Большое сито

Математический метод

Большое решето — это метод (или семейство методов и связанных с ними идей) в аналитической теории чисел . Это тип решета , в котором удаляется до половины всех остаточных классов чисел, в отличие от малых решет, таких как решето Сельберга , в котором удаляется только несколько остаточных классов. Метод был еще больше усовершенствован большим решетом , которое удаляет произвольное количество остаточных классов. ^[1]

Имя

Его название происходит от его первоначального применения: если задано множество , такое, что элементы S не могут находиться в множестве A _p ⊂ Z / p Z по модулю любого простого числа p , насколько большим может быть S ? Здесь A _p считается большим, т. е. по крайней мере таким же большим, как константа, умноженная на p ; если это не так, мы говорим о малом решете . ${\displaystyle S\subset \{1,\ldots ,N\}}$

История

Ранняя история большого решета восходит к работе Ю. Б. Линника , в 1941 году работавшего над проблемой наименьшего квадратичного невычета . Впоследствии Альфред Реньи работал над ней, используя вероятностные методы. Только два десятилетия спустя, после довольно большого количества вкладов других, большое решето было сформулировано более определенным образом. Это произошло в начале 1960-х годов в независимой работе Клауса Рота и Энрико Бомбьери . Примерно в то же время связь с принципом двойственности стала более понятной. В середине 1960-х годов была доказана теорема Бомбьери–Виноградова как важное приложение больших решет с использованием оценок средних значений характеров Дирихле . В конце 1960-х и начале 1970-х годов многие из ключевых ингредиентов и оценок были упрощены Патриком X. Галлахером . ^[2]

Разработка

Методы большого решета были достаточно развиты, чтобы их можно было применять и в ситуациях с малым решетом. Что-то обычно рассматривается как связанное с большим решетом не обязательно в плане того, связано ли это с типом ситуации, описанной выше, а скорее, если это включает один из двух методов доказательства, традиционно используемых для получения результата большого решета:

Приближенное неравенство Планшереля

Если множество S плохо распределено по модулю p (например, в силу того, что оно исключено из классов конгруэнтности A _p ), то коэффициенты Фурье характеристической функции f _p множества S  mod  p в среднем велики. Эти коэффициенты можно поднять до значений преобразования Фурье характеристической функции f множества S (т. е. ${\displaystyle {\widehat {f_{p}}}(a)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)}$).

Ограничивая производные, мы можем видеть, что должно быть большим, в среднем, для всех x около рациональных чисел вида a / p . Большое здесь означает "относительно большую константу, умноженную на | S |". Так как ${\displaystyle {\widehat {f}}(x)}$

${\displaystyle |f|_{2}={\sqrt {|S|}},}$

мы получаем противоречие с тождеством Планшереля

${\displaystyle |{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}}$

если только | S | не мало. (На практике для оптимизации границ в настоящее время люди преобразуют тождество Планшереля в равенство, а не в связанные производные, как указано выше.)

Принцип двойственности

Можно легко доказать сильный результат большого решета, отметив следующий основной факт из функционального анализа: норма линейного оператора (т.е.

${\displaystyle \sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,}$

где A — оператор из линейного пространства V в линейное пространство W ) равен норме своего сопряженного, т.е.

${\displaystyle \sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}}$.

В некоторой математической литературе этот принцип получил название «большое решето».

Также возможно вывести большое решето из мажорант в стиле Сельберга (см. Сельберг, Собрание сочинений , т. II, Лекции о решетах).

Смотрите также

• Теорема Бомбьери–Виноградова
• Сито большего размера

Ссылки

1. Галлахер, Патрик (1971). «Большое решето». Acta Arithmetica . 18 : 77–81.
2. Тененбаум, Джеральд (2015). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Аспирантура по математике. Том 163. Американское математическое общество. С. 102–104. ISBN 9780821898543.

• «Большое решето», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram . Введение в методы решета и их применение . London Mathematical Society Student Texts. Том 66. Cambridge University Press . С. 135–155. ISBN 0-521-61275-6. Збл  1121.11063.
• Дэвенпорт, Гарольд (2000). Теория мультипликативных чисел . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 74. Пересмотрено и с предисловием Хью Л. Монтгомери (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-95097-4. Збл  1002.11001.
• Фридлендер, Джон ; Иванец, Хенрик (2010). Опера де Крибро . Публикации коллоквиума AMS. ISBN 978-0-8218-4970-5. Збл  1226.11099.
• Хули, Кристофер (1976). Применение методов решета к теории чисел . Cambridge University Press. С. 17–20. ISBN 0-521-20915-3.
• Ковальски, Эммануэль (2008). Большое решето и его применение . Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88851-6.
• Тененбаум, Жеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 46. Cambridge University Press. С. 62–73. ISBN 0-521-41261-7.