Векторная дифференциальная форма

В математике векторнозначная дифференциальная форма на многообразии M — это дифференциальная форма на M со значениями в векторном пространстве V. В более общем смысле, это дифференциальная форма со значениями в некотором векторном расслоении E над M. Обычные дифференциальные формы можно рассматривать как R -значные дифференциальные формы.

Важным случаем векторнозначных дифференциальных форм являются формы со значениями алгебры Ли . ( Примером такой формы является форма связи .)

Определение

Пусть M — гладкое многообразие , а E → M — гладкое векторное расслоение над M. Обозначим пространство гладких сечений расслоения E через Γ( E ). E -значная дифференциальная форма степени p — это гладкое сечение тензорного произведения расслоения E с Λ ^p ( T ^∗ M ), p -й внешней степенью кокасательного расслоения M . Пространство таких форм обозначается как

${\displaystyle \Omega ^{p}(M,E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).}$

Поскольку Γ является сильным моноидальным функтором , ^[1] это также можно интерпретировать как

${\displaystyle \Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

где последние два тензорных произведения являются тензорным произведением модулей над кольцом Ω ⁰ ( M ) гладких R -значных функций на M (см. седьмой пример здесь ). По соглашению, E -значная 0-форма является просто секцией расслоения E . То есть,

${\displaystyle \Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,}$

Эквивалентно, E -значная дифференциальная форма может быть определена как морфизм расслоения

${\displaystyle TM\otimes \cdots \otimes TM\to E}$

который полностью кососимметричен .

Пусть V — фиксированное векторное пространство . Дифференциальная форма степени p со значениями в V — это дифференциальная форма степени p со значениями в тривиальном расслоении M × V . Пространство таких форм обозначается Ω ^p ( M , V ). Когда V = R, восстанавливается определение обычной дифференциальной формы. Если V конечномерно, то можно показать, что естественный гомоморфизм

${\displaystyle \Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),}$

где первое тензорное произведение — векторных пространств над R , является изоморфизмом. ^[2]

Операции над векторнозначными формами

Откат

Можно определить обратный путь векторнозначных форм с помощью гладких отображений так же, как и для обычных форм. Обратная дорога E -значной формы на N с помощью гладкого отображения φ : M → N является (φ* E )-значной формой на M , где φ* E является расслоением обратной дороги E с помощью φ.

Формула дана так же, как и в обычном случае. Для любой E -значной p -формы ω на N пулбэк φ*ω задается как

${\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).}$

Клиновой продукт

Так же, как и для обычных дифференциальных форм, можно определить клиновое произведение векторнозначных форм. Клиновое произведение E ₁ -значной p -формы с E ₂ -значной q -формой, естественно, является ( E ₁ ⊗ E ₂ )-значной ( p + q )-формой:

${\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).}$

Определение такое же, как и для обычных форм, за исключением того, что действительное умножение заменяется тензорным произведением :

${\displaystyle (\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).}$

В частности, клиновое произведение обычной ( R -значной) p -формы с E -значной q -формой естественным образом является E -значной ( p + q )-формой (поскольку тензорное произведение E с тривиальным расслоением M × R естественно изоморфно E ). Для ω ∈ Ω ^p ( M ) и η ∈ Ω ^q ( M , E ) имеет место обычное соотношение коммутативности:

${\displaystyle \omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .}$

В общем случае, произведение двух E -значных форм не является другой E -значной формой, а скорее ( E ⊗ E )-значной формой. Однако, если E является расслоением алгебр (т. е. расслоением алгебр, а не просто векторных пространств), можно скомпоновать с умножением в E, чтобы получить E -значную форму. Если E является расслоением коммутативных ассоциативных алгебр , то с этим модифицированным произведением множество всех E -значных дифференциальных форм

${\displaystyle \Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)}$

становится градуированно-коммутативной ассоциативной алгеброй. Если слои E не коммутативны, то Ω( M , E ) не будет градуированно-коммутативной.

Внешняя производная

Для любого векторного пространства V существует естественная внешняя производная на пространстве V -значных форм. Это просто обычная внешняя производная, действующая покомпонентно относительно любого базиса V . Явно, если { e _α } является базисом для V , то дифференциал V -значной p -формы ω = ω ^α e _α задается как

${\displaystyle d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,}$

Внешняя производная на V -значных формах полностью характеризуется обычными соотношениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}}$

В более общем смысле, приведенные выше замечания применимы к E - значным формам, где E — любое плоское векторное расслоение над M (т.е. векторное расслоение, функции перехода которого постоянны). Внешняя производная определяется, как указано выше, на любой локальной тривиализации E.

Если E не является плоским, то нет естественного понятия внешней производной, действующей на формы со значениями E. Необходим выбор связности на E. Связность на E — это линейный дифференциальный оператор, переводящий сечения E в формы со значениями E :

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).}$

Если E снабжено связностью ∇, то существует единственная ковариантная внешняя производная

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)}$

расширение ∇. Ковариантная внешняя производная характеризуется линейностью и уравнением

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta }$

где ω — это E -значная p -форма, а η — это обычная q -форма. В общем случае не обязательно, чтобы d _∇ ² = 0. Фактически, это происходит тогда и только тогда, когда связность ∇ является плоской (т.е. имеет исчезающую кривизну ).

Базовые или тензорные формы на главных расслоениях

Пусть E → M — гладкое векторное расслоение ранга k над M , и пусть π  : F( E ) → M — ( ассоциированное ) расслоение фреймов E , которое является главным GL _k ( R ) расслоением над M . Обратный пул E с помощью π канонически изоморфен F( E ) × _ρ R ^k посредством обратного представления [ u , v ] → u ( v ), где ρ — стандартное представление. Следовательно, обратный пул с помощью π E -значной формы на M определяет R ^k -значную форму на F( E ). Несложно проверить, что эта обратная форма является правоэквивариантной относительно естественного действия GL _k ( R ) на F( E ) × R ^k и исчезает на вертикальных векторах (касательных векторах к F( E ), которые лежат в ядре d π ). Такие векторные формы на F( E ) достаточно важны, чтобы оправдать специальную терминологию: они называются базовыми или тензорными формами на F( E ).

Пусть π  : P → M — (гладкое) главное G -расслоение , а V — фиксированное векторное пространство вместе с представлением ρ  : G → GL( V ). Базисная или тензорная форма на P типа ρ — это V -значная форма ω на P , которая является эквивариантной и горизонтальной в том смысле, что

1. ${\displaystyle (R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,}$для всех g ∈ G и
2. ${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0}$всякий раз, когда хотя бы один из v _i является вертикальным (т.е. d π ( v _i ) = 0).

Здесь R _g обозначает правое действие G на P для некоторого g ∈ G. Заметим, что для 0-форм второе условие является пустым .

Пример: Если ρ — присоединенное представление G на алгебре Ли, то форма связности ω удовлетворяет первому условию (но не второму). Соответствующая форма кривизны Ω удовлетворяет обоим; следовательно, Ω — тензорная форма присоединенного типа. «Разность» двух форм связности — тензорная форма.

При заданных выше P и ρ можно построить ассоциированное векторное расслоение E = P × _ρ V . Тензорные q -формы на P находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с E -значными q -формами на M . Как и в случае главного расслоения F( E ) выше, при заданной q -форме на M со значениями в E , определим φ на P послойно, скажем, в точке u , ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}}$

где u рассматривается как линейный изоморфизм . Тогда φ является тензорной формой типа ρ. Наоборот, если задана тензорная форма φ типа ρ, та же формула определяет E -значную форму на M (ср. гомоморфизм Черна–Вейля ). В частности, существует естественный изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f}$.

Пример: Пусть E — касательное расслоение M. Тогда отображение тождественного расслоения id _E : E → E является E -значной единичной формой на M. Тавтологическая единичная форма — это уникальная единичная форма на расслоении фрейма E , которая соответствует id _E. Обозначаемая через θ, она является тензорной формой стандартного типа.

Теперь предположим, что на P есть связь , так что существует внешняя ковариантная дифференциация D на (различных) векторнозначных формах на P. Благодаря указанному выше соответствию D также действует на E -значные формы: определим ∇ как

${\displaystyle \nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.}$

В частности, для нуль-форм,

${\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)}$.

Это в точности ковариантная производная для связности на векторном расслоении E. ^[3]

Примеры

Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля . ^[4]

Примечания

1. "Глобальные сечения тензорного произведения векторных расслоений на гладком многообразии". math.stackexchange.com . Получено 27 октября 2014 г. .
2. Доказательство: Это можно проверить для p = 0, превратив базис для V в набор постоянных функций для V , что позволяет построить обратный гомоморфизм к указанному выше. Общий случай можно доказать, заметив, что

   ${\displaystyle \Omega ^{p}(M,V)=\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

   и поскольку является подкольцом Ω ⁰ ( M ) посредством постоянных функций, ${\displaystyle \mathbb {R} }$

   ${\displaystyle \Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).}$

3. Доказательство: для любой скалярнозначной тензорной нуль-формы f и любой тензорной нуль-формы φ типа ρ, и Df = df, поскольку f спускается до функции на M ; см. эту лемму 2 . ${\displaystyle D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi }$
4. Хулек, Клаус; Санкаран, Г.К. (2002). «Геометрия модулярных многообразий Зигеля». Advanced Studies in Pure Mathematics . 35 : 89–156.

Ссылки

• Сёсичи Кобаяси и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии , т. 1, Wiley Interscience .