Номер Кита

В развлекательной математике число Кита или число повторений (сокращение от повторяющейся цифры , подобной цифре Фибоначчи ) — это натуральное число в заданной системе счисления с такими цифрами, что при создании последовательности первые члены представляют собой цифры и каждый последующий член представляет собой сумму предыдущих членов, является частью последовательности. Числа Кита были введены Майком Китом в 1987 году. ^[1] Их очень сложно найти с вычислительной точки зрения, известно всего около 100. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Определение

Пусть это натуральное число, пусть это количество цифр по основанию и пусть ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b}}^{i+1}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

быть значением каждой цифры . ${\displaystyle n}$

Мы определяем последовательность линейным рекуррентным соотношением . Для , ${\displaystyle S(i)}$ ${\displaystyle 0\leq i<k}$

${\displaystyle S(i)=d_{k-i-1}}$

и для ${\displaystyle i\geq k}$

${\displaystyle S(i)=\sum _{j=0}^{k}S(i-k+j)}$

Если существует такое, что , то говорят, что это число Кита . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S(i)=n}$ ${\displaystyle n}$

Например, 88 — это число Кита по основанию 6 , так как

${\displaystyle S(0)=d_{3-0-1}=d_{2}={\frac {88{\bmod {6}}^{2+1}-88{\bmod {6}}^{2}}{6^{2}}}={\frac {88{\bmod {2}}16-88{\bmod {3}}6}{36}}={\frac {88-16}{36}}={\frac {72}{36}}=2}$

${\displaystyle S(1)=d_{3-1-1}=d_{1}={\frac {88{\bmod {6}}^{1+1}-88{\bmod {6}}^{1}}{6^{1}}}={\frac {88{\bmod {3}}6-88{\bmod {6}}}{6}}={\frac {16-4}{6}}={\frac {12}{6}}=2}$

${\displaystyle S(2)=d_{3-2-1}=d_{0}={\frac {88{\bmod {6}}^{0+1}-88{\bmod {6}}^{0}}{6^{0}}}={\frac {88{\bmod {6}}-88{\bmod {1}}}{1}}={\frac {4-0}{1}}={\frac {4}{1}}=4}$

и вся последовательность

${\displaystyle S(i)=\{2,2,4,8,14,26,48,88,162,\ldots \}}$

и . ${\displaystyle S(7)=88}$

Нахождение чисел Кита

Существует ли бесконечно много чисел Кита в конкретной базе, в настоящее время является предметом предположений. Числа Кита редки, и их трудно найти. Их можно найти методом перебора, и более эффективного алгоритма не известно. ^[2] По словам Кита, в базе 10 в среднем ожидаются числа Кита между последовательными степенями 10 . ^[3] Известные результаты, похоже, подтверждают это. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {9}{10}}\log _{2}{10}\approx 2.99}$

Примеры

14 , 19 , 28 , 47 , 61 , 75 , 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 12 9572008, 251133297, ... ^[4]

Другие базы

В системе счисления 2 существует метод построения всех чисел Кита. ^[3]

Числа Кита по основанию 12 , записанные по основанию 12, равны

11, 15, 1Ɛ, 22, 2ᘔ, 31, 33, 44, 49, 55, 62, 66, 77, 88, 93, 99, ᘔᘔ, ƐƐ, 125, 215, 24ᘔ, 405, 42ᘔ, 654, 80ᘔ, 8ᘔ3, ᘔ59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4ᘔ1ᘔ, 4ᘔƐ1, 50ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24ᘔ78, 4718Ɛ, 517 Ɛᘔ, 157617, 1ᘔ265ᘔ, 5ᘔ4074, 5ᘔƐ140, 6Ɛ1449, 6Ɛ8515, ...

где ᘔ представляет собой 10, а Ɛ представляет собой 11.

Кластеры Кита

Кластер Кита — это связанный набор чисел Кита, одно из которых кратно другому. Например, в системе счисления 10 , , и все являются кластерами Кейта. Возможно, это единственные три примера кластера Кита с основанием 10 . ^[5] ${\displaystyle \{14,28\}}$ ${\displaystyle \{1104,2208\}}$ ${\displaystyle \{31331,62662,93993\}}$

Пример программирования

В приведенном ниже примере реализуется последовательность, определенная выше в Python, для определения того, является ли число в определенной базе числом Кита:

def  is_repfigit ( x :  int ,  b :  int )  ->  bool : """Определить, является ли число в определенной базе числом Кита.""" if x == 0 : вернуть True        последовательность  =  []  y  =  x в то время как  y  >  0 :  последовательность . добавить ( y  %  b )  y  =  y  //  b digit_count  =  len ( последовательность )  последовательность . обеспечить регресс () while  последовательность [ len ( последовательность )  -  1 ]  <  x :  n  =  0  для  i  в  диапазоне ( 0 ,  digit_count ):  n  =  n  +  последовательность [ len ( последовательность )  -  digit_count  +  i ]  последовательность . добавить ( н ) возвращаемая  последовательность [ len ( последовательность )  -  1 ]  ==  x

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Число Фибоначчи
• Линейное рекуррентное соотношение

Рекомендации

1. Кейт, Майк (1987). «Перефиг. числа». Журнал развлекательной математики . 19 (2): 41–42.
2. Эрлз, Джейсон ; Лихтблау, Даниэль; Вайсштейн, Эрик В. «Кит Номер». Математический мир .
3. Кейт, Майк . «Кит Числа».
4. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007629 (числа Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) (или числа Кита)»). Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
5. Коупленд, Эд. «14 197 и другие числа Кита». Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 22 мая 2017 г. Проверено 9 апреля 2013 г.