Вектор вероятности

Вектор с неотрицательными элементами, которые в сумме дают единицу

В математике и статистике вектор вероятности или стохастический вектор — это вектор с неотрицательными элементами, сумма которых равна единице.

Позиции (индексы) вектора вероятности представляют возможные результаты дискретной случайной величины , а вектор дает нам функцию массы вероятности этой случайной величины, что является стандартным способом характеристики дискретного распределения вероятностей . ^[1]

Примеры

Вот несколько примеров векторов вероятности. Векторы могут быть как столбцами, так и строками.

• ${\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0.5\\0.25\\0.25\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0.65&0.35\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0.3&0.5&0.07&0.1&0.03\end{bmatrix}}.}$

Геометрическая интерпретация

Записываем векторные компоненты вектора как ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}}$

сумма компонентов вектора должна быть равна единице:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$

Каждый отдельный компонент должен иметь вероятность от нуля до единицы:

${\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}$

для всех . Таким образом, множество стохастических векторов совпадает со стандартным -симплексом . Это точка , если , отрезок , если , (заполненный) треугольник , если , (заполненный) тетраэдр и т.д. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=4}$

Характеристики

• Среднее значение любого вектора вероятности равно . ${\displaystyle 1/n}$
• Наименьший вектор вероятности имеет значение, равное каждому компоненту вектора, и имеет длину . ${\displaystyle 1/n}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$
• Самый длинный вектор вероятности имеет значение 1 в одном компоненте и 0 во всех остальных и имеет длину 1.
• Самый короткий вектор соответствует максимальной неопределенности, самый длинный — максимальной определенности.
• Длина вектора вероятности равна ; где — дисперсия элементов вектора вероятности. ${\textstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Смотрите также

• Стохастическая матрица
• Распределение Дирихле

Ссылки

1. Джейкобс, Конрад (1992), Дискретная стохастика, Basler Lehrbücher [Базельские учебники], том. 3, Биркхойзер Верлаг, Базель, стр. 45, номер домена : 10.1007/978-3-0348-8645-1, ISBN 3-7643-2591-7, г-н  1139766.