Биарки обычно используются в геометрическом моделировании и компьютерной графике . Их можно использовать для аппроксимации сплайнов и других плоских кривых , разместив две внешние конечные точки бидуги вдоль аппроксимируемой кривой с касательной, соответствующей кривой, а затем выбрав среднюю точку, которая лучше всего соответствует кривой. Этот выбор трех точек и двух касательных определяет уникальную пару дуг окружности, а геометрическое место средних точек, для которых эти две дуги образуют бидугу, само по себе является дугой окружности. В частности, чтобы аппроксимировать кривую Безье таким способом, среднюю точку бидуги следует выбрать как центр треугольника , образованного двумя конечными точками кривой Безье и точкой пересечения двух их касательных. В более общем смысле, можно аппроксимировать кривую гладкой последовательностью бидуг; использование большего количества бидуг в последовательности в целом улучшит близость аппроксимации к исходной кривой.
Примеры двудуговых кривых
В приведенных ниже примерах биарки стягиваются хордой и являются точкой соединения. Касательный вектор в начальной точке равен , а является касательной в конечной точке.
На рис. 2 показаны шесть примеров биарков.
Биарк 1 нарисован вничью с Биарками 2-6
В примерах 1, 2, 6 кривизна меняет знак, а точка соединения одновременно является точкой перегиба. Биадуга 3 включает в себя отрезок прямой .
Биарки 1–4 короткие в том смысле, что они не поворачиваются вблизи конечных точек. Альтернативно, бидуги 5,6 длинные : поворот возле одной из конечных точек означает, что они пересекают левое или правое дополнение хорды до бесконечной прямой.
Биарки 2–6 разделяют конечные касательные. Их можно найти в нижнем фрагменте рис. 3 среди семейства биарков с общими касательными.
На рис. 3 показаны два примера семейств бидуг, имеющих общие конечные точки и конечные касательные.
На рис. 4 показаны два примера семейств бидуг, имеющих общие конечные точки и конечные касательные, причем конечные касательные параллельны:
На рис. 5 показаны конкретные семейства с либо или
Рис. 5. Семейства биарков с либо или
Различные цвета на рисунках 3, 4, 5 поясняются ниже как подсемейства , , . В частности, для биарков, показанных коричневым цветом на затененном фоне ( линзоподобных или луноподобных ), справедливо следующее:
общий поворот (угол поворота) кривой равен точно (не , который является поворотом для других биарков);
: сумма представляет собой угловую ширину линзы/луны, охватывающей бидугу, знак которой соответствует либо возрастающей (+1), либо уменьшению кривизны (−1) бидуги, согласно обобщенной теореме Фогта (Теорема Фогта#Общение итогов [ RU] ).
Семейство биарков с общими касательными
Семейство бидуг с общими концами , и общими концевыми касательными (1) обозначается или, кратко, как параметр семейства. Свойства Biarc описаны ниже в рамках статьи. [2]
Построение бидуги возможно, если
Обозначим
, а также кривизна, угол поворота и длина дуги : ;
, и то же для дуги : .
Затем
(ввиду (2) , ). Углы поворота:
Местом соединения точек является круг
(показано пунктиром на рис.3, рис.5). Эта окружность (прямая если , рис.4) проходит через точки касательной, в которых находятся
бидуги, пересекающие эту окружность под постоянным углом
Касательный вектор к бидуге в точке соединения равен , где
Биарки с имеют точку соединения на оси Y и дают минимальный скачок кривизны при
Вырожденные биарки – это:
Biarc : при , , дуга исчезает.
Biarc : при , , дуга исчезает.
Разрывная бидуга включает прямую линию или и проходит через бесконечную точку :
Затемненная линзообразная область на рис.3,4 ограничена бидугами. Она охватывает бидуги с
прерывистой бидугой, показана красной штрихпунктирной линией.
Все семейство можно разделить на три подсемейства невырожденных биарков:
Подсемейство исчезает, если
Подсемейство исчезает, если
На рисунках 3, 4, 5 бидуги показаны коричневым цветом, бидуги – синим, а биарки – зеленым.
^ Курносенко, А.И. (2013). «Биадуги и билинзы» (PDF) . Компьютерное геометрическое проектирование . 30 (3): 310–330. дои : 10.1016/j.cagd.2012.12.002.
Натборн, штат Аризона; Мартин, Р.Р. (1988). Дифференциальная геометрия применяется к дизайну кривых и поверхностей. Том 1: Основы . Эллис Хорвуд. ISBN 978-0132118224.