+v) = t s t
Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) = ∫ s = 0 ∞ ∫ t = 0 1 e − s ( s t ) z 1 − 1 ( s ( 1 − t ) ) z 2 − 1 s d t d s = ∫ s = 0 ∞ e − s s z 1 + z 2 − 1 d s ⋅ ∫ t = 0 1 t z 1 − 1 ( 1 − t ) z 2 − 1 d t = Γ ( z 1 + z 2 ) ⋅ B ( z 1 , z 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}} Разделив обе части на , получим желаемый результат. Γ ( z 1 + z 2 ) {\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}
Указанное тождество можно рассматривать как частный случай тождества для интеграла свертки . Принимая во внимание
f ( u ) := e − u u z 1 − 1 1 R + g ( u ) := e − u u z 2 − 1 1 R + , {\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}} один имеет:
Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) = ∫ R f ( u ) d u ⋅ ∫ R g ( u ) d u = ∫ R ( f ∗ g ) ( u ) d u = B ( z 1 , z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) . {\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}
Дифференциация бета-функции У нас есть
∂ ∂ z 1 B ( z 1 , z 2 ) = B ( z 1 , z 2 ) ( Γ ′ ( z 1 ) Γ ( z 1 ) − Γ ′ ( z 1 + z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) ) = B ( z 1 , z 2 ) ( ψ ( z 1 ) − ψ ( z 1 + z 2 ) ) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},} ∂ ∂ z m B ( z 1 , z 2 , … , z n ) = B ( z 1 , z 2 , … , z n ) ( ψ ( z m ) − ψ ( ∑ k = 1 n z k ) ) , 1 ≤ m ≤ n , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi \left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)\right),\quad 1\leq m\leq n,} где обозначает дигамма-функцию . ψ ( z ) {\displaystyle \psi (z)}
Приближение Приближение Стирлинга дает асимптотическую формулу
B ( x , y ) ∼ 2 π x x − 1 / 2 y y − 1 / 2 ( x + y ) x + y − 1 / 2 {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}} для больших x и больших y .
Если же x велико, а y фиксировано, то
B ( x , y ) ∼ Γ ( y ) x − y . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
Другие тождества и формулы Интеграл, определяющий бета-функцию, можно переписать различными способами, включая следующие:
B ( z 1 , z 2 ) = 2 ∫ 0 π / 2 ( sin θ ) 2 z 1 − 1 ( cos θ ) 2 z 2 − 1 d θ , = ∫ 0 ∞ t z 1 − 1 ( 1 + t ) z 1 + z 2 d t , = n ∫ 0 1 t n z 1 − 1 ( 1 − t n ) z 2 − 1 d t , = ( 1 − a ) z 2 ∫ 0 1 ( 1 − t ) z 1 − 1 t z 2 − 1 ( 1 − a t ) z 1 + z 2 d t for any a ∈ R ≤ 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}} где в предпоследнем тождестве n — любое положительное действительное число. Можно перейти от первого интеграла ко второму, подставив . t = tan 2 ( θ ) {\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}
Бета-функцию можно записать в виде бесконечной суммы [3]
B ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) n ( y + n ) n ! {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}} (где находится восходящий факториал ) ( x ) n {\displaystyle (x)_{n}} и как бесконечное произведение
B ( x , y ) = x + y x y ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x y n ( x + y + n ) ) − 1 . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.} Бета-функция удовлетворяет нескольким тождествам, аналогичным соответствующим тождествам для биномиальных коэффициентов, включая версию тождества Паскаля
B ( x , y ) = B ( x , y + 1 ) + B ( x + 1 , y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)} и простая рекуррентность по одной координате:
B ( x + 1 , y ) = B ( x , y ) ⋅ x x + y , B ( x , y + 1 ) = B ( x , y ) ⋅ y x + y . {\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.} [4] Положительные целые значения бета-функции также являются частными производными двумерной функции: для всех неотрицательных целых чисел и , m {\displaystyle m} n {\displaystyle n}
B ( m + 1 , n + 1 ) = ∂ m + n h ∂ a m ∂ b n ( 0 , 0 ) , {\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),} где
h ( a , b ) = e a − e b a − b . {\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.} Приведенное выше тождество Паскаля подразумевает, что эта функция является решением уравнения в частных производных первого порядка
h = h a + h b . {\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.} Для бета-функция может быть записана в терминах свертки, включающей усеченную степенную функцию : x , y ≥ 1 {\displaystyle x,y\geq 1} t ↦ t + x {\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}}
B ( x , y ) ⋅ ( t ↦ t + x + y − 1 ) = ( t ↦ t + x − 1 ) ∗ ( t ↦ t + y − 1 ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}} Оценки в определенных точках могут значительно упроститься; например,
B ( 1 , x ) = 1 x {\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}} и
B ( x , 1 − x ) = π sin ( π x ) , x ∉ Z {\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} } [5] Принимая во внимание эту последнюю формулу, следует, что . Обобщение этого в двумерное тождество для произведения бета-функций приводит к: x = 1 2 {\displaystyle x={\frac {1}{2}}} Γ ( 1 / 2 ) = π {\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}
B ( x , y ) ⋅ B ( x + y , 1 − y ) = π x sin ( π y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.} Интеграл Эйлера для бета-функции можно преобразовать в интеграл по контуру Похгаммера C следующим образом:
( 1 − e 2 π i α ) ( 1 − e 2 π i β ) B ( α , β ) = ∫ C t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t . {\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.} Этот контурный интеграл Похгаммера сходится для всех значений α и β и, таким образом, дает аналитическое продолжение бета-функции.
Так же, как гамма-функция для целых чисел описывает факториалы , бета-функция может определять биномиальный коэффициент после корректировки индексов:
( n k ) = 1 ( n + 1 ) B ( n − k + 1 , k + 1 ) . {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.} Более того, для целого числа n Β можно разложить на множители , чтобы получить замкнутую форму интерполяционной функции для непрерывных значений k :
( n k ) = ( − 1 ) n n ! ⋅ sin ( π k ) π ∏ i = 0 n ( k − i ) . {\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}
Обратная бета-функция Обратная бета-функция — это функция вида
f ( x , y ) = 1 B ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}} Интересно, что их интегральные представления тесно связаны, как определенный интеграл тригонометрических функций с произведением его степени и кратного угла : [6]
∫ 0 π sin x − 1 θ sin y θ d θ = π sin y π 2 2 x − 1 x B ( x + y + 1 2 , x − y + 1 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}} ∫ 0 π sin x − 1 θ cos y θ d θ = π cos y π 2 2 x − 1 x B ( x + y + 1 2 , x − y + 1 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}} ∫ 0 π cos x − 1 θ sin y θ d θ = π cos y π 2 2 x − 1 x B ( x + y + 1 2 , x − y + 1 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}} ∫ 0 π 2 cos x − 1 θ cos y θ d θ = π 2 x x B ( x + y + 1 2 , x − y + 1 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
Неполная бета-функция Неполная бета-функция , обобщение бета-функции, определяется как [7] [8]
B ( x ; a , b ) = ∫ 0 x t a − 1 ( 1 − t ) b − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.} При x = 1неполной гамма-функцией . Для положительных целых чисел a и b неполная бета-функция будет многочленом степени a + b - 1 с рациональными коэффициентами.
Подстановкой и мы показываем, что t = sin 2 θ {\displaystyle t=\sin ^{2}\theta } t = 1 1 + s {\displaystyle t={\frac {1}{1+s}}}
B ( x ; a , b ) = 2 ∫ 0 arcsin x sin 2 a − 1 θ cos 2 b − 1 θ d θ = ∫ 1 − x x ∞ s a − 1 ( 1 + s ) a + b d s {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{a-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,\mathrm {d} s} Регуляризованная неполная бета-функция (или сокращенно регуляризованная бета-функция ) определяется через неполную бета-функцию и полную бета-функцию:
I x ( a , b ) = B ( x ; a , b ) B ( a , b ) . {\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.} Регуляризованная неполная бета-функция является кумулятивной функцией распределения бета -распределения и связана с кумулятивной функцией распределения случайной величины X , следующей биномиальному распределению с вероятностью единичного успеха p и числом испытаний Бернулли n : F ( k ; n , p ) {\displaystyle F(k;\,n,p)}
F ( k ; n , p ) = Pr ( X ≤ k ) = I 1 − p ( n − k , k + 1 ) = 1 − I p ( k + 1 , n − k ) . {\displaystyle F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).}
Характеристики I 0 ( a , b ) = 0 I 1 ( a , b ) = 1 I x ( a , 1 ) = x a I x ( 1 , b ) = 1 − ( 1 − x ) b I x ( a , b ) = 1 − I 1 − x ( b , a ) I x ( a + 1 , b ) = I x ( a , b ) − x a ( 1 − x ) b a B ( a , b ) I x ( a , b + 1 ) = I x ( a , b ) + x a ( 1 − x ) b b B ( a , b ) ∫ B ( x ; a , b ) d x = x B ( x ; a , b ) − B ( x ; a + 1 , b ) B ( x ; a , b ) = ( − 1 ) a B ( x x − 1 ; a , 1 − a − b ) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\int \mathrm {B} (x;a,b)\mathrm {d} x&=x\mathrm {B} (x;a,b)-\mathrm {B} (x;a+1,b)\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}}
Расширение непрерывной дроби Расширение непрерывной дроби
B ( x ; a , b ) = x a ( 1 − x ) b a ( 1 + d 1 1 + d 2 1 + d 3 1 + d 4 1 + ⋯ ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)={\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\left(1+{\frac {{d}_{1}}{1+}}{\frac {{d}_{2}}{1+}}{\frac {{d}_{3}}{1+}}{\frac {{d}_{4}}{1+}}\cdots \right)}}} с нечетными и четными коэффициентами соответственно
d 2 m + 1 = − ( a + m ) ( a + b + m ) x ( a + 2 m ) ( a + 2 m + 1 ) {\displaystyle {d}_{2m+1}=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}}} d 2 m = m ( b − m ) x ( a + 2 m − 1 ) ( a + 2 m ) {\displaystyle {d}_{2m}={\frac {m(b-m)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}} сходится быстро, когда не близко к 1. Подходящие дроби и меньше , тогда как подходящие дроби и больше . x {\displaystyle x} 4 m {\displaystyle 4m} 4 m + 1 {\displaystyle 4m+1} B ( x ; a , b ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)} 4 m + 2 {\displaystyle 4m+2} 4 m + 3 {\displaystyle 4m+3} B ( x ; a , b ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}
Для функция может быть оценена более эффективно с использованием . [8] x > a + 1 a + b + 2 {\displaystyle x>{\frac {a+1}{a+b+2}}} B ( x ; a , b ) = B ( a , b ) − B ( 1 − x ; b , a ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (1-x;\,b,a)}
Многомерная бета-функция Бета-функцию можно расширить до функции с более чем двумя аргументами:
B ( α 1 , α 2 , … α n ) = Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) ⋯ Γ ( α n ) Γ ( α 1 + α 2 + ⋯ + α n ) . {\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.} Эта многомерная бета-функция используется в определении распределения Дирихле . Ее связь с бета-функцией аналогична связи между полиномиальными коэффициентами и биномиальными коэффициентами. Например, она удовлетворяет похожей версии тождества Паскаля:
B ( α 1 , α 2 , … α n ) = B ( α 1 + 1 , α 2 , … α n ) + B ( α 1 , α 2 + 1 , … α n ) + ⋯ + B ( α 1 , α 2 , … α n + 1 ) . {\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}
Приложения Бета-функция полезна при вычислении и представлении амплитуды рассеяния для траекторий Редже . Кроме того, это была первая известная амплитуда рассеяния в теории струн , впервые предложенная Габриэле Венециано . Она также встречается в теории предпочтительного процесса присоединения , типа стохастического процесса урны . Бета-функция также важна в статистике, например, для бета-распределения и бета-простого распределения . Как кратко упоминалось ранее, бета-функция тесно связана с гамма-функцией и играет важную роль в исчислении .
Реализация программного обеспечения Даже если они недоступны напрямую, полные и неполные значения бета-функции можно рассчитать с помощью функций, обычно включаемых в электронные таблицы или системы компьютерной алгебры .
В Microsoft Excel , например, полную бета-функцию можно вычислить с помощью GammaLn special.gammalnв пакете SciPy Python ):
Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))Этот результат следует из перечисленных выше свойств.
Неполная бета-функция не может быть напрямую вычислена с использованием таких соотношений, и должны быть использованы другие методы. В GNU Octave она вычисляется с использованием расширения непрерывной дроби .
Неполная бета-функция имеет существующую реализацию в распространенных языках. Например, betainc(неполная бета-функция) в MATLAB и GNU Octave , pbeta(вероятность бета-распределения) в R или special.betaincв SciPy вычисляют регуляризованную неполную бета-функцию — которая, по сути, является кумулятивным бета-распределением — и поэтому, чтобы получить фактическую неполную бета-функцию, нужно умножить результат на betaincрезультат, возвращаемый соответствующей betaфункцией. В Mathematica и дают и соответственно.Beta[x, a, b]BetaRegularized[x, a, b] B ( x ; a , b ) {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)} I x ( a , b ) {\displaystyle I_{x}(a,b)}
Смотрите также
Ссылки ^ abc Davis, Philip J. (1972), "6. Гамма-функция и связанные с ней функции", в Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (ред.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications , стр. 258, ISBN 978-0-486-61272-0 ^ Артин, Эмиль, Гамма-функция (PDF) , стр. 18–19, заархивировано из оригинала (PDF) 2016-11-12 , извлечено 2016-11-11 ^ Бета-функция: Представления рядов (Формула 06.18.06.0007) ^ Мяклин, Томми (2022), Вероятностные методы метагеномики высокого разрешения (PDF) , Серия публикаций A / Кафедра компьютерных наук, Хельсинкский университет, Хельсинки: Unigrafia, стр. 27, ISBN 978-951-51-8695-9 ^ "Формула отражения Эйлера - ProofWiki", proofwiki.org , получено 2020-09-02 ^ Paris, RB (2010), "Бета-функция", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 ^ Зелен, М.; Северо, NC (1972), "26. Функции вероятности", в Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , стр. 944, ISBN 978-0-486-61272-0 ^ ab Paris, RB (2010), "Неполные бета-функции", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Бета-функция", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions 978-0-521-19225-5 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 6.1 Гамма-функция, бета-функция, факториалы», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 , извлечено 2011-08-09
Внешние ссылки «Бета-функция», Энциклопедия математики EMS Press , 2001 [1994] Оценка бета-функции с использованием преобразования Лапласа на PlanetMath . Произвольно точные значения могут быть получены из:Сайт функций Wolfram: Оценка бета-функции Регуляризованная неполная бета-функция danielsoper.com: Калькулятор неполной бета-функции, Калькулятор регуляризованной неполной бета-функции
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{ z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt] &=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-uv}u^{z_{1}-1}v^{z_{ 2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0602e0665bdaf2c38b4056fa812ae684ba773b53)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Гамма (z_{1})\Гамма (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Гамма (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f6cdeb03466b3835ea08e07d50371712318dd8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{для любого }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0163d50bcc0f2359f68f9ac5acc1fccbf45a262f)
