Динамическая система Адамара

Хаотическая динамическая система, тип «бильярда».

В физике и математике динамическая система Адамара ( также называемая бильярдом Адамара или моделью Адамара–Гуцвиллера ^[1] ) — это хаотическая динамическая система , тип динамических бильярдов . Введенная Жаком Адамаром в 1898 году ^[2] и изученная Мартином Гуцвиллером в 1980-х годах ^{[3] [4],} она является первой динамической системой, хаотичность которой была доказана .

Система рассматривает движение свободной ( без трения ) частицы по поверхности Больца , то есть двумерной поверхности рода два (бублик с двумя дырками) и постоянной отрицательной кривизной ; это компактная риманова поверхность . Адамар смог показать, что каждая траектория частицы удаляется от любой другой: что все траектории имеют положительный показатель Ляпунова .

Франк Штайнер утверждает, что исследование Адамара следует считать первым в истории исследованием хаотической динамической системы, и что Адамара следует считать первым первооткрывателем хаоса. ^[5] Он указывает на то, что исследование было широко распространено, и рассматривает влияние идей на мышление Альберта Эйнштейна и Эрнста Маха .

Система особенно важна тем, что в 1963 году Яков Синай , изучая биллиарды Синая как модель классического ансамбля газа Больцмана–Гиббса, смог показать, что движение атомов в газе следует траекториям в динамической системе Адамара.

Экспозиция

Изучаемое движение представляет собой движение свободной частицы, скользящей без трения по поверхности, а именно, имеющей гамильтониан

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)}$

где m — масса частицы, , — координаты на многообразии, — сопряженные импульсы : ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}}$

и

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}(q)dq^{i}dq^{j}\,}$

— метрический тензор на многообразии. Поскольку это гамильтониан свободной частицы, решение уравнений движения Гамильтона–Якоби просто задается геодезическими на многообразии.

Адамар смог показать, что все геодезические нестабильны, поскольку все они экспоненциально расходятся друг от друга, как и при положительном показателе Ляпунова ${\displaystyle e^{\lambda t}}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {2E}{mR^{2}}}}}$

где E — энергия траектории, а — постоянная отрицательная кривизна поверхности. ${\displaystyle K=-1/R^{2}}$

Ссылки

1. Аурих, Р.; Зибер, М.; Штайнер, Ф. (1 августа 1988 г.). «Квантовый хаос модели Адамара – Гутцвиллера» (PDF) . Письма о физических отзывах . 61 (5): 483–487. Бибкод : 1988PhRvL..61..483A. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.483. ПМИД  10039347.
2. Адамар, Дж. (1898). «Les Surfaces à Courbures Opposiées et leurs lignes géodesiques». Дж. Математика. Приложение Pures . 4 : 27–73.
3. Gutzwiller, MC (21 июля 1980 г.). «Классическое квантование гамильтониана с эргодическим поведением». Physical Review Letters . 45 (3): 150–153. Bibcode :1980PhRvL..45..150G. doi :10.1103/PhysRevLett.45.150.
4. Гуцвиллер, MC (1985). «Геометрия квантового хаоса». Physica Scripta . T9 : 184–192. Bibcode : 1985PhST....9..184G. doi : 10.1088/0031-8949/1985/T9/030.
5. Штайнер, Франк (1994). «Квантовый хаос». В Ансорже, Р. (ред.). Schlaglichter der Forschung: Zum 75. Jahretag der Universität Hamburg, 1994 . Берлин: Раймер. стр. 542–564. arXiv : чао-дин/9402001 . Бибкод : 1994chao.dyn..2001S. ISBN 978-3-496-02540-5.