броуновский шум

Тип шума, создаваемого броуновским движением

Образец следа броуновского шума

Двумерное изображение броуновского шума, созданное с помощью компьютерной программы

Трехмерный сигнал броуновского шума, созданный с помощью компьютерной программы, показан здесь в виде анимации, где каждый кадр представляет собой двухмерный срез трехмерного массива.

Спектр броуновского шума с наклоном –20 дБ на декаду

В науке броуновский шум , также известный как коричневый шум или красный шум , является типом шума сигнала, производимого броуновским движением , отсюда его альтернативное название шум случайных блужданий . Термин «коричневый шум» происходит не от цвета , а от Роберта Брауна , который задокументировал беспорядочное движение для нескольких типов неодушевленных частиц в воде. Термин «красный шум» происходит от аналогии «белый шум»/«белый свет»; красный шум силен в более длинных волнах, подобно красному концу видимого спектра .

Объяснение

Графическое представление звукового сигнала имитирует броуновскую картину. Его спектральная плотность обратно пропорциональна f ² , то есть он имеет более высокую интенсивность на более низких частотах, даже больше, чем розовый шум . Он уменьшается по интенсивности на 6 дБ на октаву (20 дБ на декаду ) и, когда его слышат, имеет «затухшее» или «мягкое» качество по сравнению с белым и розовым шумом. Звук представляет собой низкий рев, напоминающий водопад или сильный ливень . См. также фиолетовый шум , который увеличивается на 6 дБ на октаву.

Строго говоря, броуновское движение имеет гауссово распределение вероятностей, но «красный шум» может применяться к любому сигналу со спектром частот 1/ f ² .

Спектр мощности

Броуновское движение, также известное как винеровский процесс , получается как интеграл сигнала белого шума : это означает, что броуновское движение является интегралом белого шума , спектральная плотность мощности которого является плоской: ^[1] $${\displaystyle W(t)=\int _{0}^{t}{\frac {dW}{d\tau }}(\tau )d\tau }$$ ${\displaystyle t\mapsto dW(t)}$ $${\displaystyle S_{0}=\left|{\mathcal {F}}\left[t\mapsto {\frac {dW}{dt}}(t)\right](\omega )\right|^{2}={\text{const}}.}$$

Обратите внимание, что здесь обозначает преобразование Фурье , а является константой. Важным свойством этого преобразования является то, что производная любого распределения преобразуется как ^[2] из чего можно сделать вывод, что спектр мощности броуновского шума равен ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S_{0}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[t\mapsto {\frac {dW}{dt}}(t)\right](\omega )=i\omega {\mathcal {F}}[t\mapsto W(t)](\omega ),}$$ $${\displaystyle S(\omega )={\big |}{\mathcal {F}}[t\mapsto W(t)](\omega ){\big |}^{2}={\frac {S_{0}}{\omega ^{2}}}.}$$

Отдельная траектория броуновского движения представляет собой спектр , где амплитуда является случайной величиной, даже в пределе бесконечно длинной траектории. ^[3] ${\displaystyle S(\omega )=S_{0}/\omega ^{2}}$ ${\displaystyle S_{0}}$

Производство

Коричневый шум может быть получен путем интегрирования белого шума . ^{[4] [5]} То есть, в то время как ( цифровой ) белый шум может быть получен путем случайного выбора каждого образца независимо, коричневый шум может быть получен путем добавления случайного смещения к каждому образцу для получения следующего. Поскольку броуновский шум содержит бесконечную спектральную мощность на низких частотах, сигнал имеет тенденцию бесконечно удаляться от источника. Интегратор с утечкой может использоваться в аудио- или электромагнитных приложениях, чтобы гарантировать, что сигнал не «блуждает», то есть не превышает пределы динамического диапазона системы . Это превращает броуновский шум в шум Орнштейна-Уленбека , который имеет плоский спектр на низких частотах и ​​становится «красным» только выше выбранной частоты среза.

Броуновский шум также может быть сгенерирован компьютером, если сначала сгенерировать сигнал белого шума, преобразовать его с помощью Фурье, а затем разделить амплитуды различных частотных компонентов на частоту (в одном измерении) или на квадрат частоты (в двух измерениях) и т. д. ^[6] Программы Matlab позволяют генерировать броуновский и другой цветной шум степенного закона в одном или любом количестве измерений.

Образец

Коричневый шум

10 секунд броуновского шума

---

Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Экспериментальные доказательства

Доказательства существования броуновского шума или, точнее, броуновских процессов были обнаружены в различных областях, включая химию, ^[7] электромагнетизм, ^[8] гидродинамику, ^[9] экономику ^[10] и нейромоторное управление человеком. ^[11]

Нейромоторный контроль человека

В человеческом нейромоторном контроле броуновские процессы были признаны биомаркером естественного дрейфа человека как в постуральных задачах, таких как спокойное стояние или удержание объекта в руке, так и в динамических задачах. Работа Тессари и др. подчеркнула, как эти броуновские процессы у людей могут обеспечить первую поведенческую поддержку нейробиологической гипотезы о том, что люди кодируют движение в терминах нисходящих нейронных скоростных команд. ^[11]

Ссылки

1. Гардинер, Ч. В. Справочник по стохастическим методам . Берлин: Springer Verlag.
2. Barnes, JA & Allan, DW (1966). "Статистическая модель фликкер-шума". Труды IEEE . 54 (2): 176–178. doi :10.1109/proc.1966.4630. S2CID  61567385.и ссылки в них
3. Крапф, Диего; Маринари, Энцо; Мецлер, Ральф; Ошанин, Глеб; Сюй, Синрань; Скуарчини, Алессио (2018-02-09). "Спектральная плотность мощности одиночной броуновской траектории: чему можно и чему нельзя научиться из нее". New Journal of Physics . 20 (2): 023029. arXiv : 1801.02986 . Bibcode : 2018NJPh...20b3029K. doi : 10.1088/1367-2630/aaa67c .
4. "Интеграл белого шума". 2005. Архивировано из оригинала 2012-02-26 . Получено 2010-04-30 .
5. Бурк, Пол (октябрь 1998 г.). «Генерация шума с различными законами спектров мощности».
6. Дас, Абхранил (2022). Обнаружение камуфляжа и различение сигналов: теория, методы и эксперименты (исправлено) (PhD). Техасский университет в Остине. doi : 10.13140/RG.2.2.32016.07683.
7. Крамерс, HA (1940). «Броуновское движение в силовом поле и диффузионная модель химических реакций». Physica . 7 (4): 284–304. doi :10.1016/S0031-8914(40)90098-2. ISSN  0031-8914.
8. Куршуноглу, Бехрам (1962). «Броуновское движение в магнитном поле». Annals of Physics . 17 (2): 259–268. doi :10.1016/0003-4916(62)90027-1. ISSN  0003-4916.
9. Хауге, Э. Х.; Мартин-Лёф, А. (1973). «Флуктуирующая гидродинамика и броуновское движение». Журнал статистической физики . 7 : 259–281. doi :10.1007/BF01030307.
10. Осборн, МФМ (1959). «Броуновское движение на фондовом рынке». Исследование операций . 7 (2): 145–173. doi :10.1287/opre.7.2.145.
11. Tessari, F.; Hermus, J.; Sugimoto-Dimitrova, R. (2024). «Броуновские процессы в человеческом двигательном контроле поддерживают нисходящие команды нейронной скорости». Scientific Reports . 14 : 8341. doi :10.1038/s41598-024-58380-5. PMC 11004188 .