Полубольшая и полумалая оси

Термин по геометрии; самый длинный и самый короткий полудиаметры эллипса

Большая полуось ( а ) и малая полуось ( б ) эллипса

В геометрии главная ось эллипса — это его самый длинный диаметр : отрезок линии , проходящий через центр и оба фокуса , с концами в двух наиболее удаленных друг от друга точках периметра . Большая полуось ( большая полуось ) представляет собой самый длинный полудиаметр или половину большой оси и, таким образом, проходит от центра через фокус к периметру. Малая полуось ( малая полуось ) эллипса или гиперболы — это отрезок прямой, находящийся под прямым углом к ​​большой полуоси и имеющий один конец в центре конического сечения . В частном случае круга длины полуосей равны радиусу круга .

Длина большой полуоси a эллипса связана с длиной малой полуоси b через эксцентриситет e и полурасширенную прямую кишку следующим образом: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Большая полуось гиперболы равна , в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями. Таким образом, это расстояние от центра до любой вершины гиперболы.

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остается фиксированным, а другой может перемещаться сколь угодно далеко в одном направлении, сохраняя неподвижность . Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, a быстрее, чем b . ${\displaystyle \ell }$

Большая и малая оси являются осями симметрии кривой: у эллипса малая ось более короткая; в гиперболе — это тот, который не пересекает гиперболу.

Эллипс

Уравнение эллипса:

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

где ( h ,  k ) — центр эллипса в декартовых координатах , в котором произвольная точка задается как ( x ,  y ).

Большая полуось — это среднее значение максимального и минимального расстояний и эллипса от фокуса, то есть расстояний от фокуса до конечных точек большой оси. ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ ${\displaystyle r_{\text{min}}}$

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

В астрономии эти крайние точки называются апсидами . ^[1]

Малая полуось эллипса — это среднее геометрическое этих расстояний:

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

Эксцентриситет эллипса определяется как

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

так

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах , с одним фокусом в начале координат, а другим в направлении: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

Среднее значение и для и составляет ${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$ ${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

В эллипсе большая полуось — это среднее геометрическое расстояния от центра до любого фокуса и расстояния от центра до любой директрисы.

Малая полуось эллипса проходит от центра эллипса (точки на полпути между фокусами и на линии, проходящей между фокусами ) к краю эллипса. Малая полуось — это половина малой оси. Малая ось — это самый длинный отрезок линии, перпендикулярный большой оси, который соединяет две точки на краю эллипса.

Малая полуось b связана с большой полуосью a через эксцентриситет e и полурасширенную прямую кишку следующим образом: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остается фиксированным, а другой может перемещаться сколь угодно далеко в одном направлении, сохраняя неподвижность . Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, a быстрее, чем b . ${\displaystyle \ell }$

Длину малой полуоси можно также найти по следующей формуле: ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

где f — расстояние между фокусами, p и q — расстояния от каждого фокуса до любой точки эллипса.

Гипербола

Большая полуось гиперболы , в зависимости от соглашения, равна плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями; если это a в направлении x, то уравнение: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Что касается полурасширенной прямой кишки и эксцентриситета, мы имеем

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

Поперечная ось гиперболы совпадает с большой осью. ^[3]

В гиперболе сопряженная ось или малая ось длины , соответствующая малой оси эллипса, может быть проведена перпендикулярно поперечной оси или большой оси, причем последняя соединяет две вершины (точки поворота) гиперболы с две оси, пересекающиеся в центре гиперболы. Концы малой оси лежат на высоте асимптот над/под вершинами гиперболы. Любая половина малой оси называется малой полуосью длиной b . Обозначая длину большой полуоси (расстояние от центра до вершины) как a , длины малой и большой полуосей появляются в уравнении гиперболы относительно этих осей следующим образом: ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Малая полуось — это также расстояние от одного из фокусов гиперболы до асимптоты. Часто называемый прицельным параметром , он важен в физике и астрономии и измеряет расстояние, на которое частица не попадет в фокус, если ее путешествие не будет нарушено телом в фокусе. ^{[ нужна цитата ]}

Малая полуось и большая полуось связаны эксцентриситетом следующим образом:

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[4]

Обратите внимание, что в гиперболе b может быть больше a . ^[5]

Астрономия

Орбитальный период

Логарифмический график зависимости периода T от большой полуоси a (среднее значение афелия и перигелия) некоторых орбит Солнечной системы (крестики, обозначающие значения Кеплера), показывающий, что a ³  /  T ^{‍ 2} является постоянным (зеленая линия)

В астродинамике орбитальный период T малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен: ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

где:

а - длина большой полуоси орбиты,

${\displaystyle \mu }$— стандартный гравитационный параметр центрального тела.

Обратите внимание, что для всех эллипсов с данной большой полуосью орбитальный период одинаков, независимо от их эксцентриситета.

Удельный угловой момент h малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

где:

a и такие, как определено выше, ${\displaystyle \mu }$

e — эксцентриситет орбиты.

В астрономии большая полуось является одним из наиболее важных орбитальных элементов орбиты , наряду с ее орбитальным периодом . Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально полученным эмпирическим путем ): ^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

где Т — период, а — большая полуось. Эта форма оказывается упрощением общей формы задачи двух тел , определенной Ньютоном : ^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

где G — гравитационная постоянная , M — масса центрального тела, а m — масса вращающегося тела. Обычно масса центрального тела настолько больше массы тела, вращающегося вокруг него, что m можно игнорировать. Если сделать это предположение и использовать типичные астрономические единицы, то получится более простая форма, открытая Кеплером.

Траектория вращающегося тела вокруг барицентра и его путь относительно его первичной точки представляют собой эллипсы. ^[1] Большая полуось иногда используется в астрономии как расстояние между первичной и вторичной частями, когда отношение масс первичной и вторичной частей значительно велико ( ); таким образом, параметры орбит планет даны в гелиоцентрических терминах. Разницу между примоцентрической и «абсолютной» орбитами лучше всего можно проиллюстрировать, взглянув на систему Земля-Луна. Соотношение масс в этом случае равно ${\displaystyle M\gg m}$81.300 59 . Характерное расстояние Земля-Луна, большая полуось геоцентрической лунной орбиты, составляет 384 400 км. (Учитывая эксцентриситет лунной орбиты e  = 0,0549, ее малая полуось равна 383 800 км. Таким образом, орбита Луны почти круговая.) Барицентрическая лунная орбита, с другой стороны, имеет большую полуось 379 730 км, земную орбиту. контрорбита, составляющая разницу, 4670 км. Средняя барицентрическая орбитальная скорость Луны составляет 1,010 км/с, а Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей дает среднюю геоцентрическую лунную орбитальную скорость 1,022 км/с; то же значение можно получить, рассматривая только значение большой геоцентрической полуоси. ^{[ нужна цитата ]}

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось — это «среднее» расстояние между главным фокусом эллипса и вращающимся телом. Это не совсем точно, поскольку зависит от того, какое среднее значение принимается. Среднее по времени и углу расстояние до орбитального тела может изменяться на 50–100% от большой полуоси орбиты в зависимости от эксцентриситета. ^[6]

• усреднение расстояния по эксцентрической аномалии действительно приводит к получению большой полуоси.
• усреднение по истинной аномалии (истинному орбитальному углу, измеренному в фокусе) приводит к малой полуоси . ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• усреднение по средней аномалии (доля орбитального периода, прошедшая с момента перицентра, выраженная как угол) дает среднее по времени . ${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

Усредненное по времени значение обратной величины радиуса равно . ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Энергия; расчет большой полуоси по векторам состояния

В астродинамике большую полуось а можно рассчитать по векторам состояния орбиты :

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

для эллиптической орбиты и, в зависимости от соглашения, того же или

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

для гиперболической траектории и

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

( удельная орбитальная энергия ) и

${\displaystyle \mu =GM,}$

( стандартный гравитационный параметр ), где:

v - орбитальная скорость от вектора скорости орбитального объекта,

r - декартовый вектор положения орбитального объекта в координатах системы отсчета , относительно которой должны быть рассчитаны элементы орбиты (например, геоцентрическая экваториальная для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрическая эклиптика для орбиты вокруг Солнца),

G — гравитационная постоянная ,

M — масса гравитирующего тела, а

${\displaystyle \varepsilon }$– удельная энергия вращающегося тела.

Обратите внимание, что для данного количества общей массы удельная энергия и большая полуось всегда одинаковы, независимо от эксцентриситета или соотношения масс. И наоборот, для данной общей массы и большой полуоси полная удельная орбитальная энергия всегда одинакова. Это утверждение всегда будет верным при любых данных условиях. ^{[ нужна цитата ]}

Большая и малая полуоси орбит планет.

Орбиты планет всегда приводят в качестве ярких примеров эллипсов ( первый закон Кеплера ). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круглые по внешнему виду. Эта разница (или соотношение) основана на эксцентриситете и рассчитывается как , что для типичных эксцентриситетов планет дает очень небольшие результаты. ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

Причина предположения о выдающихся эллиптических орбитах, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также основана на эксцентриситете и рассчитывается как . Благодаря большой разнице между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко визуализировать. ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

1 а.е. (астрономическая единица) равна 149,6 миллиона км.

Рекомендации

1. Лиссауэр, Джек Дж.; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 24–31. ISBN 9781108411981.
2. «Большая/малая ось эллипса», Math Open Reference, 12 мая 2013 г.
3. «7.1 Альтернативная характеристика». www.geom.uiuc.edu . Архивировано из оригинала 24 октября 2018 г. Проверено 6 сентября 2007 г.
4. «Геометрия орбит: эллипсы, параболы и гиперболы». www.bogan.ca .
5. «7.1 Альтернативная характеристика». Архивировано из оригинала 24 октября 2018 г. Проверено 6 сентября 2007 г.
6. Уильямс, Даррен М. (ноябрь 2003 г.). «Среднее расстояние между звездой и планетой на эксцентричной орбите». Американский журнал физики . 71 (11): 1198–1200. Бибкод : 2003AmJPh..71.1198W. дои : 10.1119/1.1578073.

Внешние ссылки

• Большая и малая полуоси эллипса С интерактивной анимацией