Быстрота

Мера релятивистской скорости

Быстрота — это значение artanh( v / c ) для скорости v и скорости света c.

В специальной теории относительности классическое понятие скорости преобразуется в быстроту , чтобы приспособиться к пределу, определяемому скоростью света . Скорости должны быть объединены с помощью формулы сложения скоростей Эйнштейна . Для низких скоростей быстрота и скорость почти точно пропорциональны, но для более высоких скоростей быстрота принимает большее значение, при этом скорость света бесконечна.

Математически быстроту можно определить как гиперболический угол , который разделяет две системы отсчета, находящиеся в относительном движении, причем каждая система связана с координатами расстояния и времени .

Используя обратную гиперболическую функцию artanh , быстрота w, соответствующая скорости v, равна w = artanh( v / c ), где c — скорость света. Для низких скоростей w приблизительно равна v / c . Поскольку в теории относительности любая скорость v ограничена интервалом − c < v < c, отношение v / c удовлетворяет −1 < v / c < 1 . Обратный гиперболический тангенс имеет единичный интервал (−1, 1) для своей области определения и всю вещественную прямую для своего образа ; то есть интервал − c < v < c отображается на −∞ < w < ∞ .

История

В 1908 году Герман Минковский объяснил, как преобразование Лоренца можно рассматривать просто как гиперболическое вращение пространственно -временных координат , т. е. вращение на мнимый угол. ^[1] Таким образом, этот угол представляет собой (в одном пространственном измерении) простую аддитивную меру скорости между системами отсчета. ^[2] Параметр быстроты, заменяющий скорость, был введен в 1910 году Владимиром Варичаком ^[3] и Э. Т. Уиттакером . ^[4] Параметр был назван быстротой Альфредом Роббом ( 1911) ^[5] , и этот термин был принят многими последующими авторами, такими как Людвик Зильберштейн (1914), Фрэнк Морли (1936) и Вольфганг Риндлер (2001).

Площадь гиперболического сектора

Квадратура гиперболы xy = 1 Грегуара де Сен-Венсана установила натуральный логарифм как площадь гиперболического сектора или эквивалентную площадь против асимптоты. В теории пространства-времени связь событий светом делит вселенную на Прошлое, Будущее или Где-то еще на основе Здесь и Сейчас [ ^{необходимо разъяснение ]} . На любой линии в пространстве луч света может быть направлен влево или вправо. Возьмем ось x как события, пройденные правым лучом, а ^ось y как события левого луча. Тогда покоящаяся система отсчета имеет время вдоль диагонали x = y . Прямоугольная гипербола xy = 1 может использоваться для измерения скоростей (в первом квадранте). Нулевая скорость соответствует (1, 1) . Любая точка на гиперболе имеет координаты светового конуса, где w — быстрота, и равна площади гиперболического сектора от (1, 1) до этих координат. Многие авторы вместо этого ссылаются на единичную гиперболу , используя быстроту в качестве параметра, как в стандартной диаграмме пространства-времени . Там оси измеряются часами и линейкой, более привычными ориентирами и основой теории пространства-времени. Таким образом, описание быстроты как гиперболического параметра пространства-луча является ссылкой ^{[ требуется разъяснение ] на происхождение наших драгоценных} трансцендентных функций в семнадцатом веке и дополнением к диаграммам пространства-времени. ${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

усиление Лоренца

Быстрота w возникает в линейном представлении лоренцевского усиления как векторно-матричного произведения $${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}.}$$

Матрица Λ ( w ) имеет тип с p и q, удовлетворяющий p ² – q ² = 1 , так что ( p , q ) лежит на единичной гиперболе . Такие матрицы образуют неопределенную ортогональную группу O(1,1) с одномерной алгеброй Ли, натянутой на антидиагональную единичную матрицу, показывая, что быстрота является координатой на этой алгебре Ли. Это действие можно изобразить на пространственно-временной диаграмме . В матричной экспоненциальной записи Λ ( w ) можно выразить как , где Z является отрицательным значением антидиагональной единичной матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}$ $${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$

Ключевым свойством матричной экспоненты является , из которого немедленно следует, что Это устанавливает полезное аддитивное свойство быстроты: если A , B и C являются системами отсчета , то где w _PQ обозначает быстроту системы отсчета Q относительно системы отсчета P. Простота этой формулы контрастирует со сложностью соответствующей формулы сложения скоростей . ${\displaystyle e^{\mathbf {X} (s+t)}=e^{\mathbf {X} s}e^{\mathbf {X} t}}$ $${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2}).}$$ $${\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}},}$$

Как мы можем видеть из приведенного выше преобразования Лоренца, фактор Лоренца совпадает с cosh w, поэтому быстрота w неявно используется как гиперболический угол в выражениях преобразования Лоренца с использованием γ и β . Мы связываем быстроты с формулой сложения скоростей , распознавая и, таким образом, $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w,}$$ $${\displaystyle u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}}$$ $${\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}$$ $${\displaystyle \tanh w={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}=\tanh(w_{1}+w_{2})}$$

Собственное ускорение (ускорение, «ощущаемое» ускоряемым объектом) — это скорость изменения быстроты относительно собственного времени (времени, измеренного самим объектом, подвергающимся ускорению). Таким образом, быстрота объекта в данной системе отсчета может рассматриваться просто как скорость этого объекта, которая была бы рассчитана нерелятивистски инерциальной системой наведения на борту самого объекта, если бы он ускорился из состояния покоя в этой системе отсчета до своей заданной скорости.

Произведение β и γ появляется часто и следует из приведенных выше аргументов. $${\displaystyle \beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w}$$

Экспоненциальные и логарифмические отношения

Из приведенных выше выражений имеем и, таким образом , или явно $${\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}},}$$ $${\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.}$$ $${\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.}$$

Фактор доплеровского сдвига, связанный с быстротой w, равен . ${\displaystyle k=e^{w}}$

В экспериментальной физике элементарных частиц

Энергия E и скалярный импульс | p | частицы с ненулевой (массой покоя) m определяются по формуле: С учетом определения w и, следовательно, с учетом энергии и скалярного импульса можно записать следующее: $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}\\\left|\mathbf {p} \right|&=\gamma mv.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}},}$$ $${\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }$$ $${\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}\cosh w\\\left|\mathbf {p} \right|&=mc\,\sinh w.\end{aligned}}}$$

Итак, быстроту можно рассчитать из измеренной энергии и импульса: $${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.}$$

Однако физики-экспериментаторы, изучающие элементарные частицы, часто используют модифицированное определение быстроты относительно оси пучка , где p _z — это компонент импульса вдоль оси пучка. ^[6] Это быстрота ускорения вдоль оси пучка, которая переводит наблюдателя из лабораторной системы отсчета в систему, в которой частица движется только перпендикулярно пучку. С этим связана концепция псевдобыстроты . $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},}$$

Скорость относительно оси луча также можно выразить как $${\displaystyle y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.}$$

Смотрите также

• Бонди k-исчисление
• преобразование Лоренца
• Псевдобыстрота
• Правильная скорость
• Теория относительности

Примечания и ссылки

1. Герман Минковский (1908) Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах через Wikisource
2. Зоммерфельд, Phys. Z 1909
3. Владимир Варичак (1910) Применение геометрии Лобачевского в теории относительности Physikalische Zeitschrift через Wikisource
4. ET Whittaker (1910) История теорий эфира и электричества , стр. 441.
5. Альфред Робб (1911) Оптическая геометрия движения , стр. 9
6. Амслер, К. и др. , «Обзор физики элементарных частиц», Physics Letters B 667 (2008) 1, раздел 38.5.2

• Владимир Варичак (1910, 1912, 1924), см. Владимир Варичак # Публикации.
• Уиттекер, Эдмунд Тейлор (1910). История теорий эфира и электричества . стр. 441.
• Робб, Альфред (1911). Оптическая геометрия движения, новый взгляд на теорию относительности. Кембридж: Heffner & Sons.
• Эмиль Борель (1913), La théorie de la relativité et la cinématique (на французском языке), Comptes rendus de l'Académie des Sciences , Париж: том 156, страницы 215–218; том 157, страницы 703-705
• Зильберштейн, Людвик (1914). Теория относительности. Лондон: Macmillan & Co.
• Владимир Карапетов (1936), «Ограниченная теория относительности в терминах гиперболических функций быстрот», American Mathematical Monthly , том 43, стр. 70.
• Фрэнк Морли (1936), «Когда и где», The Criterion , под редакцией Томаса Стернса Элиота , том 15, страницы 200-209.
• Вольфганг Риндлер (2001) Относительность: специальная, общая и космологическая , стр. 53, Oxford University Press .
• Шоу, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп , том 1, стр. 229, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 . 
• Уолтер, Скотт (1999). «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» (PDF) . В Джереми Джон Грей (ред.). Символическая Вселенная: геометрия и физика . Oxford University Press. стр. 91–127. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-10-16 . Получено 2009-01-08 .(см. стр. 17 электронной ссылки)
• Rhodes, John A.; Semon, Mark D. (2004). «Пространство релятивистских скоростей, вращение Вигнера и прецессия Томаса». American Journal of Physics . 72 (7): 90–93. arXiv : gr-qc/0501070 . Bibcode :2004AmJPh..72..943R. doi :10.1119/1.1652040. S2CID  14764378.
• Джексон, Джон Дэвид (1999) [1962]. "Глава 11". Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.