Вейвлет Морле

Вейвлет с гауссовским окном

Вейвлет Морле с действительным знаком

Комплексный вейвлет Морле

В математике вейвлет Морле (или вейвлет Габора ) ^[1] — это вейвлет , состоящий из комплексной экспоненты ( несущей ), умноженной на гауссово окно (огибающую). Этот вейвлет тесно связан с человеческим восприятием, как слухом ^[2], так и зрением. ^[3]

История

В 1946 году физик Деннис Габор , применив идеи квантовой физики , ввёл использование синусоидов с гауссовскими окнами для частотно-временного разложения, которые он назвал атомами и которые обеспечивают лучший компромисс между пространственным и частотным разрешением. ^[1] Они используются в преобразовании Габора , типе кратковременного преобразования Фурье . ^[2] В 1984 году Жан Морле представил работу Габора сейсмологическому сообществу и вместе с Гупийо и Гроссманном модифицировал ее, чтобы сохранить ту же форму вейвлета на равных октавных интервалах, что привело к первой формализации непрерывного вейвлет-преобразования . ^[4]

Определение

Вейвлет определяется как константа, вычтенная из плоской волны и затем локализованная гауссовским окном : [ ^5] ${\displaystyle \kappa _{\sigma }}$

${\displaystyle \Psi _{\sigma }(t)=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}(e^{i\sigma t}-\kappa _{\sigma })}$

где определяется критерием допустимости, а константа нормировки равна: ${\displaystyle \kappa _{\sigma }=e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$ ${\displaystyle c_{\sigma }}$

${\displaystyle c_{\sigma }=\left(1+e^{-\sigma ^{2}}-2e^{-{\frac {3}{4}}\sigma ^{2}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Преобразование Фурье вейвлета Морле:

${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left(e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma -\omega )^{2}}-\kappa _{\sigma }e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}\right)}$

«Центральная частота» — это положение глобального максимума , которое в данном случае определяется положительным решением: ${\displaystyle \omega _{\Psi }}$ ${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )}$

${\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma {\frac {1}{1-e^{-\sigma \omega _{\Psi }}}}}$^{[ нужна цитата ]}

который можно решить с помощью итерации с фиксированной точкой, начиная с (итерации с фиксированной точкой сходятся к единственному положительному решению для любого начального ). ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma }$ ${\displaystyle \omega _{\Psi }>0}$

Параметр вейвлета Морле позволяет менять разрешение по времени и частоте. Обычно ограничение используется, чтобы избежать проблем с вейвлетом Морле на низком уровне (высокое временное разрешение). ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma >5}$ ${\displaystyle \sigma }$

Для сигналов, содержащих только медленно меняющиеся частотные и амплитудные модуляции (например, аудио), нет необходимости использовать малые значения . В этом случае становится очень малым (например ) и поэтому им часто пренебрегают. При этом ограничении частота вейвлета Морле обычно принимается равной . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma >5\quad \Rightarrow \quad \kappa _{\sigma }<10^{-5}\,}$ ${\displaystyle \sigma >5}$ ${\displaystyle \omega _{\Psi }\simeq \sigma }$

Вейвлет существует как комплексная версия, так и чисто вещественная версия. Некоторые различают «настоящего Морле» и «сложного Морле». ^[6] Другие считают, что комплексная версия - это «вейвлет Габора», а версия с действительным знаком - «вейвлет Морле». ^{[7] [8]}

Использование

Использование в медицине

В визуализации магнитно-резонансной спектроскопии метод вейвлет-преобразования Морле предлагает интуитивно понятный мост между информацией о частоте и времени, который может прояснить интерпретацию сложных спектров травм головы, полученных с помощью преобразования Фурье . Однако вейвлет-преобразование Морле не предназначено для замены преобразования Фурье, а, скорее, является дополнением, которое обеспечивает качественный доступ к изменениям, связанным со временем, и использует преимущества множества измерений, доступных в анализе затухания свободной индукции . ^[9]

Применение вейвлет-анализа Морле также используется для выявления аномального поведения сердцебиения на электрокардиограмме (ЭКГ). Поскольку изменение аномального сердцебиения является нестационарным сигналом, этот сигнал подходит для вейвлет-анализа.

Использование в музыке

Вейвлет-преобразование Морле используется при оценке высоты тона и может дать более точные результаты, чем методы преобразования Фурье. ^[10] Вейвлет-преобразование Морле способно захватывать короткие пакеты повторяющихся и чередующихся музыкальных нот с четким временем начала и окончания для каждой ноты. ^{[ нужна цитата ]}

Был предложен модифицированный вейвлет морле для извлечения мелодии из полифонической музыки. ^[11] Эта методика предназначена для обнаружения закрытых частот. Вейвлет-преобразование Морле способно улавливать музыкальные ноты, а соотношение масштаба и частоты представляется следующим образом:

${\displaystyle f_{a}={f_{c} \over a\times T}}$

где – псевдочастота для масштабирования , – центральная частота и – время выборки. ${\displaystyle f_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle T}$

Вейвлет Морле модифицируется следующим образом:

${\displaystyle \Psi (t)=e^{-|{t \over k}|}cos(2\pi t)}$

и его преобразование Фурье:

${\displaystyle F[\Psi (t)]={1 \over {4\pi ^{2}f^{2}+1}}[\delta (f-2\pi )+\delta (f+2\pi )]}$

Приложение

• Сигналы с изменяющимися во времени частотами являются распространенной характеристикой неисправностей вращающихся машин, что делает вейвлет Морле подходящим подходом для выполнения анализа. Адаптировав вейвлет Морле, система может повысить свою способность улавливать незначительные изменения и отклонения в сигналах оборудования, которые могут указывать на неисправности. Адаптивность вейвлета Морле обеспечивает надежный метод предварительной обработки входных сигналов, тем самым гарантируя, что система сможет эффективно обрабатывать изменяющиеся частоты, связанные с различными состояниями неисправности. ^[12]
• Рассматривая вейвлет Морле как нейронную сеть, исследователи стремятся повысить чувствительность и точность мер профилактики ВИЧ. Нейронная сеть, основанная на вейвлете Морле, предназначена для распознавания сложных закономерностей, указывающих на потенциальный риск или уязвимость ВИЧ. Адаптивность нейронной сети Морле на основе вейвлетов и ее интеграция с существующими стратегиями знаменуют собой значительный шаг вперед в текущих усилиях по борьбе с эпидемией ВИЧ. ^[13]
• Вейвлет Морле, известный своей универсальностью при анализе сигналов и способностью адаптироваться к нелинейным системам, служит ключевым компонентом системы роговицы, связанной с хирургией глаза. Традиционные численные методы могут с трудом охватить тонкости таких систем, что делает необходимыми инновационные подходы. Искусственная нейронная сеть вейвлета Морле становится многообещающим инструментом благодаря ее способности эффективно справляться с нелинейностями и обеспечивать точные численные решения. ^[14]
• Исследователи используют вейвлет-преобразование Морле для извлечения значимых характеристик из сигналов сверхширокополосных (СШП) систем позиционирования, признавая его эффективность в сохранении временных и спектральных характеристик. Этот преобразующий шаг в предварительной обработке закладывает основу для надежной классификации в пределах прямой видимости (LOS) и вне прямой видимости (NLOS). Вейвлет Морле имеет превосходство над традиционными методами в захвате сложных характеристик сигнала, что в значительной степени способствует общему успеху системы идентификации LOS/NLOS. ^[15]
• Комбинируя вейвлет-фильтрацию Морле с фазовым анализом, он позволяет улучшить соотношение сигнал/шум и впоследствии снизить предел обнаружения (LOD) тонкопленочных оптических биосенсоров. Процесс вейвлет-фильтрации Морле включает преобразование выходного сигнала датчика в частотную область. Путем свертки сигнала с вейвлетом Морле, который представляет собой сложную синусоидальную волну с гауссовой огибающей, этот метод позволяет извлечь из сигнала соответствующие частотные компоненты. Этот процесс особенно выгоден для анализа сигналов с нестационарными и изменяющимися во времени характеристиками, что делает его хорошо подходящим для приложений биосенсорства, где целевые концентрации аналита могут меняться со временем. ^[16]

Смотрите также

• Преобразование с постоянной Q
• Вейвлет Габора

Рекомендации

1. Первичный набросок Габора для визуального внимания в реальном времени «Ядро Габора удовлетворяет условию допустимости для вейвлетов, поэтому подходит для анализа с несколькими разрешениями. Помимо масштабного коэффициента, оно также известно как вейвлет Морлета».
2. Маллат, Стефан (18 сентября 2009 г.). «Частотно-временные словари». Вейвлет-тур по обработке сигналов, разреженный путь.
3. Дж. Г. Даугман . Отношение неопределенности для разрешения в пространстве, пространственной частоте и ориентации, оптимизированное с помощью двумерных зрительных кортикальных фильтров. Журнал Оптического общества Америки A , 2(7):1160–1169, июль 1985 г.
4. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 июня 2013 г. Проверено 12 мая 2012 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
5. Джон Эшмид (2012). «Вейвлеты Морле в квантовой механике». Кванта . 1 (1): 58–70. arXiv : 1001.0250 . дои : 10.12743/quanta.v1i1.5. S2CID  73526961.
6. "Семейства вейвлетов Matlab". Архивировано из оригинала 10 августа 2019 г.
7. Документация Mathematica: GaborWavelet
8. Документация Mathematica: MorletWavelet
9. http://cds.ismrm.org/ismrm-2001/PDF3/0822.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
10. Кумар, Нирадж; Кумар, Раубин (29 января 2020 г.). «Оценка многотональности на основе вейвлет-преобразования в полифонической музыке». Гелион . 6 (1): e03243. Бибкод : 2020Heliy...603243K. дои : 10.1016/j.heliyon.2020.e03243 . ISSN  2405-8440. ПМК 7000807 . ПМИД  32042974. 
11. Кумар, Нирадж; Кумар, Раубин; Мурму, Говинд; Сети, Прабира Кумар (01 февраля 2021 г.). «Извлечение мелодии из полифонической музыки с использованием модифицированного вейвлета морле». Микропроцессоры и микросистемы . 80 : 103612. doi : 10.1016/j.micpro.2020.103612. ISSN  0141-9331.
12. Шао, Хайдун; Ся, Мин; Ван, Цзяфу; Кларенс, В. де Сильва (февраль 2022 г.). «Модифицированный составной автоэнкодер с использованием адаптивного вейвлета Морлета для интеллектуальной диагностики неисправностей вращающегося оборудования». Транзакции IEEE/ASME по мехатронике . 27 : 24–33. дои : 10.1109/TMECH.2021.3058061.
13. Зулкурнайн, Сабир; Мухаммад, Умар; Мухаммад, Асиф Захур Раджа; Хаджи, Мехмет Басконус; Гао, Вэй (2022). «Разработка вейвлета Морле как нейронной сети для новой категории профилактики в системе ВИЧ». Международный журнал биоматематики . 15 (4). дои : 10.1142/S1793524522500127.
14. Ван, Б.О.; Дж. Ф. Гомес-Агилар; Зулькурнайн Сабир; Мухаммад Асиф Захур Раджа; Вэй-Фэн Ся; ХАДИ Джаханшахи; Мадини О. Алассафи; Фаваз Э. Альсаади (2022 г.). «Численные вычисления для решения нелинейной системы роговицы в хирургии глаза с использованием возможностей искусственных нейронных сетей вейвлетов Морле». Фракталы . 30 (5): 2240147–2240353. Бибкод : 2022Fract..3040147W. дои : 10.1142/S0218348X22401478 .
15. З. Кюи; Ю. Гао; Дж. Ху; С. Тиан; Дж. Ченг (март 2021 г.). «Идентификация LOS/NLOS для позиционирования UWB в помещении на основе вейвлет-преобразования Морле и сверточных нейронных сетей». Коммуникационные письма IEEE . 25 (3): 879–882. дои : 10.1109/LCOMM.2020.3039251.
16. Саймон Дж. Уорд; Рабеб Лаюни; София Аршавская-Грэм; Эстер Сигал; Шэрон М. Вайс (2021). «Вейвлет-фильтрация Морле и фазовый анализ для снижения предела обнаружения тонкопленочных оптических биосенсоров». Датчики СКУД . 6 (8): 2967–2978. doi : 10.1021/acsensors.1c00787. ПМЦ 8403169 . ПМИД  34387077. 

• П. Гупийо, А. Гроссман и Ж. Морле. Цикл-октава и связанные с ней преобразования в анализе сейсмических сигналов . Георазведка, 23:85-102, 1984 г.
• Н. Дельпра, Б. Эскудье, П. Гиймен, Р. Кронланд-Мартине, П. Чамитчян и Б. Торресани. Асимптотический вейвлет и анализ Габора: извлечение мгновенных частот. IEEE Транс. Инф. Т., 38:644-664, 1992 г.