сфера Блоха

Геометрическое представление пространства чистых состояний двухуровневой квантово-механической системы

сфера Блоха

В квантовой механике и вычислениях сфера Блоха — это геометрическое представление чистого пространства состояний двухуровневой квантово-механической системы ( кубита ), названное в честь физика Феликса Блоха . ^[1]

Математически каждая квантово-механическая система связана с отделимым комплексным гильбертовым пространством . Чистое состояние квантовой системы представлено ненулевым вектором в . Поскольку векторы и (с ) представляют одно и то же состояние, уровень квантовой системы соответствует размерности гильбертова пространства и чистые состояния могут быть представлены как классы эквивалентности , или лучи в проективном гильбертовом пространстве . ^[2] Для двумерного гильбертова пространства пространство всех таких состояний является комплексной проективной прямой Это сфера Блоха, которая может быть отображена в сферу Римана . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \psi }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.}$

Сфера Блоха представляет собой единичную 2-сферу с антиподальными точками , соответствующими паре взаимно ортогональных векторов состояния. Северный и южный полюса сферы Блоха обычно выбираются так, чтобы соответствовать стандартным базисным векторам и , соответственно, которые в свою очередь могут соответствовать, например, состояниям электрона со спином вверх и спином вниз. Однако этот выбор произволен. Точки на поверхности сферы соответствуют чистым состояниям системы, тогда как внутренние точки соответствуют смешанным состояниям . ^{[3] [4]} Сферу Блоха можно обобщить до квантовой системы n -го уровня, но тогда визуализация будет менее полезной. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Естественной метрикой на сфере Блоха является метрика Фубини–Штуди . Отображение из единичной 3-сферы в двумерном пространстве состояний на сферу Блоха является расслоением Хопфа , при этом каждый луч спиноров отображается в одну точку на сфере Блоха. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Определение

При наличии ортонормированного базиса любое чистое состояние двухуровневой квантовой системы можно записать в виде суперпозиции базисных векторов и , где коэффициент (или вклад) каждого из двух базисных векторов является комплексным числом . Это означает, что состояние описывается четырьмя действительными числами. Однако только относительная фаза между коэффициентами двух базисных векторов имеет какой-либо физический смысл (фаза квантовой системы не может быть измерена напрямую ), так что в этом описании есть избыточность. Мы можем считать коэффициент действительным и неотрицательным. Это позволяет описывать состояние только тремя действительными числами, что приводит к трем измерениям сферы Блоха. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$

Из квантовой механики мы также знаем, что полная вероятность системы должна быть равна единице:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$, или эквивалентно . ${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1}$

Учитывая это ограничение, мы можем записать, используя следующее представление: ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }$, где и . ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

Представление всегда уникально, поскольку, хотя значение не уникально, когда является одним из состояний (см. обозначение Брейкета ) или , точка, представленная и , является уникальной. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Параметры и , переинтерпретированные в сферических координатах соответственно как широта относительно оси z и долгота относительно оси x , определяют точку ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

на единичной сфере в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Для смешанных состояний рассматривается оператор плотности . Любой двумерный оператор плотности ρ может быть расширен с использованием тождества I и эрмитовых , бесследовых матриц Паули , ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$,

где называется вектором Блоха . ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

Именно этот вектор указывает точку внутри сферы, которая соответствует данному смешанному состоянию. В частности, как базовая характеристика вектора Паули , собственные значения ρ равны . Операторы плотности должны быть положительно-полуопределенными, поэтому следует, что . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$ ${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$

Для чистых состояний тогда имеем

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

в соответствии с вышеизложенным. ^[5]

В результате поверхность сферы Блоха представляет все чистые состояния двумерной квантовой системы, тогда как внутренняя часть соответствует всем смешанным состояниям.

ты,в,жпредставление

Вектор Блоха можно представить в следующем базисе относительно оператора плотности : ^[6] ${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

где

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

Этот базис часто используется в теории лазеров , где он известен как инверсия населенностей . ^[7] В этом базисе числа являются ожиданиями трех матриц Паули , что позволяет идентифицировать три координаты с осями xy и z. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

Чистые состояния

Рассмотрим n -уровневую квантово-механическую систему. Эта система описывается n -мерным гильбертовым пространством H _n . Чистое пространство состояний по определению является множеством лучей H _n .

Теорема . Пусть U( n ) — группа Ли унитарных матриц размера n . Тогда чистое пространство состояний H _n можно отождествить с компактным смежным пространством

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

Чтобы доказать этот факт, заметим, что существует естественное групповое действие U( n ) на множестве состояний H _n . Это действие непрерывно и транзитивно на чистых состояниях. Для любого состояния группа изотропии , (определяемая как множество элементов U( n ) таких, что ) изоморфна группе произведений ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

В терминах линейной алгебры это можно обосновать следующим образом. Любой из U( n ), который оставляет инвариантным, должен иметь в качестве собственного вектора . Поскольку соответствующее собственное значение должно быть комплексным числом по модулю 1, это дает фактор U(1) группы изотропии. Другая часть группы изотропии параметризуется унитарными матрицами на ортогональном дополнении , которое изоморфно U( n − 1). Отсюда утверждение теоремы следует из основных фактов о транзитивных групповых действиях компактных групп. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Важный факт, который следует отметить выше, заключается в том, что унитарная группа действует транзитивно на чистых состояниях.

Теперь (действительная) размерность U( n ) равна n ² . Это легко увидеть, поскольку экспоненциальное отображение

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

является локальным гомеоморфизмом из пространства самосопряженных комплексных матриц в U( n ). Пространство самосопряженных комплексных матриц имеет действительную размерность n ² .

Следствие . Действительная размерность пространства чистых состояний H _n равна 2 n − 2.

Фактически,

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

Применим это для рассмотрения реальной размерности m кубитного квантового регистра. Соответствующее гильбертово пространство имеет размерность 2 ^m .

Следствие . Действительная размерность пространства чистых состояний m - кубитного квантового регистра равна 2 ^{m +1} − 2.

Построение чистых двухспинорных состояний с помощью стереографической проекции

Сфера Блоха с центром в начале координат . Пара точек на ней и были выбраны в качестве базиса. Математически они ортогональны, хотя графически угол между ними равен π. В этих точках есть координаты (0,0,1) и (0,0,−1). Произвольный спинор на сфере Блоха можно представить в виде уникальной линейной комбинации двух базисных спиноров с коэффициентами, являющимися парой комплексных чисел; назовем их α и β . Пусть их отношение будет , что также является комплексным числом . Рассмотрим плоскость z  = 0, экваториальную плоскость сферы, как бы комплексную плоскость, и что точка u нанесена на нее как . Спроецируем точку u стереографически на сферу Блоха в сторону от Южного полюса — как бы — (0,0,−1). Проекция выполняется на точку, обозначенную на сфере как . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$ ${\displaystyle u={\beta \over \alpha }}$ ${\displaystyle u_{x}+iu_{y}}$ ${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

Математически сфера Блоха для двухспинорного состояния может быть отображена в сферу Римана , т.е. проективное гильбертово пространство с двумерным комплексным гильбертовым пространством, представляющим собой пространство SO (3) . ^[8] При заданном чистом состоянии ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$ ${\displaystyle H_{2}}$

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

где и — комплексные числа, которые нормализованы так, что ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

и такие, что и , т.е. такие, что и образуют базис и имеют диаметрально противоположные представления на сфере Блоха, то пусть ${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

быть их соотношением.

Если рассматривать сферу Блоха как вложенную в с центром в начале координат и радиусом один, то плоскость z  = 0 (которая пересекает сферу Блоха по большому кругу; экватору сферы, так сказать) можно рассматривать как диаграмму Аргана . Нанесем на эту плоскость точку u — так, чтобы в она имела координаты . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$

Нарисуйте прямую линию через u и через точку на сфере, которая представляет . (Пусть (0,0,1) представляет и (0,0,−1) представляет .) Эта линия пересекает сферу в другой точке, кроме . (Единственным исключением является случай , когда , т.е. когда и .) Назовем эту точку P . Точка u на плоскости z = 0 является стереографической проекцией точки P на сферу Блоха. Вектор с хвостом в начале координат и кончиком в точке P является направлением в трехмерном пространстве, соответствующим спинору . Координаты P равны ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle u=\infty }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}$

Операторы плотности

Формулировки квантовой механики в терминах чистых состояний достаточны для изолированных систем; в общем случае квантово-механические системы должны быть описаны в терминах операторов плотности . Сфера Блоха параметризует не только чистые состояния, но и смешанные состояния для двухуровневых систем. Оператор плотности, описывающий смешанное состояние двухуровневой квантовой системы (кубита), соответствует точке внутри сферы Блоха со следующими координатами:

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

где — вероятность отдельных состояний в ансамбле, а — координаты отдельных состояний (на поверхности сферы Блоха). Множество всех точек на и внутри сферы Блоха называется шаром Блоха. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

Для состояний более высоких размерностей есть трудности в расширении этого на смешанные состояния. Топологическое описание осложняется тем фактом, что унитарная группа не действует транзитивно на операторы плотности. Более того, орбиты чрезвычайно разнообразны, как следует из следующего наблюдения:

Теорема . Предположим, что A — оператор плотности в квантово-механической системе уровня n , чьи различные собственные значения — это μ ₁ , ..., μ _k с кратностями n ₁ , ..., n _k . Тогда группа унитарных операторов V таких, что VAV * = A , изоморфна (как группа Ли) группе

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

В частности, орбита A изоморфна

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

Можно обобщить конструкцию шара Блоха на размерности больше 2, но геометрия такого «тела Блоха» сложнее, чем у шара. ^[9]

Вращения

Полезным преимуществом представления сферы Блоха является то, что эволюция состояния кубита может быть описана вращениями сферы Блоха. Наиболее краткое объяснение того, почему это так, состоит в том, что алгебра Ли для группы унитарных и эрмитовых матриц изоморфна алгебре Ли группы трехмерных вращений . ^[10] ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SO(3)}$

Операторы вращения вокруг базиса Блоха

Вращения сферы Блоха вокруг декартовых осей в базисе Блоха определяются формулой ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Вращения вокруг общей оси

Если — действительный единичный вектор в трех измерениях, то вращение сферы Блоха вокруг этой оси определяется выражением: ${\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}$

Интересно отметить, что это выражение идентично расширенной формуле Эйлера для кватернионов (при переименовании) .

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Вывод генератора вращения Блоха

Баллентайн ^[12] представляет интуитивный вывод для бесконечно малого унитарного преобразования. Это важно для понимания того, почему вращения сфер Блоха являются экспоненциальными линейными комбинациями матриц Паули. Поэтому здесь дается краткое рассмотрение этого вопроса. Более полное описание в квантово-механическом контексте можно найти здесь .

Рассмотрим семейство унитарных операторов, представляющих вращение вокруг некоторой оси. Поскольку вращение имеет одну степень свободы, оператор действует на поле скаляров таким образом, что: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle U(0)=I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}$

где ${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}$

Мы определяем бесконечно малую унитарную функцию как разложение Тейлора, усеченное во втором порядке.

${\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}$

По унитарному условию:

${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

Следовательно

${\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}$

Чтобы это равенство было верным (предполагая, что можно пренебречь), нам требуется ${\displaystyle O\left(s^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=0}$.

В результате получается решение вида:

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=iK}$

где - любое эрмитово преобразование, и называется генератором унитарного семейства. Следовательно ${\displaystyle K}$

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

Поскольку матрицы Паули являются унитарными эрмитовыми матрицами и имеют собственные векторы, соответствующие базису Блоха, мы можем естественным образом увидеть, как вращение сферы Блоха вокруг произвольной оси описывается соотношением ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}$

с генератором вращения, заданным формулой ${\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2.}$

Внешние ссылки

• Онлайн-визуализация сферы Блоха Константина Херба

Смотрите также

• Атомный электронный переход
• Гировекторное пространство
• Версоры
• Конкретные реализации сферы Блоха перечислены в статье о кубите .

Примечания

1. Блох 1946.
2. Бойерле и де Керф 1990, стр. 330, 341.
3. Нильсен и Чжуан 2000.
4. "Сфера Блоха | Quantiki".
5. Идемпотентная матрица плотности

   ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1\!\!1+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta /2&\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{-i\phi }\\\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{i\phi }&\sin ^{2}\theta /2\end{pmatrix}}}$

   действует на собственный вектор состояния с собственным значением 1, то есть как оператор проекции для него. ${\displaystyle (\cos \theta /2,e^{i\phi }\sin \theta /2)}$
6. Фейнман, Вернон и Хеллварт 1957.
7. Милонни и Эберли 1988, стр. 340.
8. Пенроуз 2007, стр. 554.
9. Эпплби 2007.
10. DB Westra 2008, «SU(2) и SO(3)», https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf
11. Нильсен и Чуан 2010, «Квантовые вычисления и информация», стр. 174
12. Баллентайн 2014, «Квантовая механика — современное развитие», Глава 3

Ссылки

• Appleby, DM (2007). «Симметричные информационно полные измерения произвольного ранга». Оптика и спектроскопия . 103 (3): 416–428. arXiv : quant-ph/0611260 . Bibcode : 2007OptSp.103..416A. doi : 10.1134/S0030400X07090111. S2CID  17469680.
• Бойерле, Жерар ГА; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, часть 1: Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8.
• Блох, Ф. (1946). «Ядерная индукция». Physical Review . 70 (7–8): 460–474. Bibcode : 1946PhRv...70..460B. doi : 10.1103/PhysRev.70.460 . ISSN  0031-899X.
• Фейнман, Ричард П.; Вернон, Фрэнк Л.; Хеллварт, Роберт В. (1957). «Геометрическое представление уравнения Шредингера для решения проблем мазера». Журнал прикладной физики . 28 (1): 49–52. Bibcode : 1957JAP....28...49F. doi : 10.1063/1.1722572. ISSN  0021-8979. S2CID  36493808.
• Нильсен, Майкл А.; Чуан, Айзек Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63503-5.
• Милонни, Питер В.; Эберли, Джозеф Х. (1988). Лазеры . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-62731-9.
• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Нью-Йорк: National Geographic Books. ISBN 978-0-679-77631-4.