В геометрии вершина ( мн.ч. : вершины или вертексы ) — это точка , где встречаются или пересекаются две или более кривых , линий или ребер . Как следствие этого определения, точка, где встречаются две линии, образуя угол , а также углы многоугольников и многогранников являются вершинами. [1] [2] [3]
Вершиной угла является точка, в которой начинаются или встречаются два луча , где соединяются или встречаются два отрезка прямой, где пересекаются (перекрещиваются) две прямые, или любая подходящая комбинация лучей, отрезков и прямых, в результате которой две прямые «стороны» встречаются в одном месте. [3] [4]
Вершина — это угловая точка многоугольника , многогранника или другого многогранника большей размерности , образованная пересечением ребер , граней или граней объекта. [ 4]
В многоугольнике вершина называется « выпуклой », если внутренний угол многоугольника (т. е. угол, образованный двумя ребрами в вершине с многоугольником внутри угла) меньше π радиан (180°, два прямых угла ); в противном случае она называется «вогнутой» или «рефлексной». [5] В более общем смысле вершина многогранника или политопа является выпуклой, если пересечение многогранника или политопа с достаточно малой сферой с центром в вершине является выпуклым, и вогнутой в противном случае.
Вершины многогранника связаны с вершинами графов тем, что 1-скелет многогранника представляет собой граф, вершины которого соответствуют вершинам многогранника [6], и тем, что граф можно рассматривать как 1-мерный симплициальный комплекс, вершины которого являются вершинами графа.
Однако в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных ребер, что обычно не допускается для геометрических вершин. Существует также связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой , ее точками экстремальной кривизны: в некотором смысле вершины многоугольника являются точками бесконечной кривизны, и если многоугольник аппроксимировать гладкой кривой, то вблизи каждой вершины многоугольника будет точка экстремальной кривизны. [7]
Вершина плоской мозаики или тесселяции — это точка, где встречаются три или более плиток; [8] как правило, но не всегда, плитки тесселяции являются многоугольниками, а вершины тесселяции также являются вершинами ее плиток. В более общем смысле, тесселяция может рассматриваться как своего рода топологический клеточный комплекс , как и грани многогранника или политопа; вершины других видов комплексов, таких как симплициальные комплексы, являются его нульмерными гранями.
Вершина многоугольника x i простого многоугольника P является главной вершиной многоугольника, если диагональ [ x (i − 1) , x (i + 1) ] пересекает границу P только в точках x (i − 1) и x (i + 1) . Существует два типа главных вершин: уши и рты . [9]
Главная вершина x i простого многоугольника P называется ухом, если диагональ [ x (i − 1) , x (i + 1) ] , соединяющая x i , целиком лежит в P . (см. также выпуклый многоугольник ) Согласно теореме о двух ушах , каждый простой многоугольник имеет по крайней мере два уха. [10]
Главная вершина x i простого многоугольника P называется устьем, если диагональ [ x (i − 1) , x (i + 1) ] лежит вне границы P .
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.
где V — число вершин, E — число ребер , а F — число граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, число вершин на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом граней. Например, поскольку куб имеет 12 ребер и 6 граней, формула подразумевает, что у него восемь вершин.
В компьютерной графике объекты часто представляются в виде триангулированных многогранников , в которых вершины объекта связаны не только с тремя пространственными координатами, но и с другой графической информацией, необходимой для правильной визуализации объекта, такой как цвета, отражательные свойства, текстуры и нормаль поверхности . [11] Эти свойства используются при визуализации вершинным шейдером , частью вершинного конвейера .
