Абсолютное значение (алгебра)

Функция, которая измеряет «размер» элементов в поле или интегральной области

В алгебре абсолютное значение (также называемое оценкой , величиной или нормой , ^[1] хотя « норма » обычно относится к определенному виду абсолютного значения в поле ) — это функция , которая измеряет «размер» элементов в поле или целостной области . Точнее, если D — целостная область, то абсолютное значение — это любое отображение |x| из D в действительные числа R, удовлетворяющее:

Из этих аксиом следует, что |1| = 1 и |−1| = 1. Кроме того, для каждого положительного целого числа n ,

| n | = |1 + 1 + ... + 1 ( n раз)| = |−1 − 1 − ... − 1 ( n раз)| ≤  n .

Классическое « абсолютное значение » — это такое значение, при котором, например, |2| = 2, но многие другие функции удовлетворяют указанным выше требованиям, например, квадратный корень классического абсолютного значения (но не его квадрат).

Абсолютное значение индуцирует метрику (и, следовательно, топологию ) путем ${\displaystyle d(f,g)=|f-g|.}$

Примеры

• Стандартное абсолютное значение целых чисел.
• Стандартное абсолютное значение комплексных чисел .
• P - адическое абсолютное значение рациональных чисел .
• Если R — поле рациональных функций над полем F и является фиксированным неприводимым многочленом над F , то следующее определяет абсолютное значение на R : для в R определим как , где и ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle f(x)=p(x)^{n}{\frac {g(x)}{h(x)}}}$ ${\displaystyle \gcd(g(x),p(x))=1=\gcd(h(x),p(x)).}$

Типы абсолютной величины

Тривиальное абсолютное значение — это абсолютное значение с | x | = 0, когда x =  0 и | x | = 1 в противном случае. ^[2] Каждая целостная область может нести по крайней мере тривиальное абсолютное значение. Тривиальное значение — это единственно возможное абсолютное значение в конечном поле, поскольку любой ненулевой элемент можно возвести в некоторую степень, чтобы получить 1.

Если абсолютное значение удовлетворяет более сильному свойству | x  +  y | ≤ max(| x |, | y |) для всех x и y , то | x | называется ультраметрическим или неархимедовым абсолютным значением , а в противном случае — архимедовым абсолютным значением .

Места

Если | x | ₁ и | x | ₂ — два абсолютных значения в одной и той же области целочисленности D , то два абсолютных значения эквивалентны , если | x | ₁ < 1 тогда и только тогда, когда | x | ₂ < 1 для всех x . Если два нетривиальных абсолютных значения эквивалентны, то для некоторого показателя степени e имеем | x | ₁ ^e = | x | ₂ для всех x . Возведение абсолютного значения в степень, меньшую 1, приводит к другому абсолютному значению, но возведение в степень, большую 1, не обязательно приводит к абсолютному значению. (Например, возведение в квадрат обычного абсолютного значения действительных чисел дает функцию, которая не является абсолютным значением, поскольку нарушает правило | x + y | ≤ | x |+| y |.) Абсолютные значения с точностью до эквивалентности или, другими словами, класс эквивалентности абсолютных значений называются местом .

Теорема Островского утверждает, что нетривиальные места рациональных чисел Q — это обычное абсолютное значение и p -адическое абсолютное значение для каждого простого числа p . ^[3] Для заданного простого числа p любое рациональное число q можно записать как p ⁿ ( a / b ), где a и b — целые числа, не делящиеся на p, а n — целое число. P -адическое абсолютное значение числа q равно

${\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.}$

Поскольку обычное абсолютное значение и p -адические абсолютные значения являются абсолютными значениями согласно определению выше, они определяют места.

Оценки

Если для некоторого ультраметрического абсолютного значения и любого основания b  > 1 мы определим ν ( x ) = −log _b | x | для x  ≠ 0 и ν (0) = ∞, где ∞ упорядочено так, чтобы быть больше всех действительных чисел, то мы получим функцию из D в R  ∪ {∞} со следующими свойствами:

• ν ( х ) = ∞ ⇒ х = 0,
• ν ( xy ) = ν ( x ) +  ν ( y ),
• ν ( x + y ) ≥ min(ν( x ), ν ( y )).

Такая функция известна как оценка в терминологии Бурбаки , но другие авторы используют термин оценка для абсолютной величины , а затем говорят экспоненциальная оценка вместо оценки .

Завершения

Если задана область целостности D с абсолютным значением, то можно определить последовательности Коши элементов D относительно абсолютного значения, потребовав, чтобы для каждого ε > 0 существовало положительное целое число N такое, что для всех целых чисел m , n > N выполняется | x _m − x _n | < ε. Последовательности Коши образуют кольцо относительно поточечного сложения и умножения. Можно также определить нулевые последовательности как последовательности ( a _n ) элементов D такие, что | a _n | сходится к нулю . Нулевые последовательности являются простым идеалом в кольце последовательностей Коши, и поэтому фактор-кольцо является областью целостности. Область D вложена в это фактор-кольцо, называемое пополнением D относительно абсолютного значения | x | .

Поскольку поля являются целостными областями, это также конструкция для завершения поля относительно абсолютного значения. Чтобы показать, что результат является полем, а не просто целостной областью, мы можем либо показать, что нулевые последовательности образуют максимальный идеал , либо построить обратную последовательность напрямую. Последнее можно легко сделать, взяв для всех ненулевых элементов фактор-кольца последовательность, начинающуюся с точки за последним нулевым элементом последовательности. Любой ненулевой элемент фактор-кольца будет отличаться от такой последовательности нулевой последовательностью, и, взяв поточечную инверсию, мы можем найти репрезентативный обратный элемент.

Другая теорема Александра Островского гласит, что любое поле, полное относительно архимедовой абсолютной величины, изоморфно либо действительным , либо комплексным числам, а оценка эквивалентна обычной. ^[4] Теорема Гельфанда-Торнхейма утверждает, что любое поле с архимедовой оценкой изоморфно подполю C , оценка эквивалентна обычной абсолютной величине на C. ^[5]

Поля и целостные области

Если D — область целостности с абсолютным значением | x |, то мы можем расширить определение абсолютного значения на область дробей D , установив

${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|.\,}$

С другой стороны, если F — поле с ультраметрическим абсолютным значением | x |, то множество элементов F , таких что | x | ≤ 1, определяет кольцо оценки , которое является подкольцом D кольца F , таким что для каждого ненулевого элемента x из F , по крайней мере один из x или x ⁻¹ принадлежит D . Поскольку F — поле, D не имеет делителей нуля и является областью целостности. Оно имеет единственный максимальный идеал, состоящий из всех x, таких что | x | < 1, и, следовательно, является локальным кольцом .

Примечания

1. Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 1. ISBN 978-0-387-96017-3. Получено 24 августа 2012 г. Показатели , с которыми мы будем иметь дело, будут взяты из норм в области F ...
2. Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Получено 24 августа 2012 г. Под «тривиальной» нормой мы подразумеваем норму ‖ ‖ такую, что ‖0‖ = 0 и ‖ x ‖ = 1 для x  ≠ 0.
3. Касселс (1986) стр.16
4. Касселс (1986) стр.33
5. Уильям Стайн (2004-05-06). "Примеры оценок" . Получено 2023-01-28 .

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра . Аддисон-Уэсли.
• Cassels, JWS (1986). Локальные поля . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 3. Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5. Збл  0595.12006.
• Якобсон, Натан (1989). Основы алгебры II (2-е изд.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.Глава 9, параграф 1 « Абсолютные ценности ».
• Януш, Джеральд Дж. (1996–1997). Алгебраические числовые поля (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0429-4.