Механико-электрические аналогии представляют собой представление механических систем в виде электрических сетей . Сначала такие аналогии использовались наоборот, чтобы объяснить электрические явления в знакомых механических терминах. Джеймс Клерк Максвелл ввел аналогии такого рода в XIX веке. Однако по мере развития анализа электрических сетей было обнаружено, что некоторые механические проблемы можно легче решить с помощью электрической аналогии . Теоретические разработки в области электротехники [примечание 1] , которые были особенно полезны, заключались в представлении электрической сети в виде абстрактной топологической диаграммы ( схемы цепей ) с использованием модели сосредоточенных элементов и способности сетевого анализа синтезировать сеть для удовлетворения заданных требований. частотная функция .
Этот подход особенно полезен при разработке механических фильтров — в них используются механические устройства для реализации электрической функции. Однако этот метод можно использовать для решения чисто механических задач, а также распространить на другие, несвязанные области энергетики. В настоящее время анализ по аналогии является стандартным инструментом проектирования, когда речь идет более чем об одной области энергетики. Его главное преимущество состоит в том, что вся система может быть представлена единым и последовательным образом. Электрические аналогии особенно используются разработчиками преобразователей , поскольку по своей природе они пересекают энергетические области, а также в системах управления , чьи датчики и исполнительные механизмы обычно представляют собой преобразователи, пересекающие области. Данная система, представленная электрической аналогией, предположительно может вообще не иметь электрических частей. По этой причине при разработке сетевых диаграмм для систем управления предпочтительна терминология, нейтральная к предметной области.
Механико-электрические аналогии разрабатываются путем поиска связей между переменными в одной области, которые имеют математическую форму, идентичную переменным в другой области. Не существует единого уникального способа сделать это; Теоретически возможны многочисленные аналогии, но широко используются две аналогии: аналогия импеданса и аналогия подвижности . Аналогия с импедансом делает аналогией силу и напряжение, тогда как аналогия с подвижностью делает аналогией силу и ток. Само по себе этого недостаточно, чтобы полностью определить аналогию, необходимо выбрать вторую переменную. Обычным выбором является сделать пары степенно- сопряженных переменных аналогичными. Это переменные, которые при умножении вместе имеют единицы мощности. Например, в аналогии с импедансом это приводит к тому, что сила и скорость аналогичны напряжению и току соответственно.
Вариации этих аналогий используются для вращающихся механических систем, например, в электродвигателях . В аналогии с импедансом вместо силы крутящий момент рассматривается как аналог напряжения. Вполне возможно, что обе версии аналогии необходимы, скажем, в системе, включающей вращающиеся и возвратно- поступательные части, и в этом случае требуется аналогия сила-момент в механической области, а аналогия сила-момент-напряжение - в электрической области. домен. Для акустических систем требуется другой вариант; здесь давление и напряжение приводятся аналогичными (аналогия импеданса). В аналогии с импедансом отношение сопряженных переменных мощности всегда является величиной, аналогичной электрическому импедансу . Например, сила/скорость — это механический импеданс . Аналогия с мобильностью не сохраняет эту аналогию между импедансами в разных областях, но у нее есть еще одно преимущество перед аналогией с импедансом. В аналогии с мобильностью топология сетей сохраняется, схема механической сети имеет ту же топологию, что и аналогичная схема электрической сети.
Механико-электрические аналогии используются для представления функции механической системы как эквивалентной электрической системы путем проведения аналогий между механическими и электрическими параметрами. Так можно представить механическую систему саму по себе, но аналогии наиболее полезны в электромеханических системах , где существует связь между механической и электрической частями. Аналогии особенно полезны при анализе механических фильтров . Это фильтры, состоящие из механических частей, но предназначенные для работы в электрической цепи через преобразователи . Теория цепей хорошо развита в области электротехники в целом и, в частности, существует множество доступных теорий фильтров. Механические системы могут использовать эту электрическую теорию в механических конструкциях посредством механо-электрической аналогии. [1]
Механико-электрические аналогии полезны в целом, когда система включает преобразователи между различными энергетическими областями. [примечание 1] Другая область применения — механические части акустических систем , такие как звукосниматели и тонармы проигрывателей . Это имело определенное значение в ранних фонографах, где звук передавался от иглы звукоснимателя к рупору через различные механические компоненты совершенно без электрического усиления. Ранние фонографы сильно страдали от нежелательных резонансов в механических частях. Было обнаружено, что их можно устранить, рассматривая механические части как компоненты фильтра нижних частот , который выравнивает полосу пропускания . [2]
Электрические аналогии механических систем можно использовать просто как учебное пособие, помогающее понять поведение механической системы. Раньше, примерно до начала 20 века, более вероятно использовалась обратная аналогия; механические аналогии были сформированы из тогда еще малопонятных электрических явлений. [3]
Электрические системы обычно описываются с помощью принципиальной схемы . Это сетевые диаграммы, описывающие топологию электрической системы с использованием специализированной графовой записи. Принципиальная схема не пытается отобразить истинные физические размеры электрических компонентов или их фактическое пространственное соотношение друг с другом. Это возможно, поскольку электрические компоненты представлены как идеальные элементы с сосредоточенными параметрами, то есть элемент рассматривается так, как если бы он занимал одну точку (сосредоточенный в этой точке). Неидеальные компоненты могут быть включены в эту модель, используя более одного элемента для представления компонента. Например, катушка , предназначенная для использования в качестве индуктора, имеет не только индуктивность , но и сопротивление . На принципиальной схеме это можно представить как резистор, включенный последовательно с катушкой индуктивности. [4] Таким образом, первым шагом в формировании аналогии механической системы является описание ее как механической сети аналогичным образом, то есть как топологического графа идеальных элементов. [5] В качестве альтернативы возможны более абстрактные представления принципиальной схемы, например граф связей . [6]
В схеме электрической сети, ограниченной линейными системами , есть три пассивных элемента: сопротивление, индуктивность и емкость ; и два активных элемента: генератор напряжения и генератор тока . [примечание 2] Механические аналоги этих элементов можно использовать для построения механической сетевой диаграммы. Какими будут механические аналоги этих элементов, зависит от того, какие переменные выбраны в качестве фундаментальных переменных. Существует широкий выбор переменных, которые можно использовать, но чаще всего используются степенно- сопряженные пары переменных (описанные ниже) и пара гамильтоновых переменных, полученных из них. [7]
Существует предел применимости этой модели сосредоточенных элементов . Модель работает хорошо, если компоненты настолько малы, что время, необходимое волне для их пересечения, незначительно, или, что то же самое, если нет значительной разности фаз волны по обе стороны от компонента. То, что является существенным, зависит от того, насколько точной должна быть модель, но общее практическое правило состоит в том, чтобы компоненты были меньше одной шестнадцатой длины волны . [8] Поскольку длина волны уменьшается с частотой, это накладывает верхний предел частоты, которую можно охватить в конструкции такого типа. Этот предел в механической области намного ниже, чем эквивалентный предел в электрической области. Это связано с тем, что гораздо более высокие скорости распространения в электрической области приводят к более длинным длинам волн (механические вибрации в стали распространяются со скоростью около 6000 м/с, [9] электромагнитные волны в кабелях обычных типов распространяются со скоростью около 2 x 10 8 м/с [10] ] ). Например, традиционные механические фильтры производятся только для частот примерно до 600 кГц [11] (хотя устройства MEMS могут работать и на гораздо более высоких частотах из-за их очень небольшого размера). С другой стороны, в электрической области переход от модели сосредоточенных элементов к модели распределенных элементов происходит в области сотен мегагерц. [12]
В некоторых случаях можно продолжать использовать топологическую схему сети, даже если присутствуют компоненты, требующие анализа распределенных элементов. В электрической области линия передачи , основной компонент распределенного элемента, может быть включена в модель с введением дополнительного элемента электрической длины . [13] Линия передачи представляет собой особый случай, поскольку она инвариантна по всей длине и, следовательно, нет необходимости моделировать полную геометрию. [14] Другой способ работы с распределенными элементами — использовать анализ методом конечных элементов , при котором распределенный элемент аппроксимируется большим количеством небольших элементов с сосредоточенными параметрами. Именно такой подход был использован в одной работе для моделирования улитки человеческого уха. [15] Еще одним условием, требуемым от электрических систем для применения модели сосредоточенных элементов, является то, что вне компонента не существует значительных полей , поскольку они могут связываться с другими несвязанными компонентами. [16] Однако эти эффекты часто можно смоделировать, вводя некоторые виртуальные сосредоточенные элементы, называемые паразитами или паразитами . [17] Аналогом этого в механических системах является вибрация одного компонента, связанного с другим компонентом. [18]
Сопряженные по степени переменные — это пара переменных, произведением которых является степень. В электрической области выбранными сопряженными переменными мощности неизменно являются напряжение ( v ) и ток ( i ). Таким образом, степенные сопряженные переменные в механической области являются аналогами. Однако этого недостаточно, чтобы сделать выбор механических фундаментальных переменных уникальным. Обычным выбором для поступательной механической системы является сила ( F ) и скорость ( u ), но это не единственный выбор. Другая пара может быть более подходящей для системы с другой геометрией, например, для системы вращения. [19]
Даже после того, как механические фундаментальные переменные были выбраны, уникального набора аналогов все еще не существует. Есть два способа, которыми две пары степенных сопряженных переменных могут быть связаны друг с другом в аналогии. Например, можно создать ассоциации F с v и u с i . Однако возможны и альтернативные ассоциации u с v и F с i . Это приводит к двум классам аналогий: аналогии импеданса и аналогии подвижности. [20] Эти аналогии являются двойственными друг другу. Одна и та же механическая сеть имеет аналоги в двух разных электрических сетях. Эти две электрические сети представляют собой двойные цепи друг друга. [21]
Гамильтоновы переменные, также называемые энергетическими переменными, — это те переменные r = ( q , p ) , которые являются сопряженными согласно уравнениям Гамильтона : [22]
Кроме того, производные по времени гамильтоновых переменных являются степенными сопряженными переменными.
Гамильтоновыми переменными в электрической области являются заряд ( q ) и потокосцепление (λ), потому что
В области поступательной механики гамильтоновыми переменными являются смещение расстояния ( x ) и импульс ( p ), потому что
Соответствующая связь имеется и для других аналогий и наборов переменных. [23] Гамильтоновы переменные также называются энергетическими переменными. Подынтегральное выражение степенной сопряженной переменной по отношению к гамильтоновой переменной является мерой энергии. Например,
оба являются выражением энергии. Их также можно назвать обобщенным импульсом и обобщенным смещением по аналогии с их аналогами в механической области. Некоторые авторы не одобряют эту терминологию, поскольку она не является нейтральной для предметной области. Аналогично, использование терминов I-тип и V-тип (после тока и напряжения) также не рекомендуется. [24]
Существует два основных класса аналогий. Аналогия импеданса (также называемая аналогией Максвелла) сохраняет аналогию между механическим, акустическим и электрическим импедансом, но не сохраняет топологию сетей. Механическая сеть устроена иначе, чем аналогичная электрическая сеть. Аналогия мобильности (также называемая аналогией Файерстоуна) сохраняет топологию сети за счет потери аналогии между импедансами в разных энергетических областях. Существует также сквозная аналогия, также называемая аналогией Трента. Сквозная аналогия между электрической и механической областью такая же, как и в аналогии с подвижностью. Однако аналогия между электрической и акустической областями подобна аналогии с импедансом. Аналогии между механической и акустической сферами в сквозной аналогии имеют двойную связь как с аналогией импеданса, так и с аналогией подвижности. [25]
Для систем механического перемещения и вращения выбраны разные фундаментальные переменные, что приводит к двум вариантам для каждой аналогии. Например, линейное расстояние является переменной смещения в поступательной системе, но это не очень подходит для вращающихся систем, где вместо этого используется угол . В качестве третьего варианта в описания также включены акустические аналогии. Хотя акустическая энергия в конечном итоге имеет механическую природу, в литературе она рассматривается как пример другой энергетической области, области жидкости, и имеет другие фундаментальные переменные. Аналогии между всеми тремя областями — электрической, механической и акустической — необходимы для полного представления электромеханических аудиосистем. [26]
Аналогии импеданса, также называемые аналогией Максвелла, классифицируют две переменные, составляющие сопряженную пару мощности, как переменную усилия и переменную потока . Переменная усилия в энергетической области является переменной, аналогичной силе в механической области. Переменная потока в энергетической области является переменной, аналогичной скорости в механической области. В аналоговой области выбираются степенные сопряженные переменные, имеющие некоторое сходство с силой и скоростью. [27]
В электрической области переменная усилия — это напряжение, а переменная потока — электрический ток. Отношение напряжения к току есть электрическое сопротивление ( закон Ома ). Отношение переменной усилия к переменной потока в других областях также описывается как сопротивление. Колебательные напряжения и токи порождают концепцию электрического импеданса , когда между ними существует разность фаз. Импеданс можно рассматривать как расширение понятия сопротивления. Сопротивление связано с рассеиванием энергии. Импеданс включает в себя накопление энергии, а также ее рассеивание.
Аналогия с импедансом порождает концепцию импеданса в других энергетических областях (но измеряется в других единицах). [28] Аналогия с поступательным импедансом описывает механические системы, движущиеся в одном линейном измерении, и порождает идею механического импеданса . Единицей механического сопротивления является механический ом; в единицах СИ это Нс/м или кг/с. [29] Аналогия с вращательным импедансом описывает вращающиеся механические системы и порождает идею вращательного импеданса. Единица вращательного импеданса в системе СИ — Нмс/рад. [30] Аналогия с акустическим импедансом порождает идею акустического импеданса . Единицей акустического сопротивления является акустический ом ; в единицах СИ это Нс/м 5 . [31]
Аналогии мобильности, также называемые аналогией Файерстоуна, представляют собой электрические двойники аналогий импеданса. То есть переменная усилия в механической области аналогична току (переменная потока) в электрической области, а переменная потока в механической области аналогична напряжению (переменная усилия) в электрической области. Электрическая сеть, представляющая механическую систему, представляет собой двойную сеть в аналогии с импедансом. [33]
Аналогия мобильности характеризуется адмиттансом точно так же, как аналогия импеданса характеризуется импедансом. Адмиттанс является алгебраической обратной величиной импеданса. В области механики механическую проводимость чаще называют подвижностью . [34]
Сквозные аналогии, также называемые аналогией Трента , классифицируют две переменные, составляющие пару степенных сопряжений, как сквозную переменную и сквозную переменную. Переменная поперек — это переменная, которая появляется на двух терминалах элемента. Переменная поперечного сечения измеряется относительно клемм элемента. Проходная переменная — это переменная, которая проходит через элемент или действует через него, то есть имеет одно и то же значение на обоих терминалах элемента. Преимущество сквозной аналогии заключается в том, что, когда сквозная гамильтонианская переменная выбрана как сохраняющаяся величина, можно использовать правило узла Кирхгофа , и модель будет иметь ту же топологию, что и реальная система.
Таким образом, в электрической области поперечная переменная — это напряжение, а сквозная переменная — ток. В механической области аналогичными переменными являются скорость и сила, как и в аналогии с подвижностью. [36] В акустической системе давление является сквозной переменной, поскольку давление измеряется относительно двух выводов элемента, а не как абсолютное давление. Таким образом, это не аналог силы, которая является сквозной переменной, хотя давление измеряется в единицах силы на площадь. Силы действуют через элемент; стержень, к верху которого приложена сила, передаст ту же силу элементу, соединенному с его низом. Таким образом, в сквозной аналогии механическая область аналогична электрической области, как в аналогии с подвижностью, но акустическая область аналогична электрической области, как в аналогии с импедансом. [37]
Электрическую аналогию можно распространить на многие другие области энергетики. В области датчиков и исполнительных механизмов , а также систем управления , использующих их, распространенным методом анализа является разработка электрической аналогии всей системы. Поскольку датчики могут воспринимать переменную в любой энергетической области, а выходные данные системы могут находиться в любой энергетической области, необходимы аналогии для всех энергетических областей. В следующей таблице дана сводка наиболее распространенных степенных сопряженных переменных, используемых для формирования аналогий. [39]
Возможно, в тепловой области чаще выбирают температуру и тепловую мощность в качестве фундаментальных переменных, потому что, в отличие от энтропии, их можно измерить напрямую. На этой аналогии основано понятие термического сопротивления . Однако это не степенно-сопряженные переменные и не полностью совместимы с другими переменными в таблице. Интегрированная электрическая аналогия в нескольких областях, включающая эту тепловую аналогию, не будет правильно моделировать потоки энергии. [41]
Точно так же широко распространенная аналогия с использованием МДС и магнитного потока в качестве фундаментальных переменных, которая порождает концепцию магнитного сопротивления , неправильно моделирует поток энергии. Переменная пара ммс и магнитный поток не является степенной сопряженной парой. Эту модель сопротивления иногда называют моделью сопротивления-сопротивления, поскольку она делает эти две величины аналогичными. Аналогию, показанную в таблице, в которой используется сопряженная пара мощности, иногда называют моделью гиратора-конденсатора . [42]
Преобразователь — это устройство, которое принимает энергию из одного домена в качестве входного сигнала и преобразует ее в другой энергетический домен в качестве выходного сигнала . Они часто обратимы, но редко используются таким образом. Преобразователи имеют множество применений и бывают разных видов. В электромеханических системах их можно использовать в качестве приводов и датчиков. В аудиоэлектронике они обеспечивают преобразование между электрической и акустической областями. Преобразователь обеспечивает связь между механической и электрической областями, и поэтому для него требуется сетевое представление для разработки единой электрической аналогии. [43] Для этого концепция порта из электрической области распространяется на другие области. [44]
Преобразователи имеют (по крайней мере [примечание 5] ) два порта: один порт в механической области и один в электрической области, и они аналогичны электрическим двухпортовым сетям . Это следует сравнить с обсуждавшимися ранее элементами, которые все являются однопортовыми. Двухпортовые сети могут быть представлены как матрица 2×2 или, что то же самое, как сеть из двух зависимых генераторов и двух импедансов или адмиттансов. Существует шесть канонических форм этих представлений: параметры импеданса , параметры цепи , гибридные параметры и их инверсии . Любой из них можно использовать. Однако представление пассивного преобразователя, преобразующего аналогичные переменные (например, переменную усилия в другую переменную усилия в аналогии с импедансом), можно упростить, заменив зависимые генераторы трансформатором . [45]
С другой стороны, преобразователь, преобразующий неаналоговые сопряженные степенные переменные, не может быть представлен преобразователем. Двухпортовый элемент в электрической области, который делает это, называется гиратором . Это устройство преобразует напряжение в ток, а ток в напряжение. По аналогии преобразователь, преобразующий неаналогичные переменные между энергетическими областями, также называется гиратором. Например, электромагнитные преобразователи преобразуют ток в силу, а скорость в напряжение. [46] В аналогии с импедансом таким преобразователем является гиратор. [47] Является ли преобразователь гиратором или трансформатором, зависит от аналогии; тот же электромагнитный преобразователь в аналогии с мобильностью является преобразователем, поскольку он преобразует аналогичные переменные. [48]
Джеймс Клерк Максвелл разработал очень подробные механические аналогии электрических явлений. Он был первым, кто связал силу с напряжением (1873 г.), и, следовательно, ему обычно приписывают создание аналогии с импедансом. [49] Это была самая ранняя механо-электрическая аналогия. [50] Однако термин «импеданс» не был придуман Оливером Хевисайдом до 1886 года, спустя много времени после смерти Максвелла . [51] Идея комплексного импеданса была введена Артуром Э. Кеннелли в 1893 году, а концепция импеданса не была распространена на механическую область до 1920 года Кеннелли и Артуром Гордоном Вебстерами . [52]
Целью Максвелла при построении этой аналогии не было представление механических систем в терминах электрических сетей. Скорее, речь шла о объяснении электрических явлений в более привычных механических терминах. [53] Когда Джордж Эшли Кэмпбелл впервые продемонстрировал использование нагрузочных катушек для улучшения телефонных линий в 1899 году, он рассчитал необходимое расстояние между катушками по аналогии с работой Чарльза Годфри о механических линиях, нагруженных периодическими грузами. [54] По мере того, как электрические явления стали лучше пониматься, обратная аналогия с использованием электрических аналогий для объяснения механических систем стала становиться все более распространенной. Действительно, абстрактная топология электрического анализа с сосредоточенными элементами может многое предложить для решения проблем в механической области и других областях энергетики, если уж на то пошло. К 1900 году электрическая аналогия механической области стала обычным явлением. Примерно с 1920 года электрическая аналогия стала стандартным инструментом анализа. Ванневар Буш был пионером такого рода моделирования при разработке аналоговых компьютеров , и последовательное изложение этого метода было представлено в статье 1925 года Клиффордом А. Никлом. [55]
Применение анализа электрических сетей , особенно недавно разработанной области теории фильтров , к механическим и акустическим системам привело к огромному улучшению производительности. По словам Уоррена П. Мэйсона, эффективность корабельных электрических противотуманных горнов выросла с менее чем одного процента до 50 процентов. Полоса пропускания механических фонографов выросла с трёх до пяти октав , когда механические части передачи звука были сконструированы так, как если бы они были элементами электрического фильтра ( см. также Механический фильтр § Звуковоспроизведение ). Примечательно, что в то же время была улучшена эффективность преобразования (обычная ситуация с системами усиления заключается в том, что усиление можно обменять на полосу пропускания, так что произведение усиления на полосу пропускания остается постоянным). [56]
В 1933 году Флойд А. Файерстоун предложил новую аналогию — аналогию подвижности, в которой сила аналогична току, а не напряжению. В этой статье Файерстоун представил концепцию сквозных переменных и представил структуру для распространения аналогии на другие области энергетики. [57] Вариант аналогии силы тока был предложен Хорасом М. Трентом в 1955 году, и именно эта версия обычно подразумевается под сквозной аналогией. [58] Трент использовал метод линейного графа для представления сетей, в результате чего аналогия силы тока исторически ассоциировалась с линейными графами. Аналогия сила-напряжение исторически используется с представлениями графов связей, введенными в 1960 году Генри Пейнтером , однако при желании можно использовать любую аналогию с любым представлением. [59]
