Блочная матрица

Матрица, определенная с помощью меньших матриц, называемых блоками

В математике блочная матрица или секционированная матрица — это матрица , которая интерпретируется как разбитая на разделы, называемые блоками или подматрицами . ^{[1] [2]}

Интуитивно матрицу, интерпретируемую как блочную матрицу, можно визуализировать как исходную матрицу с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее или разделяют на набор меньших матриц. ^{[3] [2]} Например, матрица 3x4, представленная ниже, разделена горизонтальными и вертикальными линиями на четыре блока: верхний левый блок 2x3, верхний правый блок 2x1, нижний левый блок 1x3 и нижний правый блок 1x1.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]}$

Любую матрицу можно интерпретировать как блочную матрицу одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как разделены ее строки и столбцы.

Это понятие можно сделать более точным для матрицы by , разделив ее на коллекцию , а затем разделив ее на коллекцию . Исходная матрица затем рассматривается как «сумма» этих групп, в том смысле, что запись исходной матрицы соответствует один к одному некоторому смещенному элементу некоторого , где и . ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\text{colgroups}}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$

Алгебра блочных матриц возникает в общем случае из бипроизведений в категориях матриц. ^[5]

Матрица блока 168×168 элементов с подматрицами 12×12, 12×24, 24×12 и 24×24. Ненулевые элементы показаны синим цветом, нулевые элементы — серым.

Пример

Матрица

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$

можно визуализировать как разделенный на четыре блока, как

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right]}$.

Горизонтальные и вертикальные линии не имеют особого математического значения, ^{[6] [7],} но являются обычным способом визуализации разбиения. ^{[6] [7]} С помощью этого разбиения, разбивается на четыре блока 2×2, как ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

Тогда разделенную матрицу можно записать как

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$^[8]

Формальное определение

Пусть . Разбиение — это представление в виде ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$,

где — смежные подматрицы, и . ^[9] Элементы разбиения называются блоками . ^[9] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n}$ ${\displaystyle A_{ij}}$

По этому определению блоки в любом столбце должны иметь одинаковое количество столбцов. ^[9] Аналогично, блоки в любой строке должны иметь одинаковое количество строк. ^[9]

Методы разбиения

Матрицу можно разбить на разделы многими способами. ^[9] Например, говорят, что матрица разбита на разделы по столбцам, если она записана как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})}$,

где - й столбец . ^[9] Матрицу также можно разбить по строкам : ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}}}$,

где - th строка . ^[9] ${\displaystyle a_{i}^{T}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$

Общие перегородки

Часто ^[9] мы сталкиваемся с разбиением 2x2

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$, ^[9]

в частности, в форме, где — скаляр: ${\displaystyle A_{11}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Операции с блочной матрицей

Транспонировать

Позволять

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$

где . (Эта матрица будет повторно использована в § Сложение и § Умножение.) Тогда ее транспонирование равно ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}}}$, ^{[9] [10]}

и то же самое уравнение справедливо при замене транспонирования сопряженным транспонированием. ^[9]

Блок транспонирования

Специальная форма транспонирования матрицы может быть также определена для блочных матриц, где отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Пусть будет блочной матрицей с блоками , блочное транспонирование является блочной матрицей с блоками . ^[11] Как и в случае с обычным оператором трассировки, блочное транспонирование является линейным отображением таким, что . ^[10] Однако в общем случае свойство не выполняется, если блоки и не коммутируют. ${\displaystyle A=(B_{ij})}$ ${\displaystyle k\times l}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B_{ij}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle l\times k}$ ${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}}$ ${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Добавление

Позволять

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}}}$,

где , и пусть будет матрицей, определенной в § Транспонирование. (Эта матрица будет повторно использована в § Умножение.) Тогда если , , , и , то ${\displaystyle B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle q=s}$ ${\displaystyle k_{i}=m_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{j}=n_{j}}$

${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Умножение

Можно использовать блочно-разделенное матричное произведение, которое включает только алгебру на подматрицах факторов. Однако разбиение факторов не является произвольным и требует « согласованных разбиений» ^[12] между двумя матрицами и таких, что все подматричные произведения, которые будут использоваться, определены. ^[13] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Говорят, что две матрицы и разделены конформно относительно произведения , когда и разделены на подматрицы и если умножение выполняется с обработкой подматриц так, как если бы они были скалярами, но с сохранением порядка, и когда определены все произведения и суммы задействованных подматриц. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$

—  Арак М. Матай и Ханс Дж. Хаубольд, Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров ^[14]

Пусть будет матрицей, определенной в § Транспонирование, и пусть будет матрицей, определенной в § Сложение. Тогда произведение матриц ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle C=AB}$

может быть выполнено поблочно, что даст в результате матрицу. Матрицы в результирующей матрице вычисляются путем умножения: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (p\times s)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.}$^[6]

Или, используя обозначение Эйнштейна , которое неявно суммирует по повторяющимся индексам:

${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$

Изображая в виде матрицы, имеем ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Инверсия

Если матрица разделена на четыре блока, ее можно инвертировать поблочно следующим образом:

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&-{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\\-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

где A и D — квадратные блоки произвольного размера, а B и C — соответствующие им для разбиения. Кроме того, A и дополнение Шура для A в P : P / A = D − CA ⁻¹ B должны быть обратимы. ^[15]

Эквивалентно, переставляя блоки:

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\\-{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&\quad {D}^{-1}+{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[16]

Здесь D и дополнение Шура к D в P : P / D = A − BD ⁻¹ C должны быть обратимы.

Если A и D оба обратимы, то:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{B}{D}^{-1}{C}\right)^{-1}&{0}\\{0}&\left({D}-{C}{A}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{I}&-{B}{D}^{-1}\\-{C}{A}^{-1}&{I}\end{bmatrix}}.}$

По тождеству Вайнштейна–Ароншайна одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима точно тогда, когда обратима другая.

Определитель

Формула для определителя -матрицы выше продолжает выполняться, при соответствующих дальнейших предположениях, для матрицы, состоящей из четырех подматриц . Самая простая такая формула, которая может быть доказана с использованием либо формулы Лейбница, либо факторизации с использованием дополнения Шура , это ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.}$^[16]

Используя эту формулу, мы можем вывести, что характеристические многочлены и одинаковы и равны произведению характеристических многочленов и . Более того, если или диагонализируемо , то и диагонализируемы тоже. Обратное неверно; просто проверьте . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

Если обратимо , то имеем ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),}$^[16]

и если обратимо, то имеем ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$^{[17] [16]}

Если блоки являются квадратными матрицами одинакового размера, то дальнейшие формулы остаются в силе. Например, если и коммутируют (т.е. ), то ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle CD=DC}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).}$^[18]

Эта формула была обобщена на матрицы, состоящие из более чем блоков, снова при соблюдении соответствующих условий коммутативности между отдельными блоками. ^[19] ${\displaystyle 2\times 2}$

Для и справедлива следующая формула (даже если и не коммутируют) ${\displaystyle A=D}$ ${\displaystyle B=C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$^[16]

Специальные типы блочных матриц

Прямые суммы и блочно-диагональные матрицы

Прямая сумма

Для любых произвольных матриц A (размера m  ×  n ) и B (размера p  ×  q ) мы имеем прямую сумму A и B , обозначаемую как A  B и определяемую как ${\displaystyle \oplus }$ 

${\displaystyle {A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$^[10]

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольной размерности (при условии, что A и B имеют одинаковое число измерений).

Обратите внимание, что любой элемент прямой суммы двух векторных пространств матриц может быть представлен как прямая сумма двух матриц.

Блочно-диагональные матрицы

Блочно -диагональная матрица — это блочная матрица, которая является квадратной матрицей , такой, что блоки главной диагонали являются квадратными матрицами, а все недиагональные блоки являются нулевыми матрицами. ^[16] То есть, блочно-диагональная матрица A имеет вид

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}}$

где A _k — квадратная матрица для всех k = 1, ..., n . Другими словами, матрица A является прямой суммой A 1 _, ..., A _n . ^[16] Она также может быть обозначена как A ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  A _n ^[10] или diag( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) ^[10]  (последний является тем же формализмом, который используется для диагональной матрицы ). Любая квадратная матрица может тривиально рассматриваться как блочно-диагональная матрица с единственным блоком.

Для определителя и следа справедливы следующие свойства:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}}$^{[20] [21]} и

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}}$^{[16] [21]}

Блочно-диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее главных диагональных блоков обратим, и в этом случае ее обратная матрица — это другая блочно-диагональная матрица, заданная формулой

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[22]

Собственные значения [ ^23] и собственные векторы являются просто собственными значениями s, объединенными вместе. ^[21] ${\displaystyle {A}}$ ${\displaystyle {A}_{k}}$

Блочные трехдиагональные матрицы

Блочно -трехдиагональная матрица — это еще одна специальная блочная матрица, которая, как и блочно-диагональная матрица, является квадратной матрицей , имеющей квадратные матрицы (блоки) на нижней диагонали, главной диагонали и верхней диагонали, а все остальные блоки являются нулевыми матрицами. По сути, это трехдиагональная матрица , но имеющая подматрицы на местах скаляров. Блочно-трехдиагональная матрица имеет вид ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{B}_{1}&{C}_{1}&&&\cdots &&{0}\\{A}_{2}&{B}_{2}&{C}_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{A}_{k}&{B}_{k}&{C}_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&{A}_{n-1}&{B}_{n-1}&{C}_{n-1}\\{0}&&\cdots &&&{A}_{n}&{B}_{n}\end{bmatrix}}}$

где , и — квадратные подматрицы нижней, главной и верхней диагонали соответственно. ^{[24] [25]} ${\displaystyle {A}_{k}}$ ${\displaystyle {B}_{k}}$ ${\displaystyle {C}_{k}}$

Блочно-трехдиагональные матрицы часто встречаются в численных решениях инженерных задач (например, вычислительной гидродинамики ). Доступны оптимизированные численные методы для факторизации LU ^[26] и, следовательно, эффективные алгоритмы решения для систем уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. Алгоритм Томаса , используемый для эффективного решения систем уравнений, включающих трехдиагональную матрицу, также может быть применен с использованием матричных операций для блочно-трехдиагональных матриц (см. также Блочное разложение LU ).

Блочно-треугольные матрицы

Верхний блок треугольный

Матрица является верхней блочно-треугольной (или блочно-верхней треугольной ^[27] ), если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

где для всех . ^{[23] [27]} ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Нижний блок треугольный

Матрица является нижнеблочно-треугольной, если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

где для всех . ^[23] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Блочные матрицы Теплица

Блочная матрица Тёплица — это ещё одна специальная блочная матрица, которая содержит блоки, повторяющиеся по диагоналям матрицы, так как матрица Тёплица имеет элементы, повторяющиеся по диагонали.

Матрица является блочно-тёплицевой, если для всех , то есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle k-i=l-j}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$,

где . ^[23] ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

Блочные матрицы Ганкеля

Матрица является блочно-ганкелевой, если для всех , то есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle i+j=k+l}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$,

где . ^[23] ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

Смотрите также

• Произведение Кронекера (прямое произведение матриц, приводящее к блочной матрице)
• Жорданова нормальная форма (каноническая форма линейного оператора в конечномерном комплексном векторном пространстве)
• Алгоритм Штрассена (алгоритм умножения матриц, который быстрее обычного алгоритма умножения матриц)

Примечания

1. Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание). Нью-Йорк: Довер. стр. 37. ISBN 0-486-63946-0. Получено 24 апреля 2013 г. Мы обнаружим, что иногда удобно разбить матрицу на прямоугольные блоки элементов. Это приводит нас к рассмотрению так называемых секционированных , или блочных , матриц .
2. Добрушкин, Владимир. "Разбиение матриц". Линейная алгебра с Mathematica . Получено 24.03.2024 .
3. Антон, Говард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley. стр. 30. ISBN 0-471-58742-7Матрицу можно подразделить или разбить на более мелкие матрицы , вставив горизонтальные и вертикальные линии между выбранными строками и столбцами.
4. Индхумати, Д.; Сарала, С. (2014-05-16). "Анализ фрагментов и генерация тестовых случаев с использованием F-меры для адаптивного случайного тестирования и адаптивного случайного тестирования на основе разделенных блоков" (PDF) . Международный журнал компьютерных приложений . 93 (6): 13. doi :10.5120/16218-5662.
5. Маседо, HD; Оливейра, JN (2013). «Ввод линейной алгебры: подход, ориентированный на бипродукт». Science of Computer Programming . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . doi : 10.1016/j.scico.2012.07.012.
6. Джонстон, Натаниэль (2021). Введение в линейную и матричную алгебру . Хам, Швейцария: Springer Nature. стр. 30, 425. ISBN 978-3-030-52811-9.
7. Johnston, Nathaniel (2021). Расширенная линейная и матричная алгебра . Cham, Швейцария: Springer Nature. стр. 298. ISBN 978-3-030-52814-0.
8. Джеффри, Алан (2010). Матричные операции для инженеров и ученых: основное руководство по линейной алгебре. Дордрехт [Нидерланды]; Нью-Йорк: Springer. стр. 54. ISBN 978-90-481-9273-1. OCLC  639165077.
9. Стюарт, Гилберт В. (1998). Матричные алгоритмы. 1: Базовые разложения . Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. С. 18–20. ISBN 978-0-89871-414-2.
10. Gentle, James E. (2007). Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике . Springer Texts in Statistics. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Springer e-books. стр. 47, 487. ISBN 978-0-387-70873-7.
11. Mackey, D. Steven (2006). Структурированные линеаризации для матричных полиномов (PDF) (диссертация). Манчестерский университет. ISSN  1749-9097. OCLC  930686781.
12. Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание). Нью-Йорк: Довер. стр. 37. ISBN 0-486-63946-0. Получено 24 апреля 2013 г. Разбиение , как в теореме 1.9.4 , называется согласованным разбиением A и B.
13. Антон, Говард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley. стр. 36. ISBN 0-471-58742-7. ...при условии, что размеры подматриц A и B таковы, что указанные операции могут быть выполнены.
14. Mathai, Arakaparampil M.; Haubold, Hans J. (2017). Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров . Учебник De Gruyter. Берлин-Бостон: De Gruyter. стр. 162. ISBN 978-3-11-056259-0.
15. Бернстайн, Деннис (2005). Матричная математика . Princeton University Press. стр. 44. ISBN 0-691-11802-7.
16. Абадир, Карим М.; Магнус, Ян Р. (2005). Матричная алгебра . Издательство Кембриджского университета. С. 97, 100, 106, 111, 114, 118. ISBN 9781139443647.
17. Табога, Марко (2021). «Определитель блочной матрицы», Лекции по матричной алгебре.
18. Silvester, JR (2000). "Определители блочных матриц" (PDF) . Math. Gaz . 84 (501): 460–467. doi :10.2307/3620776. JSTOR  3620776. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-03-18 . Получено 2021-06-25 .
19. Sothanaphan, Nat (январь 2017 г.). «Определители блочных матриц с некоммутирующими блоками». Линейная алгебра и ее приложения . 512 : 202–218. arXiv : 1805.06027 . doi : 10.1016/j.laa.2016.10.004. S2CID  119272194.
20. Квартерони, Альфио; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2000). Численная математика . Тексты по прикладной математике. Нью-Йорк: Springer. С. 10, 13. ISBN 978-0-387-98959-4.
21. Джордж, Раджу К.; Аджаякумар, Абхиджит (2024). «Курс линейной алгебры». Университетские тексты по математическим наукам : 35, 407. doi : 10.1007/978-981-99-8680-4. ISBN 978-981-99-8679-8. ISSN  2731-9318.
22. Принс, Саймон Дж. Д. (2012). Компьютерное зрение: модели, обучение и вывод . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 531. ISBN 978-1-107-01179-3.
23. Бернстайн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. С. 168, 298. ISBN 978-0-691-14039-1.
24. Dietl, Guido KE (2007). Линейная оценка и обнаружение в подпространствах Крылова. Основы обработки сигналов, связи и сетей. Берлин; Нью-Йорк: Springer. С. 85, 87. ISBN 978-3-540-68478-7. OCLC  85898525.
25. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2017). Матричный анализ (Второе издание, исправленное переиздание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 36. ISBN 978-0-521-83940-2.
26. Датта, Бисва Нат (2010). Численная линейная алгебра и приложения (2-е изд.). Филадельфия, Пенсильвания: SIAM. стр. 168. ISBN 978-0-89871-685-6.
27. Stewart, Gilbert W. (2001). Матричные алгоритмы. 2: Eigensystems . Филадельфия, Пенсильвания: Soc. for Industrial and Applied Mathematics. стр. 5. ISBN 978-0-89871-503-3.

Ссылки

• Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы». MIT Open Course ware. 18:30–21:10.