Вариационный принцип Люка

В динамике жидкости вариационный принцип Люка представляет собой вариационное описание Лагранжа движения поверхностных волн на жидкости со свободной поверхностью под действием силы тяжести . Этот принцип назван в честь Дж. К. Люка, который опубликовал его в 1967 году. ^[1] Этот вариационный принцип предназначен для несжимаемых и невязких потенциальных потоков и используется для вывода приближенных волновых моделей, таких как уравнение слабого наклона , ^[2] или с использованием усредненного лагранжева подхода для распространения волн в неоднородных средах. ^[3]

Формулировка Лагранжа Люка также может быть преобразована в формулу Гамильтона в терминах возвышения поверхности и потенциала скорости на свободной поверхности. ^[4]^[5]^[6] Это часто используется при моделировании эволюции спектральной плотности свободной поверхности при волнении моря , иногда называемом волновой турбулентностью .

Формулировки Лагранжа и Гамильтона можно расширить, включив в них эффекты поверхностного натяжения , а также, используя потенциалы Клебша , включить в них вихреобразование . ^[1]

Лагранжиан Люка

Формулировка Лагранжа Люка предназначена для нелинейных поверхностных гравитационных волн в несжимаемом , безвихревом и невязком потенциальном потоке .

Соответствующие ингредиенты, необходимые для описания этого потока, следующие:

$Φ(x, z, t)$ — потенциал скорости ,
$ρ —$ плотность жидкости ,
$g$ - ускорение силы тяжести Земли ,
$x$ — горизонтальный вектор координат с компонентами $x$ и $y$ ,
$x$ и $y$ — горизонтальные координаты,
$z$ — вертикальная координата,
$t$ — это время, и
$\nabla$ — оператор горизонтального градиента , поэтому $\nablaΦ$ — скорость горизонтального потока, состоящая из $\partialΦ/\partial x$ и $\partialΦ/\partial y$ ,
$V (t)$ — зависящая от времени область жидкости со свободной поверхностью.

Лагранжиан , как его определил Люк, равен: ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\iiint _{V(t)}\rho \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+g\,z\right]\,\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z\right\}\mathrm {d} t.$

Из принципа Бернулли можно видеть, что этот лагранжиан является интегралом давления жидкости по всей зависящей от времени области жидкости $V (t)$ . Это согласуется с вариационными принципами для невязкого течения без свободной поверхности, найденными Гарри Бейтманом . ^[7]

Изменение относительно потенциала скорости $Φ(x, z, t)$ и свободно движущихся поверхностей, таких как $z = η (x, t),$ приводит к уравнению Лапласа для потенциала внутри жидкости и всем требуемым граничным условиям : кинематические граничные условия на всех границах жидкости и динамические граничные условия на свободных поверхностях. ^[8] Это может также включать движущиеся стенки волнообразователя и движение судна.

Для случая горизонтально неограниченной области со свободной поверхностью жидкости при $z = η (x, t)$ и неподвижным слоем при $z = - h (x)$ вариационный принцип Люка приводит к лагранжиану: ${\mathcal {L}}=-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\rho \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;\mathrm {d} z\;+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t.$

Член уровня дна, пропорциональный $h 2$ в потенциальной энергии, был проигнорирован, поскольку он является константой и не вносит вклад в вариации. Ниже вариационный принцип Люка используется для получения уравнений потока для нелинейных поверхностных гравитационных волн в потенциальном потоке.

Вывод уравнений потока, следующих из вариационного принципа Люка

Изменение лагранжиана относительно изменения потенциала скорости Φ( x , z , t ), а также относительно возвышения поверхности $η$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ должно быть равно нулю. Рассмотрим оба изменения последовательно. $\delta {\mathcal {L}}=0$

Изменение относительно потенциала скорости

Рассмотрим небольшое изменение $δ Φ$ в потенциале скорости $Φ$ . ^[8] Тогда результирующее изменение в лагранжиане равно: ${\begin{aligned}\delta _{\Phi }{\mathcal {L}}\,&=\,{\mathcal {L}}(\Phi +\delta \Phi ,\eta )\,-\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta )\\&=\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\rho \,\left({\frac {\partial (\delta \Phi )}{\partial t}}+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}(\delta \Phi )+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\frac {\partial (\delta \Phi )}{\partial z}}\,\right)\;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

Используя интегральное правило Лейбница , в случае постоянной плотности $ρ$ это становится : ^[8] ${\begin{aligned}\delta _{\Phi }{\mathcal {L}}\,=\,&-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;\mathrm {d} z\;+\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)\;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=-h({\boldsymbol {x}})}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\=\,&0.\end{aligned}}$

Первый интеграл в правой части интегрируется до границ, по $x$ и $t$ , области интегрирования и равен нулю, поскольку вариации $δ Φ$ принимаются равными нулю на этих границах. Для вариаций $δ Φ ,$ которые равны нулю на свободной поверхности и дне, остается второй интеграл, который равен нулю только для произвольного $δ Φ$ внутри жидкости, если там выполняется уравнение Лапласа : при $Δ = \nabla \cdot \nabla + \partial$ $2$ $/\partial$ $z$ $2$ оператор Лапласа . $\Delta \Phi \,=\,0\qquad {\text{ for }}-h({\boldsymbol {x}})\,<\,z\,<\,\eta ({\boldsymbol {x}},t),$

Если рассмотреть вариации $δ Φ, которые отличны от нуля только на свободной поверхности, то останется только третий интеграл, что приводит к кинематическому граничному условию свободной поверхности:$ ${\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0.\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).$

Аналогично, вариации $δ Φ,$ отличные от нуля только на дне $z = - h,$ приводят к кинематическому состоянию слоя: ${\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,-h({\boldsymbol {x}}).$

Изменение относительно высоты поверхности

Рассматривая изменение лагранжиана относительно малых изменений $δη,$ получаем: $\delta _{\eta }{\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta +\delta \eta )\,-\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta )=\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\rho \,\delta \eta \,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \right)\,\right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\,=\,0.$

Это должно быть равно нулю для произвольного $δη$ , что приводит к динамическому граничному условию на свободной поверхности: ${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).$

Это уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока, примененное на свободной поверхности, причем давление над свободной поверхностью является постоянным (при этом для простоты постоянное давление принимается равным нулю).

Гамильтонова формулировка

Гамильтонова структура поверхностных гравитационных волн на потенциальном потоке была открыта Владимиром Е. Захаровым в 1968 году и переоткрыта независимо Бертом Броэром и Джоном Майлзом : ^{[4] [}5 ^]^[6] где возвышение поверхности $η$ и поверхностный потенциал $φ$ — который является потенциалом $Φ$ на свободной поверхности $z$ $=$ $η$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ — являются каноническими переменными . Гамильтониан представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии жидкости: ${\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}$ ${\mathcal {H}}(\varphi ,\eta )$ ${\mathcal {H}}\,=\,\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left[\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\,\mathrm {d} z\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}.$

Дополнительным ограничением является то, что поток в области жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа с соответствующим граничным условием внизу $z = - h (x)$ и что потенциал на свободной поверхности $z = η$ равен $φ$ : $\delta {\mathcal {H}}/\delta \Phi \,=\,0.$

Связь с формулировкой Лагранжа

Формулировка Гамильтона может быть получена из описания Лагранжа Люка с использованием интегрального правила Лейбница для интеграла $\partialΦ/\partial t$ : ^[6] со значением потенциала скорости на свободной поверхности и плотностью Гамильтона — суммой плотности кинетической и потенциальной энергии — и связана с Гамильтонианом следующим образом: ${\mathcal {L}}_{H}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\,{\frac {\partial \eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}\,-\,H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t,$ $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)=\Phi ({\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t)$ $H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)$ ${\mathcal {H}}(\varphi ,\eta )\,=\,\iint H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}.$

Плотность гамильтониана записывается через поверхностный потенциал с использованием третьего тождества Грина для кинетической энергии: ^[9]

$H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,{\sqrt {1\,+\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right|^{2}}}\;\;\varphi \,{\bigl (}D(\eta )\;\varphi {\bigr )}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},$

где $D (η) φ$ равна нормальной производной $\partialΦ/\partial n$ на свободной поверхности. Из-за линейности уравнения Лапласа — справедливого во внутренней части жидкости и зависящего от граничного условия на слое $z = - h$ и свободной поверхности $z = η$ — нормальная производная $\partialΦ/\partial n$ является линейной функцией поверхностного потенциала $φ$ , но нелинейно зависит от возвышения поверхности $η$ . Это выражается оператором Дирихле -Неймана $D (η)$ , действующим линейно на $φ$ .

Плотность гамильтониана также можно записать как: ^[6] с $w$ $($ $x$ $,$ $t$ $) = \partialΦ/\partial$ $z$ вертикальной скоростью на свободной поверхности $z$ $=$ $η$ . Также $w$ является линейной функцией поверхностного потенциала $φ$ через уравнение Лапласа, но $w$ зависит нелинейно от возвышения поверхности $η$ : ^[9] с $W,$ действующим линейно по $φ$ , но нелинейно по $η$ . В результате гамильтониан является квадратичным функционалом поверхностного потенциала $φ$ . Также часть потенциальной энергии гамильтониана является квадратичной. Источником нелинейности в поверхностных гравитационных волнах является кинетическая энергия, зависящая нелинейно от формы свободной поверхности $η$ . ^[9] $H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\varphi \,{\Bigl [}w\,\left(1\,+\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right|^{2}\right)-\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,\varphi {\Bigr ]}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},$ $w\,=\,W(\eta )\,\varphi ,$

Далее $\nabla φ$ не следует путать с горизонтальной скоростью $\nablaΦ$ на свободной поверхности:

${\boldsymbol {\nabla }}\varphi \,=\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\bigl (}{\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t{\bigr )}\,=\,\left[{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,=\,{\Bigl [}{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\Bigr ]}_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,+\,w\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta .$

Принимая во внимание вариации лагранжиана относительно канонических переменных , получаем: при условии, что внутри жидкости $Φ$ удовлетворяет уравнению Лапласа, $ΔΦ = 0$ , а также нижнему граничному условию при $z$ $= -$ $h$ и $Φ =$ $φ$ на свободной поверхности. ${\mathcal {L}}_{H}$ $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ $\eta ({\boldsymbol {x}},t)$ ${\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}$

Ссылки и примечания

^ ab JC Luke (1967). "Вариационный принцип для жидкости со свободной поверхностью". Журнал механики жидкости . 27 (2): 395–397. Bibcode :1967JFM....27..395L. doi :10.1017/S0022112067000412. S2CID 123409273.
^ MW Dingemans (1997). Распространение волн на воде над неровным дном . Расширенная серия по океанической инженерии. Том 13. Сингапур: World Scientific . стр. 271. ISBN 981-02-0427-2.
^ GB Whitham (1974). Линейные и нелинейные волны . Wiley-Interscience . стр. 555. ISBN 0-471-94090-9.
^ ab VE Zakharov (1968). "Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости". Журнал прикладной механики и технической физики . 9 (2): 190–194. Bibcode :1968JAMTP...9..190Z. doi :10.1007/BF00913182. S2CID 55755251.Впервые опубликовано в журнале «Прилдадной механики и технической физики» 9 (2): 86–94, 1968.
^ ab LJF Broer (1974). «О гамильтоновой теории поверхностных волн». Прикладные научные исследования . 29 : 430–446. doi :10.1007/BF00384164.
^ abcd JW Miles (1977). «О принципе Гамильтона для поверхностных волн». Журнал механики жидкости . 83 (1): 153–158. Bibcode : 1977JFM....83..153M. doi : 10.1017/S0022112077001104. S2CID 121777750.
^ H. Bateman (1929). «Заметки о дифференциальном уравнении, которое возникает при двумерном движении сжимаемой жидкости, и связанных с ним вариационных задачах». Труды Королевского общества Лондона A . 125 (799): 598–618. Bibcode :1929RSPSA.125..598B. doi : 10.1098/rspa.1929.0189 .
^ abc GW Whitham (1974). Линейные и нелинейные волны . Нью-Йорк: Wiley . С. 434–436. ISBN 0-471-94090-9.
^ abc DM Milder (1977). "Заметка о: "О принципе Гамильтона для поверхностных волн"". Журнал механики жидкости . 83 (1): 159–161. Bibcode : 1977JFM....83..159M. doi : 10.1017/S0022112077001116. S2CID 123609842.