Биполярные координаты

Двумерная ортогональная система координат, основанная на окружностях Аполлона

Биполярная система координат

Биполярные координаты — это двумерная ортогональная система координат, основанная на окружностях Аполлона . ^[1] Существует также третья система, основанная на двух полюсах ( двуугольные координаты ).

Термин «биполярный» также иногда используется для описания других кривых, имеющих две особые точки (фокусы), таких как эллипсы , гиперболы и овалы Кассини . Однако термин «биполярные координаты » зарезервирован для координат, описанных здесь, и никогда не используется для систем, связанных с этими другими кривыми, такими как эллиптические координаты .

Геометрическая интерпретация биполярных координат. Угол σ образован двумя фокусами и точкой P , тогда как τ — логарифм отношения расстояний до фокусов. Соответствующие окружности постоянных σ и τ показаны красным и синим цветом соответственно и пересекаются под прямым углом (пурпурный прямоугольник); они ортогональны.

Определение

Система основана на двух фокусах F ₁ и F ₂ . Ссылаясь на рисунок справа, σ -координата точки P равна углу F ₁  P  F ₂ , а τ -координата равна натуральному логарифму отношения расстояний d ₁ и d ₂ :

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

Если в декартовой системе координат фокусы лежат в точках (− a , 0) и ( a , 0), то координаты точки P будут

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Координата τ изменяется от (для точек, близких к F ₁ ) до (для точек, близких к F ₂ ). Координата σ определяется только по модулю 2π , и лучше всего ее рассматривать в диапазоне от -π до π , принимая ее за отрицательное значение острого угла F ₁ P F _{2 ,} если P находится в нижней полуплоскости. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$  

Доказательство того, что система координат ортогональна

Уравнения для x и y можно объединить, чтобы получить

${\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)}$^{[2] [3]}

или

${\displaystyle x+iy=a\coth \left({\frac {\tau -i\sigma }{2}}\right).}$

Это уравнение показывает, что σ и τ являются действительной и мнимой частями аналитической функции x+iy (с логарифмическими точками ветвления в фокусах), что в свою очередь доказывает (при обращении к общей теории конформного отображения ) ( уравнения Коши-Римана ), что эти конкретные кривые σ и τ пересекаются под прямым углом, т. е. это ортогональная система координат .

Кривые постояннойσиτ

Кривые постоянной σ соответствуют неконцентрическим окружностям

которые пересекаются в двух фокусах. Центры окружностей с постоянным σ лежат на оси y в точке с радиусом . Окружности с положительным σ центрированы над осью x , тогда как окружности с отрицательным σ лежат под осью. По мере уменьшения величины | σ |- π /2 радиус окружностей уменьшается, а центр приближается к началу координат (0, 0), что достигается при | σ | = π /2. (Из элементарной геометрии все треугольники на окружности с 2 вершинами на противоположных концах диаметра являются прямоугольными треугольниками.) ${\displaystyle a\cot \sigma }$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sin \sigma }}}$

Кривые константы представляют собой непересекающиеся окружности разных радиусов. ${\displaystyle \tau }$

которые окружают фокусы, но снова не являются концентрическими. Центры окружностей с постоянным τ лежат на оси x при радиусе . Окружности с положительным τ лежат в правой части плоскости ( x  > 0), тогда как окружности с отрицательным τ лежат в левой части плоскости ( x  < 0). Кривая τ  = 0 соответствует оси y ( x  = 0). По мере увеличения величины τ радиус окружностей уменьшается, а их центры приближаются к фокусам. ${\displaystyle a\coth \tau }$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sinh \tau }}}$

Обратные отношения

Переход от декартовых координат к биполярным можно осуществить по следующим формулам:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}$

и

${\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}$

Координаты также имеют тождества:

${\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}$

и

${\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}},}$

которые можно получить, решив уравнения (1) и (2) для и , соответственно. ${\displaystyle \cot \sigma }$ ${\displaystyle \coth \tau }$

Масштабные факторы

Чтобы получить масштабные коэффициенты для биполярных координат, мы берем дифференциал уравнения для , что дает ${\displaystyle x+iy}$

${\displaystyle dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau ){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).}$

Умножение этого уравнения на его комплексно-сопряженное уравнение дает

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Используя тригонометрические тождества для произведений синусов и косинусов, получаем

${\displaystyle 2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,}$

из чего следует, что

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Следовательно, масштабные коэффициенты для σ и τ равны и определяются как

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Многие результаты теперь быстро вытекают из общих формул для ортогональных координат . Таким образом, бесконечно малый элемент площади равен

${\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau ,}$

а Лапласиан определяется как

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

Выражения для , и могут быть получены путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Приложения

Классические применения биполярных координат — решение уравнений в частных производных , например, уравнения Лапласа или уравнения Гельмгольца , для которых биполярные координаты допускают разделение переменных . Примером может служить электрическое поле, окружающее два параллельных цилиндрических проводника с неравными диаметрами.

Расширение до 3-х измерений

Биполярные координаты составляют основу нескольких наборов трехмерных ортогональных координат .

• Биполярные цилиндрические координаты получаются путем переноса биполярных координат вдоль оси z , т.е. оси, лежащей вне плоскости.

• Бисферические координаты получаются путем вращения биполярных координат вокруг оси x , т. е. оси, соединяющей фокусы.

• Тороидальные координаты получаются путем вращения биполярных координат вокруг оси y , т. е. оси, разделяющей фокусы.

Смотрите также

• Эллиптическая система координат

Внешние ссылки

• Интерактивная демонстрация с desmos https://www.desmos.com/calculator/nbvnucu4o5

Ссылки

1. Эрик В. Вайсштейн, Краткая энциклопедия математики CD-ROM , Биполярные координаты , CD-ROM издание 1.0, 20 мая 1999 г. "Биполярные координаты". Архивировано из оригинала 12 декабря 2007 г. Получено 9 декабря 2006 г.
2. Полянин, Андрей Дмитриевич (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых. CRC Press. С. 476. ISBN 1-58488-299-9.
3. Хаппель, Джон; Бреннер, Говард (1983). Гидродинамика при малых числах Рейнольдса: со специальными приложениями к твердым частицам. Механика жидкостей и процессы переноса. Т. 1. Springer. С. 497. ISBN 978-90-247-2877-0.

• «Биполярные координаты», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Корн ГА и Корн ТМ . (1961) Математический справочник для ученых и инженеров , McGraw-Hill.