Векторы строк и столбцов

Матрица, состоящая из одной строки или столбца

В линейной алгебре вектор -столбец с ⁠ ⁠ ${\displaystyle m}$ элементами представляет собой матрицу ^[1], состоящую из одного столбца ⁠ ⁠ элементов, например, ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.}$$

Аналогично, вектор-строка представляет собой матрицу для некоторой ⁠ ⁠ , состоящую из одной строки ⁠ ⁠ записей, (В этой статье жирный шрифт используется как для векторов-строк, так и для векторов-столбцов.) ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Транспонирование (обозначается T ) любого вектора -строки является вектором-столбцом, а транспонирование любого вектора-столбца является вектором-строкой: и $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$$

Набор всех векторов-строк с n элементами в заданном поле (например, действительных чисел ) образует n -мерное векторное пространство ; аналогично, набор всех векторов-столбцов с m элементами образует m -мерное векторное пространство.

Пространство векторов-строк с n элементами можно рассматривать как двойственное пространство пространства векторов-столбцов с n элементами, поскольку любой линейный функционал на пространстве векторов-столбцов можно представить как левое умножение уникального вектора-строки.

Обозначение

Чтобы упростить запись векторов-столбцов в тексте, иногда их записывают как векторы-строки, к которым применяется операция транспонирования.

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

или

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

Некоторые авторы также используют соглашение о записи как векторов-столбцов, так и векторов-строк в виде строк, но разделяя элементы векторов-строк запятыми , а элементы векторов-столбцов — точками с запятой (см. альтернативную нотацию 2 в таблице ниже). ^{[ необходима ссылка ]}

Операции

Умножение матриц включает в себя действие умножения каждого вектора-строки одной матрицы на каждый вектор-столбец другой матрицы.

Скалярное произведение двух векторов-столбцов a , b , рассматриваемых как элементы координатного пространства, равно матричному произведению транспонированного a на b ,

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$$

В силу симметрии скалярного произведения, скалярное произведение двух векторов-столбцов a , b также равно матричному произведению транспонированного b на a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$$

Матричное произведение столбца и вектора-строки дает внешнее произведение двух векторов a , b , пример более общего тензорного произведения . Матричное произведение представления вектора-столбца a и представления вектора-строки b дает компоненты их диадического произведения,

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$$

что является транспонированием матричного произведения представления вектора столбца b и представления вектора строки a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Матричные преобразования

Матрица M размера n × n может представлять линейную карту и действовать на векторы строк и столбцов как матрица преобразования линейной карты . Для вектора строки v произведение v M является другим вектором строки p :

$${\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}$$

Другая матрица Q размером n × n может действовать на p ,

$${\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}$$

Тогда можно записать t = p Q = v MQ , так что преобразование произведения матриц MQ отображает v непосредственно в t . Продолжая работу с векторами-строками, матричные преобразования, дополнительно перестраивающие n -пространство, могут быть применены справа от предыдущих выходов.

Когда вектор-столбец преобразуется в другой вектор-столбец под действием матрицы n × n , операция выполняется слева,

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}$$

что приводит к алгебраическому выражению QM v ^T для составного выхода из входа v ^T. Матричные преобразования поднимаются слева при этом использовании вектора-столбца для входа в матричное преобразование.

Смотрите также

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Индексная нотация
• Вектор единиц
• Вектор с одним входом
• Стандартный единичный вектор
• Единичный вектор

Примечания

1. Артин, Майкл (1991). Алгебра . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. стр. 2. ISBN 0-13-004763-5.

Ссылки

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: Современное введение (2-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Антон, Говард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall