Метод в алгебраической топологии
В алгебраической топологии кепочное произведение — это метод присоединения цепи степени p к коцепи степени q такой, что q ≤ p , для образования составной цепи степени p − q . Он был введен Эдуардом Чехом в 1936 году и независимо Хасслером Уитни в 1938 году.
Определение
Пусть X — топологическое пространство , а R — кольцо коэффициентов. Продукт шапки представляет собой билинейное отображение сингулярных гомологий и когомологий.
![{\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{pq}(X;R).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
определяется стягиванием особой цепи с особой коцепью по формуле:
![{\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots,v_{ п}]}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь обозначение указывает на ограничение симплициального отображения на его грань, натянутую векторами базы, см. Симплекс .![{\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots,v_{q}]}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Интерпретация
По аналогии с интерпретацией чашечного произведения с точки зрения формулы Кюннета , существование шапочного произведения можно объяснить следующим образом. Используя CW-приближение, мы можем предположить, что – CW-комплекс и (и ) – комплекс его клеточных цепей (или коцепей соответственно). Рассмотрим тогда композицию
, в которой мы берем тензорные произведения цепных комплексов , - это диагональное отображение , которое индуцирует отображение
цепного комплекса, и - это отображение оценки (всегда 0, за исключением ).![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{\bullet }(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{\bullet }(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle C_ {\ Bullet } (X) \ otimes C ^ {\ Bullet } (X) {\ overset {\ Delta _ {*} \ otimes \ mathrm {Id} {\ longrightarrow }} C_ {\ Bullet } (X)\otimes C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_ {\bullet }(X) )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta \ двоеточие от X\до X\times X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta _ {*}\ двоеточие C_ {\ Bullet } (X) \ to C_ {\ Bullet } (X \ times X) \ cong C_ {\ Bullet } (X) \ otimes C_ {\ Bullet } ( ИКС)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon \ двоеточие C_ {p} (X) \ otimes C^ {q} (X) \ to \ mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p=q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Затем эта композиция переходит к фактору, чтобы определить предельное произведение , и внимательный взгляд на приведенную выше композицию показывает, что она действительно принимает форму карт , которая всегда равна нулю для .![{\ displaystyle \ frown \ двоеточие H_ {\ Bullet } (X) \ Times H ^ {\ Bullet } (X) \ to H _ {\ Bullet } (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ frown \ двоеточие H_ {p} (X) \ times H ^ {q} (X) \ to H_ {pq} (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p<q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Фундаментальный класс
Для любой точки в мы имеем длинную точную последовательность в гомологиях (с коэффициентами в ) пары (M, M - {x}) (см. Относительные гомологии ) ![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \cdots \to H_{n}(M-{x};R){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(M;R){\stackrel {j_{* }}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(M-{x};R)\ в \cdots .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Элемент называется фундаментальным классом, поскольку if является генератором . Фундаментальный класс существует, если замкнут и R-ориентируем . Фактически, если это замкнутое, связное и -ориентируемое многообразие, отображение является изоморфизмом для всех , и, следовательно, мы можем выбрать любой генератор в качестве фундаментального класса.![{\displaystyle [M]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_ {n}(M;R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j_ {*}([M])}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_ {n}(M,M-{x};R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_ {n}(M;R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь с двойственностью Пуанкаре
Для замкнутого -ориентируемого n-многообразия с фундаментальным классом в (который мы можем выбрать в качестве любого генератора ) отображение произведения шапки
является изоморфизмом для всех . Этот результат известен как двойственность Пуанкаре .![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [M]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_ {n}(M;R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_ {n}(M;R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R),\alpha \mapsto [M]\frown \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Наклонный продукт
Если в приведенном выше обсуждении заменить на , конструкцию можно (частично) воспроизвести, начиная с отображений
и![{\displaystyle X\times X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\times Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle C_ {\ Bullet } (X \ times Y) \ otimes C ^ {\ Bullet } (Y) \ cong C _ {\ Bullet } (X) \ otimes C_ {\ Bullet } (Y) \ otimes C ^ { \bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_ {\bullet }(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{\bullet }(X\times Y)\otimes C_ {\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(Y)\otimes C_ {\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
чтобы получить соответственно наклонные произведения : и![{\displaystyle /}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{p}(X\times Y;R)\otimes H^{q}(Y;R)\rightarrow H_{pq}(X;R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle H ^ {p} (X \ times Y; R) \ otimes H_ {q} (Y; R) \ rightarrow H ^ {pq} (X; R).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В случае X = Y первый из них связан с продуктом ограничения диагональным отображением: . ![{\displaystyle \Delta _ {*}(a)/\phi =a\frown \phi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти «произведения» в некотором смысле больше похожи на деление, чем на умножение, что отражено в их обозначениях.
Уравнения
Граница продукта ограничения определяется как:
![{\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi)=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Учитывая отображение f, индуцированные отображения удовлетворяют:
![{\displaystyle f_ {*}(\sigma)\frown \psi =f_ {*}(\sigma \frown f^{*}(\psi)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Колпачок и чашка связаны между собой:
![{\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi) = (\varphi \smile \psi)(\sigma)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
, и![{\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если разрешено иметь более высокую степень, чем , последнее тождество принимает более общую форму![{\ displaystyle \ сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p+q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\sigma \frown \varphi)\frown \psi =\sigma \frown (\varphi \smile \psi)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что превращается в правый модуль .![{\displaystyle H_ {\ast }(X;R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H^{\ast }(X;R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации