Биномиальный (полиномиальный)

В математике многочлен с двумя членами

В алгебре бином — это многочлен , представляющий собой сумму двух слагаемых, каждое из которых является мономом . ^[1] Это самый простой вид разреженного многочлена после мономов.

Определение

Бином – это многочлен, который представляет собой сумму двух мономов. Бином от одной неопределенной величины (также известный как одномерный бином) можно записать в виде

${\displaystyle ax^{m}-bx^{n},}$

где a и b — числа , m и n — различные неотрицательные целые числа , а x — символ, который называется неопределенной или , по историческим причинам, переменной . В контексте полиномов Лорана бином Лорана , часто называемый просто биномом , определяется аналогичным образом, но показатели степени m и n могут быть отрицательными.

В более общем смысле бином можно записать ^[2] как:

${\displaystyle a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$

Примеры

${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\displaystyle xy+yx^{2}}$

${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$

${\displaystyle 2x^{3}+7}$

Действия над простыми биномами

• Бином x ² − y ² можно разложить на множители как произведение двух других биномов:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).}$

Это частный случай более общей формулы:

${\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{n-k}.}$

При работе с комплексными числами это также можно расширить до:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}$

• Произведение пары линейных биномов ( ax + b ) и ( cx + d  ) представляет собой трехчлен :

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

• Бином, возведенный в n- ^ю степень , представленный как ( x + y ) ⁿ , может быть расширен с помощью биномиальной теоремы или, что то же самое, с помощью треугольника Паскаля . Например, квадрат ( x + y ) ² бинома ( x + y ) равен сумме квадратов двух членов и удвоенному произведению этих членов, то есть:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

Числа (1, 2, 1), выступающие в качестве множителей для членов этого разложения, представляют собой биномиальные коэффициенты, расположенные на две строки ниже вершины треугольника Паскаля. В разложении n- ^й степени используются числа, расположенные на n строк вниз от вершины треугольника.

• Применением приведенной выше формулы для квадрата бинома является « ( m ,  n ) -формула» для генерации троек Пифагора :

Для m < n пусть a = n ² − m ² , b = 2 mn и c = n ² + m ² ; тогда а ² + б ² знак равно c ² .

• Биномы, являющиеся суммами или разностями кубов , можно разложить на полиномы меньшей степени следующим образом:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}$

Смотрите также

• Завершение площади
• Биномиальное распределение
• Список факториальных и биномиальных тем (содержащий большое количество связанных ссылок)

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Биномиальный». Математический мир .
2. Штурмфельс, Бернд (2002). Решение систем полиномиальных уравнений. Серия региональных конференций CBMS по математике. Том. 97. Американское математическое общество. п. 62. ИСБН 9780821889411.

Рекомендации

• Босток, Л .; Чендлер, С. (1978). Чистая математика 1 . Издательство Оксфордского университета . п. 36. ISBN 0-85950-092-6.