В математике ориентация вещественного векторного расслоения является обобщением ориентации векторного пространства ; таким образом, для реального векторного расслоения π: E → B ориентация E означает: для каждого слоя E x существует ориентация векторного пространства E x и требуется, чтобы каждое отображение тривиализации (которое является отображением расслоения)
послойно сохраняет ориентацию, где R n задана стандартная ориентация . В более сжатых терминах это говорит о том, что структурная группа расслоения реперов E , которая является вещественной общей линейной группой GL n ( R ), может быть сведена к подгруппе, состоящей из групп с положительным определителем .
Если E — вещественное векторное расслоение ранга n , то выбор метрики на E сводится к приведению структурной группы к ортогональной группе O ( n ). В этой ситуации ориентация E представляет собой редукцию от O ( n ) к специальной ортогональной группе SO ( n ).
Векторное расслоение вместе с ориентацией называется ориентированным расслоением . Векторное расслоение, которому можно задать ориентацию, называется ориентируемым векторным расслоением .
Базовым инвариантом ориентированного расслоения является класс Эйлера . Умножение (то есть чашечное произведение) на класс Эйлера ориентированного расслоения приводит к последовательности Гайзина .
Комплексное векторное расслоение ориентировано каноническим образом.
Понятие ориентации векторного расслоения обобщает ориентацию дифференцируемого многообразия : ориентация дифференцируемого многообразия есть ориентация его касательного расслоения . В частности, дифференцируемое многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его касательное расслоение ориентируемо как векторное расслоение. (примечание: касательное расслоение как многообразие всегда ориентируемо.)
Придать ориентацию вещественному векторному расслоению E ранга n — значит придать ориентацию (вещественному) детерминантному расслоению E . Аналогично, придать ориентацию E — значит придать ориентацию расслоению единичных сфер E.
Точно так же, как вещественное векторное расслоение классифицируется действительным бесконечным грассманианом , ориентированные расслоения классифицируются бесконечным грассманианом ориентированных вещественных векторных пространств.
С когомологической точки зрения для любого кольца Λ Λ-ориентация вещественного векторного расслоения E ранга n означает выбор (и существование) класса
в кольце когомологий пространства Тома T ( E ) такое, что u порождает как свободный -модуль глобально и локально: т. е.
является изоморфизмом (называемым изоморфизмом Тома ), где «тильда» означает приведенные когомологии , которые ограничиваются каждым изоморфизмом
вызванное тривиализацией . С помощью некоторой работы можно показать, что обычное понятие ориентации совпадает с Z -ориентацией.
