БИО-LGCA

В вычислительной и математической биологии биологический решеточно-газовый клеточный автомат (BIO-LGCA) представляет собой дискретную модель для перемещения и взаимодействия биологических агентов, ^[1] тип клеточного автомата . BIO-LGCA основана на модели решеточно-газового клеточного автомата (LGCA), используемой в динамике жидкостей. Модель BIO-LGCA описывает клетки и другие подвижные биологические агенты как точечные частицы, движущиеся по дискретной решетке, тем самым взаимодействуя с близлежащими частицами. В отличие от классических моделей клеточных автоматов, частицы в BIO-LGCA определяются их положением и скоростью. Это позволяет моделировать и анализировать активные жидкости и коллективную миграцию, опосредованную в первую очередь изменениями импульса, а не плотности. Приложения BIO-LGCA включают инвазию рака ^[2] и прогрессирование рака . ^[3]

Определение модели

Как и все модели клеточных автоматов, модель BIO-LGCA определяется решеткой , пространством состояний , соседством и правилом . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

• Решетка ( ) определяет множество всех возможных положений частиц. Частицы ограничены тем, чтобы занимать только определенные положения, обычно возникающие в результате регулярной и периодической мозаики пространства. Математически это дискретное подмножество -мерного пространства. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$
• Пространство состояний ( ) описывает возможные состояния частиц в каждом узле решетки . В BIO-LGCA несколько частиц с разными скоростями могут занимать один узел решетки, в отличие от классических моделей клеточных автоматов, где обычно только одна ячейка может находиться в каждом узле решетки одновременно. Это делает пространство состояний немного более сложным, чем в классических моделях клеточных автоматов (см. ниже). ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \in {\mathcal {L}}}$
• Соседство ( ) указывает на подмножество узлов решетки, которое определяет динамику данного узла в решетке. Частицы взаимодействуют только с другими частицами в пределах своего соседства. Граничные условия должны быть выбраны для соседств узлов решетки на границе конечных решеток. Соседства и граничные условия определяются идентично тем, что и для обычных клеточных автоматов (см. Клеточный автомат ). ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
• Правило ( ) определяет, как частицы движутся, размножаются или умирают со временем. Как и каждый клеточный автомат, BIO-LGCA развивается дискретными временными шагами. Для моделирования динамики системы правило синхронно применяется к каждому узлу решетки на каждом временном шаге. Применение правила изменяет исходное состояние узла решетки на новое состояние. Правило зависит от состояний узлов решетки в окрестности взаимодействия узла решетки, который необходимо обновить. В BIO-LGCA правило разделено на два шага: шаг вероятностного взаимодействия, за которым следует шаг детерминированного переноса. Шаг взаимодействия имитирует процессы переориентации, рождения и смерти и определяется специально для моделируемого процесса. Шаг переноса перемещает частицы в соседние узлы решетки в направлении их скоростей. Подробности см. ниже. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Государственное пространство

Подструктура узла решетки BIO-LGCA с шестью каналами скорости (соответствующими 2D гексагональной решетке) и одним каналом покоя. В этом случае , , и пропускная способность . Каналы 2, 3, 6 и 7 заняты, таким образом, конфигурация решетки , а число частиц . ${\displaystyle b=6}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle K=7}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =(0,1,1,0,0,1,1)}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} \right)=\sum _{i=1}^{K}s_{i}=4}$

Для явного моделирования скоростей частиц предполагается, что узлы решетки имеют определенную подструктуру. Каждый узел решетки соединен с соседними узлами решетки через векторы, называемые «каналами скорости», , , где число каналов скорости равно числу ближайших соседей и, таким образом, зависит от геометрии решетки ( для одномерной решетки, для двумерной гексагональной решетки и т. д.). В двух измерениях каналы скорости определяются как . Кроме того, может быть определено произвольное число так называемых «каналов покоя», так что , . Говорят, что канал занят, если в узле решетки находится частица со скоростью, равной каналу скорости. Занятость канала обозначается числом занятости . Обычно предполагается, что частицы подчиняются принципу исключения , так что не более одной частицы могут одновременно занимать один канал скорости в узле решетки. В этом случае числа занятости являются булевыми переменными, т. е. , и, таким образом, каждый узел имеет максимальную пропускную способность . Поскольку совокупность всех чисел заполнения каналов определяет число частиц и их скорости в каждом узле решетки, вектор описывает состояние узла решетки, а пространство состояний задается выражением . ${\displaystyle \mathbf {r} \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,b\}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle b=6}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2\pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}=(0,0)}$ ${\displaystyle i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}\in {\mathcal {S}}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle K=a+b}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =\left(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {S}}^{K}}$

Динамика правил и моделей

Состояния каждого узла в решетке обновляются синхронно в дискретных временных шагах для моделирования динамики модели. Правило разделено на два шага. Вероятностный шаг взаимодействия моделирует взаимодействие частиц, в то время как детерминированный шаг переноса моделирует движение частиц.

Шаг взаимодействия

В зависимости от конкретного приложения этап взаимодействия может состоять из операторов реакции и/или переориентации.

Оператор реакции заменяет состояние узла новым состоянием , следующим за вероятностью перехода , которая зависит от состояния соседних узлов решетки, чтобы моделировать влияние соседних частиц на реактивный процесс. Оператор реакции не сохраняет число частиц, что позволяет моделировать рождение и смерть особей. Вероятность перехода оператора реакции обычно определяется ad hoc из феноменологических наблюдений. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{\mathcal {N}}}$

Оператор переориентации также заменяет состояние новым состоянием с вероятностью . Однако этот оператор сохраняет число частиц и, следовательно, моделирует только изменения скорости частиц путем перераспределения частиц между скоростными каналами. Вероятность перехода для этого оператора может быть определена из статистических наблюдений (используя принцип максимального калибра ) или из известной динамики одной частицы (используя дискретизированное стационарное угловое распределение вероятностей, заданное уравнением Фоккера-Планка, связанным с уравнением Ланжевена , описывающим динамику переориентации), ^{[5] [6]} и обычно принимает вид, где — константа нормировки (также известная как функция распределения ), — энергоподобная функция, которую частицы, вероятно, будут минимизировать при изменении направления своего движения, — свободный параметр, обратно пропорциональный случайности переориентации частиц (аналогично обратной температуре в термодинамике), и — дельта Кронекера , которая гарантирует, что число частиц до и после переориентации остается неизменным. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} \right)}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$

Форма состояния, полученная в результате применения оператора реакции и переориентации, известна как конфигурация после взаимодействия и обозначается как . ${\displaystyle \mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}}$

Динамика модели BIO-LGCA. На каждом шаге времени числа заполнения изменяются стохастически операторами реакции и/или переориентации во всех узлах решетки одновременно во время шага взаимодействия. Затем частицы детерминированно перемещаются в тот же канал скорости на соседнем узле в направлении своего канала скорости во время шага переноса. Цвета на эскизе используются для отслеживания динамики частиц отдельных узлов. Этот эскиз предполагает правило сохранения частиц (отсутствие оператора реакции).

Транспортная ступенька

После шага взаимодействия детерминированный шаг переноса применяется синхронно ко всем узлам решетки. Шаг переноса имитирует движение агентов в соответствии с их скоростью, обусловленное самодвижением живых организмов.

На этом этапе числа заполнения состояний после взаимодействия будут определены как новые состояния заполнения того же канала соседнего узла решетки в направлении канала скорости, т.е. . ${\displaystyle s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} )}$

Новый временной шаг начинается, когда произошли оба этапа взаимодействия и транспорта. Таким образом, динамика BIO-LGCA может быть суммирована как стохастическое конечно-разностное микродинамическое уравнение $${\displaystyle s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i},k+1)=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)}$$

Пример динамики взаимодействия

Гексагональная модель BIO-LGCA полярного роения. В этой модели клетки предпочтительно изменяют свои скорости так, чтобы они были параллельны импульсу соседства. Узлы решетки окрашены в соответствии с их ориентацией, следуя цветовому кругу . Пустые участки имеют белый цвет. Использовались периодические граничные условия.

Вероятность перехода для оператора реакции и/или переориентации должна быть определена для надлежащего моделирования моделируемой системы. Некоторые элементарные взаимодействия и соответствующие вероятности перехода перечислены ниже.

Случайное блуждание

При отсутствии внешних или внутренних стимулов клетки могут двигаться хаотично, без каких-либо предпочтений в направлении. В этом случае оператор переориентации может быть определен через вероятность перехода $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s} ),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}{Z}}}$$

Гексагональная модель BIO-LGCA возбудимых сред. В этой модели оператор реакции благоприятствует быстрому размножению частиц в каналах скорости и медленной гибели частиц в каналах покоя. Частицы в каналах покоя подавляют размножение частиц в каналах скорости. Оператор переориентации — это оператор случайного блуждания в тексте. Узлы решетки ярко окрашены, чем больше подвижных частиц присутствует. Покоящиеся частицы не показаны. Использовались периодические граничные условия.

где . Такая вероятность перехода позволяет выбрать любую конфигурацию после переориентации с тем же числом частиц, что и в конфигурации до переориентации , единообразно . ${\displaystyle Z=\sum _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$

Простой процесс рождения и смерти

Если организмы размножаются и умирают независимо от других особей (за исключением конечной грузоподъемности), то можно смоделировать простой процесс рождения/смерти ^[3] с вероятностью перехода, заданной выражением, где , — постоянные вероятности рождения и смерти соответственно, — дельта Кронекера, которая гарантирует, что на каждом шаге времени происходит только одно событие рождения/смерти, а — функция Хевисайда , которая гарантирует, что число частиц положительно и ограничено грузоподъемностью . $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]}$$ ${\displaystyle r_{b},r_{d}\in [0,1]}$ ${\displaystyle r_{b}+r_{d}\leq 1}$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ ${\displaystyle \Theta (x)}$ ${\displaystyle K}$

Квадратная модель BIO-LGCA клеток, взаимодействующих адгезивно. Клетки преимущественно движутся в направлении градиента плотности клеток. Участки решетки окрашены в более темные синие цвета с увеличением плотности клеток. Пустые узлы окрашены в белый цвет. Используются периодические граничные условия.

Адгезивные взаимодействия

Клетки могут прилипать друг к другу с помощью молекул кадгерина на поверхности клетки. Взаимодействия кадгерина позволяют клеткам образовывать агрегаты. Формирование клеточных агрегатов посредством адгезивных биомолекул можно смоделировать ^[7] с помощью оператора переориентации с вероятностями перехода, определяемыми как $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]}$$

Квадратная модель BIO-LGCA клеток, косвенно взаимодействующих хемотаксически . В этой модели клетки производят диффундирующий хемоаттрактант с определенным периодом полураспада . Клетки преимущественно движутся в направлении градиента хемоаттрактанта. Участки решетки аддитивно окрашены в более темный синий оттенок с увеличением плотности клеток и в более темный желтый оттенок с увеличением концентрации хемоаттрактанта. Пустые участки решетки окрашены в белый цвет. Использовались периодические граничные условия.

где — вектор, указывающий в направлении максимальной плотности клеток, определяемый как , где — конфигурация узла решетки в окрестности , а — импульс конфигурации после переориентации, определяемый как . Эта вероятность перехода благоприятствует конфигурациям после переориентации с клетками, движущимися в направлении градиента плотности клеток. ${\displaystyle \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\mathbf {c} _{j}}$

Математический анализ

Поскольку точная обработка стохастической агентной модели быстро становится невозможной из-за корреляций высокого порядка между всеми агентами, ^[8] общий метод анализа модели BIO-LGCA заключается в ее преобразовании в приближенное детерминированное конечно-разностное уравнение (FDE), описывающее среднюю динамику популяции, а затем в выполнении математического анализа этой приближенной модели и сравнении результатов с исходной моделью BIO-LGCA.

Во-первых, ожидаемое значение микродинамического уравнения получается , где обозначает ожидаемое значение , и является ожидаемым значением -го числа заполнения канала узла решетки в момент времени . Однако член справа является сильно нелинейным по числам заполнения как узла решетки, так и узлов решетки в пределах окрестности взаимодействия из-за формы вероятности перехода и статистики размещения частиц в каналах скорости (например, возникающей из принципа исключения, наложенного на заполнения каналов). Эта нелинейность приведет к корреляциям высокого порядка и моментам среди всех задействованных заполнений каналов. Вместо этого обычно предполагается приближение среднего поля, в котором все корреляции и моменты высокого порядка игнорируются, так что прямые взаимодействия частица-частица заменяются взаимодействиями с соответствующими ожидаемыми значениями. Другими словами, если являются случайными величинами, а является функцией, то в этом приближении. Таким образом, мы можем упростить уравнение до , где является нелинейной функцией ожидаемой конфигурации узла решетки и ожидаемой конфигурации соседства, зависящей от вероятностей перехода и статистики частиц в узле. ${\displaystyle s_{m}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$$ ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left(\left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)}$

Из этого нелинейного FDE можно выделить несколько однородных стационарных состояний или констант, независимых от и , которые являются решениями FDE. Для изучения условий устойчивости этих стационарных состояний и потенциала формирования паттернов модели можно выполнить линейный анализ устойчивости . Для этого нелинейное FDE линеаризуется следующим образом: где обозначает однородное стационарное состояние , и предполагалась окрестность фон Неймана . Чтобы привести его к более привычному уравнению конечных разностей только с временными приращениями, можно применить дискретное преобразование Фурье к обеим сторонам уравнения. После применения теоремы о сдвиге и выделения члена с временным приращением слева получается уравнение решетки Больцмана ^[4] , где — мнимая единица , — размер решетки вдоль одного измерения, — волновое число Фурье , а обозначает дискретное преобразование Фурье. В матричной записи это уравнение упрощается до , где матрица называется пропагатором Больцмана и определяется как Собственные значения пропагатора Больцмана определяют свойства устойчивости стационарного состояния: ^[4] ${\displaystyle {\bar {f}}_{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\sum _{j=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)+\sum _{j=1}^{K}\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}$$ ${\displaystyle \mathrm {ss} }$ ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}}$ $${\displaystyle {\hat {f}}_{m}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\sum _{j=1}^{K}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\hat {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}}$$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}}$ ${\displaystyle {\hat {\cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle \Gamma _{m,j}=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right].}$$ ${\displaystyle \lambda \left(\mathbf {q} \right)}$

• Если , где обозначает модуль , то возмущения с волновым числом растут со временем. Если , и , то возмущения с волновым числом будут доминировать и будут наблюдаться закономерности с четкой длиной волны . В противном случае стационарное состояние устойчиво и любые возмущения будут затухать. ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|>1}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|>1}$ ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|\geq \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|\forall \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {max} }}$
• Если , где обозначает аргумент , то возмущения переносятся и наблюдается нестационарное поведение популяции. В противном случае популяция будет казаться статичной на макроскопическом уровне. ${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\right)\right]\neq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {arg} (\cdot )}$

Приложения

Построение BIO-LGCA для изучения биологических явлений в основном включает определение соответствующих вероятностей перехода для оператора взаимодействия, хотя точные определения пространства состояний (например, для рассмотрения нескольких клеточных фенотипов ), граничных условий (для моделирования явлений в ограниченных условиях), соседства (для количественного соответствия экспериментальным диапазонам взаимодействия) и пропускной способности (для моделирования эффектов скученности для заданных размеров клеток) могут быть важны для конкретных приложений. В то время как распределение оператора переориентации может быть получено с помощью вышеупомянутых статистических и биофизических методов, распределение операторов реакции может быть оценено, например, из статистики экспериментов in vitro . ^[9]

Модели BIO-LGCA использовались для изучения нескольких клеточных, биофизических и медицинских явлений. Вот некоторые примеры:

• Ангиогенез : ^[10] эксперимент in vitro с эндотелиальными клетками и наблюдаемые результаты моделирования BIO-LGCA были сравнены для определения процессов, вовлеченных в ангиогенез, и их веса. Они обнаружили, что адгезия, выравнивание, контактное руководство и ремоделирование ECM участвуют в ангиогенезе, в то время как дальние взаимодействия не являются жизненно важными для этого процесса.
• Активные жидкости : ^[11] макроскопические физические свойства популяции частиц, взаимодействующих посредством взаимодействий полярного выравнивания, были исследованы с использованием модели BIO-LGCA. Было обнаружено, что увеличение начальной плотности частиц и силы взаимодействия приводит к фазовому переходу второго рода из однородного, неупорядоченного состояния в упорядоченное, структурированное, движущееся состояние.
• Эпидемиология : ^[12] пространственная модель SIR BIO-LGCA использовалась для изучения эффекта различных стратегий вакцинации и эффекта аппроксимации пространственной эпидемии с помощью непространственной модели. Они обнаружили, что стратегии вакцинации барьерного типа намного эффективнее стратегий вакцинации с пространственной однородностью. Кроме того, они обнаружили, что непространственные модели значительно переоценивают скорость заражения.
• Клеточное застревание : ^[13] модели in vitro и Bio-LGCA использовались для изучения метастатического поведения при раке груди. Модель BIO-LGCA показала, что метастазы могут проявлять различное поведение, например, случайное газоподобное, застрявшее твердое состояние и коррелированное жидкоподобное состояние, в зависимости от уровня адгезии среди клеток, плотности ECM и взаимодействий между клетками и ECM.

Ссылки

1. Deutsch, Andreas; Nava-Sedeño, Josué Manik; Syga, Simon; Hatzikirou, Haralampos (2021-06-15). "BIO-LGCA: класс моделирования клеточного автомата для анализа коллективной миграции клеток". PLOS Computational Biology . 17 (6): e1009066. Bibcode : 2021PLSCB..17E9066D. doi : 10.1371/journal.pcbi.1009066 . ISSN  1553-7358. PMC 8232544.  PMID 34129639  .
2. Рехер, Дэвид; Клинк, Барбара; Дойч, Андреас; Фосс-Бёме, Аня (2017-08-11). «Гетерогенность клеточной адгезии усиливает распространение опухолевых клеток: новые идеи из математической модели». Biology Direct . 12 (1): 18. doi : 10.1186/s13062-017-0188-z . ISSN  1745-6150. PMC 5553611. PMID  28800767 . 
3. Böttger, Katrin; Hatzikirou, Haralambos; Voss-Böhme, Anja; Cavalcanti-Adam, Elisabetta Ada; Herrero, Miguel A.; Deutsch, Andreas (2015-09-03). Alber, Mark S (ред.). "Возникающий эффект Аллея имеет решающее значение для возникновения и сохранения опухоли". PLOS Computational Biology . 11 (9): e1004366. Bibcode : 2015PLSCB..11E4366B. doi : 10.1371/journal.pcbi.1004366 . ISSN  1553-7358. PMC 4559422. PMID  26335202 . 
4. "Математическое моделирование формирования биологических паттернов", Клеточное автоматическое моделирование формирования биологических паттернов , Моделирование и имитация в науке, технике и технологиях, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 45–56, 2005, doi :10.1007/0-8176-4415-6_3, ISBN 978-0-8176-4281-5, получено 2021-05-25
5. Nava-Sedeño, JM; Hatzikirou, H.; Peruani, F.; Deutsch, A. (2017-02-27). «Извлечение правил клеточного автомата из физических моделей уравнения Ланжевена для миграции отдельных и коллективных клеток». Журнал математической биологии . 75 (5): 1075–1100. doi :10.1007/s00285-017-1106-9. ISSN  0303-6812. PMID  28243720. S2CID  32456636.
6. Nava-Sedeño, JM; Hatzikirou, H.; Klages, R.; Deutsch, A. (2017-12-05). "Модели клеточных автоматов для коррелированных по времени случайных блужданий: вывод и анализ". Scientific Reports . 7 (1): 16952. arXiv : 1802.04201 . Bibcode :2017NatSR...716952N. doi :10.1038/s41598-017-17317-x. ISSN  2045-2322. PMC 5717221 . PMID  29209065. 
7. Буссемейкер, Хармен Дж. (1996-02-01). «Анализ автомата решеточного газа, формирующего шаблон: теория среднего поля и далее». Physical Review E. 53 ( 2): 1644–1661. Bibcode : 1996PhRvE..53.1644B. ​​doi : 10.1103/physreve.53.1644. ISSN  1063-651X. PMID  9964425.
8. Оваскайнен, Отсо; Сомервуо, Пану; Финкельштейн, Дмитрий (28.10.2020). «Общий математический метод прогнозирования пространственно-временных корреляций, возникающих из моделей на основе агентов». Журнал интерфейса Королевского общества . 17 (171): 20200655. doi :10.1098/rsif.2020.0655. PMC 7653394. PMID  33109018 . 
9. Дирксе, Энн; Голебиевска, Анна; Будер, Томас; Назаров, Петр В.; Мюллер, Арно; Пуватингал, Суреш; Бронс, Николас ХК; Лейте, Соня; Соважо, Николас; Саркисян, Джемма; Сейфрид, Матье (16.04.2019). «Гетерогенность глиобластомы, связанная со стволовыми клетками, является результатом внутренней пластичности опухоли, сформированной микроокружением». Nature Communications . 10 (1): 1787. Bibcode :2019NatCo..10.1787D. doi :10.1038/s41467-019-09853-z. ISSN  2041-1723. PMC 6467886 . PMID  30992437. 
10. Mente, Carsten; Prade, Ina; Brusch, Lutz; Breier, Georg; Deutsch, Andreas (2010-10-01). «Оценка параметров с помощью нового метода оптимизации на основе градиента для биологических моделей клеточных автоматов на основе решеточного газа». Journal of Mathematical Biology . 63 (1): 173–200. doi :10.1007/s00285-010-0366-4. ISSN  0303-6812. PMID  20886214. S2CID  12404555.
11. Буссемейкер, Хармен Дж.; Дойч, Андреас; Гейгант, Эдит (1997-06-30). «Анализ среднего поля динамического фазового перехода в модели клеточного автомата для коллективного движения». Physical Review Letters . 78 (26): 5018–5021. arXiv : physics/9706008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.5018B. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.5018. ISSN  0031-9007. S2CID  45979152.
12. Фукс, Генрик; Лавничак, Анна Т. (2001). «Индивидуальная решетчатая модель для пространственного распространения эпидемий». Дискретная динамика в природе и обществе . 6 (3): 191–200. doi : 10.1155/s1026022601000206 . hdl : 1807/82157 .
13. Ильина, Ольга; Гриценко, Павел Г.; Сыга, Саймон; Липпольдт, Юрген; Ла Порта, Катерина AM; Чепижко, Александр; Гроссер, Штеффен; Вуллингс, Манон; Баккер, Герт-Ян; Старрусс, Йорн; Булт, Питер (2020-08-24). «Адгезия клеток и ограничение трехмерной матрицы определяют переходы застревания при инвазии рака молочной железы». Nature Cell Biology . 22 (9): 1103–1115. doi :10.1038/s41556-020-0552-6. ISSN  1476-4679. PMC 7502685 . PMID  32839548. 

Внешние ссылки

• Симулятор Bio-LGCA — онлайн-симулятор с элементарными взаимодействиями и персонализируемыми значениями параметров.
• Пакет Python BIO-LGCA — пакет Python с открытым исходным кодом для реализации моделирования модели BIO-LGCA.