Вероятностный ток

Значение потока вероятностей в квантовой механике

В квантовой механике поток вероятности (иногда называемый потоком вероятности ) — это математическая величина, описывающая поток вероятностей . В частности, если рассматривать вероятность как гетерогенную жидкость, то ток вероятности — это скорость течения этой жидкости. Это реальный вектор , который меняется в пространстве и времени. Токи вероятности аналогичны токам массы в гидродинамике и электрическим токам в электромагнетизме . Как и в этих полях, ток вероятности (т.е. плотность тока вероятности) связан с функцией плотности вероятности посредством уравнения непрерывности . Вероятностный ток инвариантен относительно калибровочного преобразования .

Понятие тока вероятности также используется за пределами квантовой механики, когда речь идет о функциях плотности вероятности, которые изменяются со временем, например, в броуновском движении и уравнении Фоккера-Планка . ^[1]

Определение (нерелятивистский 3-ток)

Частица со свободным спином 0

В нерелятивистской квантовой механике ток вероятности j волновой функции Ψ частицы массы m в одном измерении определяется как ^[2]

$${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}$$

• ${\displaystyle \hbar }$– приведенная постоянная Планка ;
• ${\displaystyle \Psi ^{*}}$обозначает комплексно-сопряженную волновую функцию ;
• ${\displaystyle \Re }$обозначает действительную часть ;
• ${\displaystyle \Im }$обозначает мнимую часть .

Обратите внимание, что ток вероятности пропорционален вронскиану ${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*}).}$

В трех измерениях это обобщается до

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,}$$

оператор delградиентаоператора кинетического импульса ${\displaystyle \nabla }$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.}$$

В этих определениях используется позиционный базис (т. е. для волновой функции в позиционном пространстве ), но возможно и импульсное пространство .

Частица со спином 0 в электромагнитном поле

Приведенное выше определение следует видоизменить для системы, находящейся во внешнем электромагнитном поле . В единицах СИ заряженная частица массы m и электрического заряда q включает член, обусловленный взаимодействием с электромагнитным полем; ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$

A = A ( r , t )векторный магнитный потенциалq Aканонический импульскалибровочно-инвариантнымоператора кинетического импульса ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$

В гауссовских единицах :

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$

сскорость света

Спиновая частица в электромагнитном поле

Если частица имеет спин , она имеет соответствующий магнитный момент , поэтому необходимо добавить дополнительный член, включающий взаимодействие спина с электромагнитным полем.

Согласно Курсу теоретической физики Ландау-Лифшица плотность электрического тока измеряется в гауссовских единицах: ^[4]

$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

И в единицах СИ:

$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

Следовательно, ток вероятности (плотность) измеряется в единицах СИ:

$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

где S — вектор спина частицы с соответствующим спиновым магнитным моментом µ _S и спиновым квантовым числом s .

Сомнительно, что эта формула справедлива для частиц с внутренней структурой. ^{[ нужна цитата ]} Нейтрон имеет нулевой заряд, но ненулевой магнитный момент, поэтому это было бы невозможно (за исключением того, что в этом случае также будет ноль). Для составных частиц с ненулевым зарядом – например, протона , имеющего спиновое квантовое число s=1/2 и µ _S = 2,7927· µ N , или дейтрона (ядра H-2), имеющего s=1 и µ _S =0,8574. ·µ _N ^[5] – математически возможно, но сомнительно. ${\displaystyle {\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$

Связь с классической механикой

Волновую функцию можно записать и в комплексной экспоненциальной ( полярной ) форме: ^[6]

$${\displaystyle \Psi =Re^{iS/\hbar }}$$

R, Srt

Записанная таким образом, плотность вероятности равна

$${\displaystyle \rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right].\end{aligned}}}$$

Экспоненты и члены R ∇ R сокращаются:

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}$$

Наконец, объединив и сократив константы и заменив R ² на ρ , получим

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}.}$$

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,}$$

где – массовая плотность жидкости, а v – ее скорость (также групповая скорость волны). В классическом пределе мы можем связать скорость, с которой это то же самое, что приравнивать ∇ S к классическому импульсу p = m v , однако она не представляет собой физическую скорость или импульс в точке, поскольку одновременное измерение положения и скорости нарушает неопределенность. принцип . Эта интерпретация соответствует теории Гамильтона – Якоби , в которой ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}},}$

$${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

∇ SSглавная функция Гамильтона

Теория де Бройля-Бома приравнивает скорость к в целом (не только в классическом пределе), поэтому она всегда четко определена. Это интерпретация квантовой механики. ${\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}}}$

Мотивация

Уравнение непрерывности квантовой механики

Определение вероятностного тока и уравнение Шрёдингера можно использовать для вывода уравнения непрерывности , которое имеет точно такие же формы, как и для гидродинамики и электромагнетизма . ^[7]

Для некоторой волновой функции Ψ пусть:

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

плотностью вероятности*комплексно-сопряженную величину

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,(\psi '^{*}\psi +\psi ^{*}\psi ')\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left(-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}(\nabla ^{2}\psi \psi ^{*}-\psi \nabla ^{2}\psi ^{*})\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\\end{aligned}}}$

где V — любой объем, а S — граница V.

Это закон сохранения вероятности в квантовой механике. Интегральная форма записывается как:

$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0}$$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

Здесь приравнивание членов внутри интеграла дает уравнение непрерывности вероятности:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

теоремы о дивергенции

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$.

В частности, если Ψ — волновая функция, описывающая одну частицу, интеграл в первом члене предыдущего уравнения без производной по времени представляет собой вероятность получения значения в пределах V при измерении положения частицы. Тогда второй член представляет собой скорость , с которой вероятность вытекает из объема V. В целом уравнение утверждает, что производная по времени вероятности частицы, измеряемой в V , равна скорости, с которой вероятность втекает в V.

Если принять предел объемного интеграла, включающий все области пространства, то волновая функция с хорошим поведением, стремящаяся к нулю на бесконечности в термине поверхностного интеграла, подразумевает, что производная полной вероятности по времени равна нулю, т.е. условие нормировки сохраняется. ^[8] Этот результат согласуется с унитарной природой операторов эволюции во времени, которые по определению сохраняют длину вектора.

Передача и отражение через потенциалы

В областях, где возникает ступенчатый потенциал или потенциальный барьер , ток вероятности связан с коэффициентами передачи и отражения, соответственно T и R ; они измеряют степень отражения частиц от потенциального барьера или прохождения через него. Оба удовлетворяют:

$${\displaystyle T+R=1\,,}$$

TR

$${\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,}$$

j _inc , j _ref , j _transвекторовTR

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}$$

С точки зрения единичного вектора n, нормального к барьеру, это эквивалентно:

$${\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}$$

TR.

Примеры

Плоская волна

Для плоской волны , распространяющейся в пространстве:

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}}$$

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0}$$

стационарными состояниями

$${\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }$$

иллюстрирующий, что частица может находиться в движении, даже если ее пространственная плотность вероятности не имеет явной зависимости от времени.

Частица в коробке

Для частицы в ящике , в одном пространственном измерении и длиной L , ограниченной областью , собственные состояния энергии равны ${\displaystyle 0<x<L}$

$${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$$

$${\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$$

$${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$$

Дискретное определение

Для частицы в одном измерении мы имеем гамильтониан , где — дискретный лапласиан, где S — оператор сдвига вправо. Тогда вероятностный ток определяется как с v , оператором скорости, равным и X — оператором положения , поскольку V обычно оператор умножения позволяет безопасно писать ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle H=-\Delta +V}$ ${\displaystyle -\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle j\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}iv\Psi \right\},}$ ${\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]}$ ${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right).}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$

$${\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }.}$$

В результате мы находим:

$${\displaystyle {\begin{aligned}j\left(x\right)\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\right\}&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+\left(S^{\ast }\Psi \right)(x)\right)\right\}\\&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\right\}\end{aligned}}}$$

Рекомендации

1. Пол, Вольфганг; Башнагель, Йорг (1999). Случайные процессы: от физики к финансам . Берлин: Шпрингер. п. 84. ИСБН 3-540-66560-9.
2. Квантовая теория поля, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
3. Квантовая механика, Баллентайн, Лесли Э., Том. 280, Энглвуд Клиффс: Прентис Холл, 1990.
4. см. стр. 473, уравнение 115.4, Л.Д. Ландау, Э.М. Лифшиц. «КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Том 3 – Квантовая механика» (PDF) . ia803206.us.archive.org (3-е изд.) . Проверено 29 апреля 2023 г.
5. «Спиновые свойства ядер». www2.chemistry.msu.edu . Проверено 29 апреля 2023 г.
6. Аналитическая механика , Л. Н. Хэнд, Дж. Д. Финч, издательство Кембриджского университета, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 
7. Квантовая механика, Э. Аберс, Пирсон Эд., Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
8. Сакураи, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-47322-4.

дальнейшее чтение

• Резник, Р.; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-87373-Х.