Навигация по большому кругу

Маршрут полета или плавания по кратчайшему пути между двумя точками на поверхности земного шара.

Ортодромный курс, нарисованный на земном шаре

Навигация по большому кругу или ортодромная навигация (относящаяся к ортодромному курсу ; от древнегреческого ορθός ( orthós )  «прямой угол» и δρόμος ( dromos )  «путь») — это практика навигации судна ( корабля или самолета ) по большому кругу . круг . Такие маршруты дают кратчайшее расстояние между двумя точками земного шара. ^[1]

Курс

Рисунок 1. Путь по большому кругу между (φ ₁ , λ ₁ ) и (φ ₂ , λ ₂ ).

Путь большого круга можно найти с помощью сферической тригонометрии ; это сферическая версия обратной геодезической задачи . Если мореплаватель начинает с P ₁  = (φ ₁ ,λ ₁ ) и планирует пройти большой круг до точки в точке P ₂  = (φ ₂ , λ ₂ ) (см. рис. 1, φ — это широта, положительная в направлении на север). , а λ — долгота, положительная в восточном направлении), начальный и конечный курсы α ₁ и α ₂ заданы по формулам решения сферического треугольника

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}}$

где λ ₁₂  = λ ₂  − λ ₁ ^{[примечание 1]} и квадранты α ₁ ,α ₂ определяются по знакам числителя и знаменателя в формулах тангенса (например, с помощью функции atan2 ). Центральный угол между двумя точками σ ₁₂ определяется выражением

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}$^{[примечание 2] [примечание 3]}

(Числитель этой формулы содержит величины, которые использовались для определения tan α ₁ .) Тогда расстояние вдоль большого круга будет s ₁₂  =  R σ ₁₂ , где R — предполагаемый радиус Земли, а σ ₁₂ выражается в радианы . Используя средний радиус Земли , R  =  R ₁  ≈ 6371 км (3959 миль), получаем результаты для расстояния s ₁₂ , которые находятся в пределах 1% геодезической длины эллипсоида WGS84 ; подробности см . в разделе «Геодезика на эллипсоиде» .

Связь с геоцентрической системой координат

Угол положения точки t в точке s — это угол, под которым зеленый и большой пунктирный круги пересекаются в точке s . Единичные направления u _E , u _N и ось вращения ω отмечены стрелками.

Детальная оценка оптимального направления возможна, если поверхность моря аппроксимировать поверхностью сферы. Стандартные вычисления помещают корабль на геодезическую широту φ _s и геодезическую долготу λ _s , где φ считается положительным, если к северу от экватора, и где λ считается положительным, если к востоку от Гринвича . В геоцентрической системе координат с центром в центре сферы декартовы компоненты равны

${\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}$

и целевая позиция

${\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}$

Северный полюс находится в

${\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

Минимальное расстояние d — это расстояние по большому кругу, проходящему через точки s и t . Он рассчитывается в плоскости, содержащей центр сферы и большой круг .

${\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}$

где θ — угловое расстояние между двумя точками, если смотреть из центра сферы, измеряемое в радианах . Косинус угла вычисляется скалярным произведением двух векторов.

${\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}$

Если судно движется прямо к Северному полюсу, расстояние пути составит

${\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}$

Если корабль стартует в точке t и плывет прямо к Северному полюсу, расстояние путешествия составит

${\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}$

Вывод

Формула косинуса сферической тригонометрии ^[4] дает угол p между большими кругами через s , которые указывают на север с одной стороны и на t с другой стороны.

${\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}$

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}$

Формула синуса дает

${\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}$

Решение этого вопроса для sin θ _s,t и подстановка в предыдущую формулу дают выражение для тангенса позиционного угла:

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}$

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}$

Более подробная информация

Поскольку краткий вывод дает угол между 0 и π , который не раскрывает знак (запад или восток от севера?), желателен более явный вывод, который дает отдельно синус и косинус p , так что использование правильной ветви обратная тангенс позволяет получить угол во всем диапазоне -π≤p≤π .

Вычисления начинаются с построения большого круга между s и t . Он лежит в плоскости, содержащей центр сферы s и t , и построен с вращением s на угол θ _s,t вокруг оси ω . Ось перпендикулярна плоскости большого круга и вычисляется как нормализованное векторное произведение двух позиций:

${\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}$

Правосторонняя наклонная система координат с центром в центре сферы задается следующими тремя осями: ось s , ось

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)}$

и ось ω . Позиция вдоль большого круга

${\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}$

Направление компаса задается путем вставки двух векторов s и s⊥ и вычисления градиента вектора относительно θ при θ ₌ 0 .

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}$

Угол p задается путем разделения этого направления на два ортогональных направления в плоскости, касательной к сфере в точке s . Два направления задаются частными производными s по φ и по λ , нормированными на единицу длины:

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}$

u _N указывает на север, а u _E указывает на восток в позиции s . Позиционный угол p проецирует s _⊥ в эти два направления:

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}$,

где положительный знак означает, что положительные углы положения определяются как север над востоком. Значения косинуса и синуса p вычисляются путем умножения этого уравнения с обеих сторон на два единичных вектора:

${\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];}$

${\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].}$

Вместо вставки запутанного выражения s _⊥ оценка может использовать тот факт, что тройное произведение инвариантно относительно кругового сдвига аргументов:

${\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}$

Если для вычисления значения используется atan2 , можно сократить оба выражения путем деления на cos φ _t и умножения на sin θ _s,t , поскольку эти значения всегда положительны и эта операция не меняет знак; тогда эффективно

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}$

Поиск путевых точек

Чтобы найти точки пути , то есть положения выбранных точек на большом круге между P1 и P2 _, мы сначала экстраполируем большой круг обратно к его узлу A , точке, в которой большой круг пересекает экватор в северном направлении _. направление: пусть долгота этой точки равна λ ₀ — см. рис. 1. Азимут в этой точке α ₀ определяется выражением

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$^{[примечание 4]}

Пусть угловые расстояния по большому кругу от А до Р ₁ и Р ₂ равны σ ₀₁ и σ ₀₂ соответственно. Тогда, используя правила Нейпира, имеем

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(Если φ ₁  = 0 и α ₁  =  1 ⁄ 2 π, используйте σ ₀₁  = 0).

Это дает σ ₀₁ , откуда σ ₀₂  = σ ₀₁  + σ ₁₂ .

Долгота в узле находится по формуле

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}$

Рисунок 2. Путь по большому кругу между узлом (пересечением экватора) и произвольной точкой (φ,λ).

Наконец, вычислите положение и азимут в произвольной точке P (см. рис. 2) с помощью сферической версии прямой геодезической задачи . ^{[примечание 5]} Правила Нейпира дают

${\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$^{[примечание 6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}$

Функцию atan2 следует использовать для определения σ ₀₁ , λ и α. Например, чтобы найти середину пути, подставьте σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ); В качестве альтернативы, чтобы найти точку на расстоянии d от начальной точки, возьмите σ = σ ₀₁  +  d / R . Аналогично вершина , точка большого круга с наибольшей широтой, находится путем подстановки σ = + 1 ⁄ 2 π. Может быть удобно параметризовать маршрут по долготе, используя

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$^{[примечание 7]}

Можно найти широты через равные промежутки долготы, а полученные положения перенести на карту Меркатора, что позволяет аппроксимировать большой круг серией прямых линий . Путь, определенный таким образом, дает большой эллипс, соединяющий конечные точки, при условии, что координаты интерпретируются как географические координаты на эллипсоиде. ${\displaystyle (\phi ,\lambda )}$

Эти формулы применимы к сферической модели Земли. Они также используются при определении большого круга на вспомогательной сфере , которая является устройством для поиска кратчайшего пути, или геодезической , на эллипсоиде вращения; см. статью о геодезии на эллипсоиде .

Пример

Вычислите маршрут большого круга от Вальпараисо , φ ₁  = −33°, λ ₁  = −71,6°, до Шанхая , φ ₂  = 31,4°, λ ₂  = 121,8°.

Формулы для курса и расстояния дают λ ₁₂  = −166,6°, ^{[примечание 8]} α ₁  = −94,41°, α ₂  = −78,42° и σ ₁₂  = 168,56°. Приняв радиус Земли R  = 6371 км, расстояние составит s 12 ₌  18743 км.

Чтобы вычислить точки на маршруте, сначала найдите α ₀  = −56,74°, σ ₀₁  = −96,76°, σ ₀₂  = 71,8°, λ ₀₁  = 98,07° и λ ₀  = −169,67°. Затем, чтобы вычислить среднюю точку маршрута (например), возьмите σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ) = −12,48° и найдите φ = −6,81°, λ = −159,18° и α = − 57,36°.

Если геодезическая рассчитана точно на эллипсоиде WGS84 , ^[5] результаты будут: α ₁  = −94,82°, α ₂  = −78,29° и s ₁₂  = 18752 км. Середина геодезической: φ = −7,07°, λ = −159,31°, α = −57,45°.

Гномоническая диаграмма

Адмиралтейская гномоническая карта Индийского и Южного океанов для использования при прокладке больших круговых траекторий.

Прямая линия, нарисованная на гномической карте, является частью большого круга. Когда это переносится на карту Меркатора , оно становится кривой. Позиции переносятся на удобный интервал долготы и этот трек наносится на карту Меркатора для навигации.

Смотрите также

• Картушка
• Большой круг
• Расстояние большого круга
• Большой эллипс
• Геодезические на эллипсоиде
• Географическое расстояние
• изоазимутальный
• Локсодромная навигация
• карта
  • Карта Портолана
• Морские песочные часы
• Румпельная линия
• Сферическая тригонометрия
• Сеть Розы Ветров

Примечания

1. В статье о расстояниях по большому кругу используются обозначения Δλ = λ ₁₂ и Δσ = σ ₁₂ . Обозначения в этой статье необходимы для учета различий между другими точками, например, λ ₀₁ .
2. Более простая формула:

   ${\displaystyle \cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};}$

   однако это численно менее точно, если σ ₁₂ мало.
3. Эти уравнения для α ₁ ,α ₂ ,σ ₁₂ подходят для реализации на современных калькуляторах и компьютерах. Для ручных вычислений с логарифмами обычно использовали аналогии Деламбра [ ^{2] :}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}}$

   Маккоу ^[3] называет эти уравнения «логарифмическими», имея в виду, что все тригонометрические члены выглядят как произведения; это сводит к минимуму количество необходимых поисков в таблицах. Кроме того, избыточность в этих формулах служит проверкой при ручных расчетах. Если использовать эти уравнения для определения более короткого пути по большому кругу, необходимо убедиться, что |λ ₁₂ | ≤ π (иначе будет найден более длинный путь).
4. Более простая формула:

   ${\displaystyle \sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};}$

   однако это менее точно: α ₀  ≈ ± 1 ⁄ 2 π.
5. Прямая геодезическая задача о нахождении положения P ₂ по заданным P ₁ , α ₁ и s ₁₂ также может быть решена по формулам решения сферического треугольника следующим образом:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}}$

   Решение для точек пути, приведенное в основном тексте, является более общим, чем это решение, поскольку оно позволяет находить точки пути на заданных долготах. Кроме того, решение для σ (т. е. положения узла) необходимо при нахождении геодезических на эллипсоиде с помощью вспомогательной сферы.
6. Более простая формула:

   ${\displaystyle \sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;}$

   однако это менее точно, когда φ ≈ ± 1 ⁄ 2 π
7. Используется следующее: ${\displaystyle \cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}$
8. λ ₁₂ уменьшается до диапазона [-180°, 180°] путем добавления или вычитания 360° по мере необходимости.

Рекомендации

1. Адам Вайнтрит; Томаш Нойманн (7 июня 2011 г.). Методы и алгоритмы в навигации: Морская навигация и безопасность морского транспорта. ЦРК Пресс . стр. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
2. Тодхантер, И. (1871). Сферическая тригонометрия (3-е изд.). Макмиллан. п. 26.
3. Маккоу, GT (1932). «Длинные очереди на Земле». Обзор обзора империи . 1 (6): 259–263. дои : 10.1179/sre.1932.1.6.259.
4. Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 4.3.149». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
5. Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K. дои : 10.1007/s00190-012-0578-z .

Внешние ссылки

• Большой круг - из описания, рисунков и уравнений MathWorld Great Circle. Mathworld, Wolfram Research, Inc., 1999 г.
• Карта большого круга Интерактивный инструмент для построения маршрутов по большому кругу на сфере.
• Great Circle Mapper Интерактивный инструмент для построения маршрутов по большим кругам.
• Калькулятор Большого круга, рассчитывающий (начальный) курс и расстояние между двумя точками.
• Great Circle Distance Графический инструмент для рисования больших кругов на картах. Также показывает расстояние и азимут в таблице.
• Программа помощи Google для ортодромной навигации