Векторный потенциал

Математическая концепция векторного исчисления

В векторном исчислении векторный потенциал — это векторное поле , ротор которого — заданное векторное поле. Это аналогично скалярному потенциалу , который является скалярным полем, градиент которого — заданное векторное поле.

Формально, если задано векторное поле , векторный потенциал — это векторное поле такое, что ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Последствие

Если векторное поле допускает векторный потенциал , то из равенства ( дивергенция ротора равна нулю) получаем что означает, что должно быть соленоидальным векторным полем . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Теорема

Пусть будет соленоидальным векторным полем , которое дважды непрерывно дифференцируемо . Предположим, что убывает по крайней мере так же быстро, как для . Определим , где обозначает ротор относительно переменной . Тогда — векторный потенциал для . То есть, $${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} }$$ ${\displaystyle \nabla _{y}\times }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$$

Интегральная область может быть ограничена любой односвязной областью . То есть, также является векторным потенциалом , где ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle \mathbf {A'} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$$

Обобщением этой теоремы является теорема Гельмгольца о разложении , которая утверждает, что любое векторное поле можно разложить в сумму соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля .

По аналогии с законом Био-Савара , также квалифицируется как векторный потенциал для , где ${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )\times (\mathbf {x} -\mathbf {y} )}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{3}}}d^{3}\mathbf {y} }$.

Подставляя ( плотность тока ) вместо и ( H-поле ) вместо , получаем закон Био-Савара. ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Пусть — звездная область с центром в точке , где . Применяя лемму Пуанкаре для дифференциальных форм к векторным полям, тогда также — векторный потенциал для , где ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {x} -\mathbf {p} )\times (\mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1-s)\mathbf {p} ))\ ds}$

Неединственность

Векторный потенциал, допускаемый соленоидальным полем, не является единственным. Если — векторный потенциал для , то таковым является , где — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это следует из того факта, что ротор градиента равен нулю. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}$$ ${\displaystyle f}$

Эта неоднозначность приводит к некоторой степени свободы в формулировке электродинамики, или калибровочной свободе, и требует выбора калибровки .

Смотрите также

• Основная теорема векторного исчисления
• Магнитный векторный потенциал
• Соленоидальное векторное поле
• Замкнутые и точные дифференциальные формы

Ссылки

• Основы инженерной электромагнетизма Дэвида К. Ченга, Эддисон-Уэсли, 1993.