Орбитальный интеграл

Тип интегрального преобразования в математике

В математике орбитальный интеграл — это интегральное преобразование , обобщающее оператор сферического среднего на однородные пространства . Вместо интегрирования по сферам интегрируют по обобщенным сферам: для однородного пространства X =  G  / H обобщенная сфера с центром в точке x ₀ является орбитой группы изотропии x  ₀ .

Определение

Моделью для орбитальных интегралов является риманово симметричное пространство G / K , где G — группа Ли , а K — симметричная компактная подгруппа . Обобщенные сферы тогда являются фактическими геодезическими сферами, а сферический оператор усреднения определяется как

${\displaystyle M^{r}f(x)=\int _{K}f(gk\cdot y)\,dk,}$

где

• точка обозначает действие группы G на однородном пространстве X
• g  ∈  G — элемент группы, такой что x  =  g · o
• y  ∈  X — произвольный элемент геодезической сферы радиуса r с центром в точке x : d ( x , y ) =  r
• Интегрирование выполняется по мере Хаара на K (поскольку K компактен, он унимодулярен , а левая и правая меры Хаара совпадают и могут быть нормализованы так, что масса K равна 1).

Орбитальные интегралы подходящих функций также могут быть определены на однородных пространствах G / K , где подгруппа K больше не предполагается компактной, а вместо этого предполагается только унимодулярной. Лоренцевы симметричные пространства являются такими. Орбитальные интегралы в этом случае также получаются интегрированием по K -орбите в G / K относительно меры Хаара K . Таким образом

${\displaystyle \int _{K}f(gk\cdot y)\,dk}$

— орбитальный интеграл с центром в точке x по орбите, проходящей через  y . Как и выше, g — элемент группы, представляющий смежный класс  x .

Интегральная геометрия

Центральной проблемой интегральной геометрии является восстановление функции по знанию ее орбитальных интегралов. Преобразование Функа и преобразование Радона являются двумя особыми случаями. Когда G / K является римановым симметричным пространством, задача тривиальна, поскольку M ^r ƒ( x ) является средним значением ƒ по обобщенной сфере радиуса r , и

${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to 0^{+}}M^{r}f(x).}$

Когда K компактен (но не обязательно симметричен), работает аналогичный метод. Проблема становится интереснее, когда K некомпактен. Например, преобразование Радона — это орбитальный интеграл, который получается, если взять G как евклидову группу изометрии, а K — как группу изотропии гиперплоскости.

Орбитальные интегралы являются важным техническим инструментом в теории автоморфных форм , где они входят в формулировку различных формул следов .

Ссылки

• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3