Аддитивная идентичность

Значение, которое не изменяется при добавлении

В математике аддитивной идентичностью множества , оснащенного операцией сложения , является элемент , который при добавлении к любому элементу x в наборе дает x . Одним из наиболее известных аддитивных тождеств является число из элементарной математики , но аддитивные тождества встречаются и в других математических структурах, где определено сложение, например, в группах и кольцах .

Элементарные примеры

• Аддитивное тождество, знакомое из элементарной математики, — это ноль, обозначаемый . Например,

  ${\displaystyle 5+0=5=0+5.}$

• В натуральных числах (если включен 0), целых , рациональных , действительных и комплексных числах аддитивная идентичность равна 0. Это говорит о том, что для числа n , принадлежащего любому из этих наборов, ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

  ${\displaystyle n+0=n=0+n.}$

Формальное определение

Пусть N — группа , замкнутая относительно операции сложения , обозначаемая + . Аддитивная идентичность для N , обозначаемая e , представляет собой элемент из N такой, что для любого элемента n из N

${\displaystyle e+n=n=n+e.}$

Дальнейшие примеры

• В группе аддитивная идентичность является единичным элементом группы, часто обозначается 0 и уникальна (доказательство см. ниже).
• Кольцо или поле представляют собой группу при операции сложения , и, следовательно, они также имеют уникальный аддитивный тождество 0. Оно определяется как отличное от мультипликативного тождества 1 , если кольцо (или поле) имеет более одного элемента. Если аддитивное и мультипликативное тождества совпадают, то кольцо тривиально (доказано ниже).
• В кольце M _{m × n} ( R ) матриц размером m - n над кольцом R аддитивная единица - это нулевая матрица, [ ^1] обозначенная O или 0 , и матрица размером m - n , элементы которой состоят полностью из единичного элемента 0 в R . Например, в матрицах 2 × 2 над целыми числами аддитивное тождество имеет вид ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$

  ${\displaystyle 0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• В кватернионах 0 является аддитивной идентичностью.
• В кольце функций из функция, отображающая каждое число в 0, является аддитивным тождеством. ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$
• В аддитивной группе векторов в исходном или нулевом векторе находится аддитивное тождество . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Характеристики

Аддитивная идентичность уникальна в группе.

Пусть ( G , +) — группа, и пусть 0 и 0' в G обозначают аддитивные тождества, поэтому для любого g в G ,

${\displaystyle 0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.}$

Тогда из вышесказанного следует, что

${\displaystyle {\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.}$

Аддитивная идентичность уничтожает кольцевые элементы.

В системе с операцией умножения, которая распределяет по сложению, аддитивная идентичность является мультипликативным поглощающим элементом , что означает, что для любого s в S s · 0 = 0 . Это следует из того, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}}$

В нетривиальном кольце аддитивные и мультипликативные тождества различны.

Пусть R — кольцо и предположим, что аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1 равны, т. е. 0 = 1. Пусть r — любой элемент кольца R . Затем

${\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0}$

доказывая, что R тривиален, т. е. R = {0}. Таким образом, показано обратное : если R нетривиально, то 0 не равно 1.

Смотрите также

• 0 (число)
• Противоположное число
• Элемент идентификации
• Мультипликативная идентичность

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная идентичность». mathworld.wolfram.com . Проверено 7 сентября 2020 г.

Библиография

• Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра , Wiley (3-е изд.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 . 

Внешние ссылки

• Уникальность аддитивной идентичности в кольце в PlanetMath .