Двоичная икосаэдрическая группа

Неабелева группа порядка 120

В математике бинарная икосаэдрическая группа 2 I или ⟨2,3,5⟩ ^[1] — это определенная неабелева группа порядка 120. Она является расширением икосаэдрической группы I или (2,3,5) порядка 60 с помощью циклической группы порядка 2 и является прообразом икосаэдрической группы при гомоморфизме покрытия 2:1

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)\,}$

специальной ортогональной группы группой спинов . Отсюда следует, что бинарная икосаэдрическая группа является дискретной подгруппой Spin(3) порядка 120.

Ее не следует путать с полной группой икосаэдра , которая является другой группой порядка 120 и является скорее подгруппой ортогональной группы O(3).

В алгебре кватернионов бинарная икосаэдрическая группа конкретно реализуется как дискретная подгруппа версоров , которые являются кватернионами нормы один. Для получения дополнительной информации см. Кватернионы и пространственные вращения .

Элементы

120 кватернионных элементов, увиденных в 12-кратной проекции. Порядки элементов указаны: 1,2,3,4,5,6,10

В явном виде бинарная группа икосаэдра задается как объединение всех четных перестановок следующих векторов:

• 8 четных перестановок ${\displaystyle (\pm 1,0,0,0)}$
• 16 четных перестановок ${\displaystyle (\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2)}$
• 96 четных перестановок ${\displaystyle (0,\pm 1/2,\pm 1/2\phi ,\pm \phi /2)}$

Вот золотое сечение . ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Всего имеется 120 элементов, а именно единичных икосиан . Все они имеют единичную величину и, следовательно, лежат в единичной кватернионной группе Sp(1).

120 элементов в 4-мерном пространстве соответствуют 120 вершинам 600-ячейки , правильного 4-мерного многогранника .

Характеристики

Центральное расширение

Бинарная икосаэдрическая группа, обозначаемая 2 I , является универсальным совершенным центральным расширением икосаэдрической группы и, таким образом, является квазипростой : это совершенное центральное расширение простой группы. ^[2]

Явно, это вписывается в короткую точную последовательность

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.\,}$

Эта последовательность не расщепляется , что означает, что 2 I не является полупрямым произведением { ±1 } на I. Фактически, не существует подгруппы 2 I, изоморфной I.

Центром 2 I является подгруппа { ±1 }, так что внутренняя группа автоморфизмов изоморфна I . Полная группа автоморфизмов изоморфна S ₅ ( симметричной группе из 5 букв), как и для - любой автоморфизм 2 I фиксирует нетривиальный элемент центра ( ), следовательно, спускается до автоморфизма I, и наоборот, любой автоморфизм I поднимается до автоморфизма 2 I, поскольку подъем образующих I является генераторами 2 I (разные подъемы дают один и тот же автоморфизм). ${\displaystyle I\cong A_{5}}$ ${\displaystyle -1}$

Суперсовершенный

Бинарная икосаэдрическая группа является совершенной , что означает , что она равна своему коммутатору . Фактически, 2 I является единственной совершенной группой порядка 120. Из этого следует, что 2 I неразрешима .

Далее, бинарная икосаэдрическая группа является сверхсовершенной , что абстрактно означает, что ее первые две группы гомологии групп исчезают: Конкретно это означает, что ее абелианизация тривиальна (она не имеет нетривиальных абелевых факторов) и что ее множитель Шура тривиален (она не имеет нетривиальных совершенных центральных расширений). Фактически, бинарная икосаэдрическая группа является наименьшей (нетривиальной) сверхсовершенной группой. ^{[ требуется цитата ]} ${\displaystyle H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.}$

Однако бинарная икосаэдрическая группа не является ациклической , поскольку H _n (2 I , Z ) является циклической группой порядка 120 для n = 4 k +3 и тривиальной для n > 0 в противном случае (Адем и Милгрэм 1994, стр. 279).

Изоморфизмы

Конкретно, бинарная икосаэдрическая группа является подгруппой Spin(3) и покрывает икосаэдрическую группу, которая является подгруппой SO(3). Абстрактно, икосаэдрическая группа изоморфна симметриям 4-симплекса , который является подгруппой SO(4), а бинарная икосаэдрическая группа изоморфна двойному покрытию этого в Spin(4). Обратите внимание, что симметрическая группа имеет 4-мерное представление (ее обычное неприводимое представление наименьшей размерности как полные симметрии -симплекса ), и что полные симметрии 4-симплекса, таким образом, не являются полной икосаэдрической группой (это две разные группы порядка 120). ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle S_{5}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle S_{5},}$

Бинарную группу икосаэдра можно рассматривать как двойное покрытие знакопеременной группы , обозначенное этот изоморфизм покрывает изоморфизм группы икосаэдра с знакопеременной группой . Так же, как является дискретной подгруппой , является дискретной подгруппой двойного покрытия , а именно . Тогда 2-1 гомоморфизм из в ограничивается 2-1 гомоморфизмом из в . ${\displaystyle A_{5},}$ ${\displaystyle 2\cdot A_{5}\cong 2I;}$ ${\displaystyle A_{5}\cong I,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle 2I}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle 2I}$ ${\displaystyle I}$

Можно показать, что бинарная икосаэдрическая группа изоморфна специальной линейной группе SL(2,5) — группе всех матриц размера 2×2 над конечным полем F5 с единичным _{определителем} ; это охватывает исключительный изоморфизм с проективной специальной линейной группой PSL(2,5). ${\displaystyle I\cong A_{5}}$

Отметим также исключительный изоморфизм , который является другой группой порядка 120, причем коммутативный квадрат SL, GL, PSL, PGL изоморфен коммутативному квадрату, который изоморфен подгруппам коммутативного квадрата Spin(4), Pin(4), SO(4), O(4). ${\displaystyle PGL(2,5)\cong S_{5},}$ ${\displaystyle 2\cdot A_{5},2\cdot S_{5},A_{5},S_{5},}$

Презентация

Группа 2 I имеет презентацию, представленную

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle }$

или эквивалентно,

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .}$

Генераторы в группе единичных кватернионов с этими соотношениями задаются как

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i+j).}$

Подгруппы

Подгруппы:
• бинарная тетраэдрическая группа : 2T =⟨2,3,3⟩
• 3 бинарные диэдральные группы : Q ₂₀ =⟨2,2,5⟩, Q ₁₂ =⟨2,2,3⟩, Q ₈ =⟨2,2,2⟩
• 3 бинарные циклические группы : Z ₁₀ =⟨5⟩, Z ₆ =⟨3⟩, Z ₄ =⟨2⟩
• 3 циклические группы : Z ₅ =(5), Z ₃ =(3), Z ₂ =(2)
• 1 тривиальная группа : ( )

Единственной собственной нормальной подгруппой группы 2 I является центр { ±1 }.

По третьей теореме об изоморфизме существует связь Галуа между подгруппами 2 I и подгруппами I , где оператор замыкания на подгруппах 2 I — это умножение на { ±1 }.

${\displaystyle -1}$является единственным элементом порядка 2, поэтому он содержится во всех подгруппах четного порядка: таким образом, каждая подгруппа группы 2 I либо имеет нечетный порядок, либо является прообразом подгруппы группы I .

Помимо циклических групп, образованных различными элементами (которые могут иметь нечетный порядок), единственными другими подгруппами 2 I (с точностью до сопряжения) являются: ^[3]

• бинарные диэдральные группы , Dic ₅ =Q20=⟨2,2,5⟩, порядка 20 и Dic ₃ =Q12=⟨2,2,3⟩ порядка 12
• Группа кватернионов Q8=⟨2,2,2⟩, состоящая из 8 липшицевых единиц , образует подгруппу индекса 15, которая также является дициклической группой Dic ₂ ; она охватывает стабилизатор ребра.
• 24 единицы Гурвица образуют подгруппу индекса 5, называемую бинарной тетраэдрической группой ; она охватывает хиральную тетраэдрическую группу . Эта группа является самонормализующейся, поэтому ее класс сопряженности имеет 5 членов (это дает карту, изображение которой равно ). ${\displaystyle 2I\to S_{5}}$ ${\displaystyle A_{5}}$

Связь с 4-мерными группами симметрии

4-мерный аналог группы симметрии икосаэдра I _h — это группа симметрии 600-ячейки (а также ее дуальной, 120-ячейки ). Так же, как первая является группой Коксетера типа H ₃ , последняя является группой Коксетера типа H ₄ , также обозначаемой [3,3,5]. Ее вращательная подгруппа, обозначаемая [3,3,5] ^{+ ,} является группой порядка 7200, живущей в SO(4) . SO(4) имеет двойное покрытие , называемое Spin(4) во многом таким же образом, как Spin(3) является двойным покрытием SO(3). Подобно изоморфизму Spin(3) = Sp(1), группа Spin(4) изоморфна Sp(1) × Sp(1).

Прообраз [3,3,5] ⁺ в Spin(4) (четырехмерный аналог 2 I ) — это в точности группа произведений 2 I × 2 I порядка 14400. Тогда группа вращательной симметрии 600-ячейки равна

[3,3,5] ⁺ = ( 2 I × 2 I ) / { ±1 }.

Различные другие 4-мерные группы симметрии могут быть построены из 2 I. Подробности см. в (Conway and Smith, 2003).

Приложения

Косвенное пространство Spin(3) / 2 I = S ³ / 2 I является сферическим 3-многообразием, называемым гомологической сферой Пуанкаре . Это пример гомологической сферы , т.е. 3-многообразия, группы гомологии которого идентичны группам гомологии 3-сферы . Фундаментальная группа сферы Пуанкаре изоморфна бинарной группе икосаэдра, поскольку сфера Пуанкаре является фактором 3-сферы по бинарной группе икосаэдра.

Смотрите также

• бинарная полиэдральная группа
• бинарная циклическая группа , ⟨ n ⟩, порядок 2 n
• бинарная диэдральная группа , ⟨2,2, n ⟩, порядок 4 n
• бинарная тетраэдрическая группа , 2T=⟨2,3,3⟩, порядок 24
• бинарная октаэдрическая группа , 2O=⟨2,3,4⟩, порядок 48

Ссылки

• Адем, Алехандро ; Милгрэм, Р. Джеймс (1994), Когомологии конечных групп , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 309, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57025-7, МР  1317096
• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп, 4-е издание . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.6.5 Бинарные полиэдральные группы, стр. 68
• Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах . Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.

Примечания

1. Коксетер и Мозер: Генераторы и соотношения для дискретных групп: <l,m,n>: R ^l = S ^m = T ⁿ = RST
2. Джонс, Гарет А. (2014), «Регулярные рисунки с заданной группой автоморфизмов», в Izquierdo, Milagros; Broughton, S. Allen; Costa, Antonio F.; Rodríguez, Rubí E. (ред.), Римановы и Клейновы поверхности, автоморфизмы, симметрии и пространства модулей: Труды конференции в честь Эмилио Бухаланса по римановским и клейновым поверхностям, симметриям и пространствам модулей, состоявшейся в Университете Линчёпинга, Линчёпинг, 24–28 июня 2013 г. , Contemporary Mathematics, т. 629, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 245–260, arXiv : 1309.5219 , doi :10.1090/conm/629/12568, ISBN 978-1-4704-1093-3, г-н  3289645
3. на GroupNames ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {F} _{5})}$